含参不等式恒成立问题的解法PPT优选课件

g(-2)=3x2-3x+3>0 则 g(m)>0恒成立
g(2)=-x2+x+3>0
x R
即
1 13 2
<
x
<1213
∴ x （ 1213，1213）
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小结： 1、一次函数型问题，利用一次函数的图像特征求解。
2、二次函数型问题，结合抛物线图像，转化成最值问 题，分类讨论。
练习1:
-11<m
<
3 2
。
4
例1、对于不等式(1-m)x2+(m-1)x+3>0 ................ (*) （1）当| x | ≤2，(*)式恒成立，求实数m的取值范围 ； （2）当| m | ≤2，(*)式恒成立，求实数x的取值范围 .
解(2) : 设g(m)=(-x2+x)m+(x2-x+3) （m[-2,2]）
11
例４、已知a>0，函数f (x)=ax-bx2， （1）当b>1，证明对任意的x ∈[0,1]，|f(x)|≤1充要条件是:
b-1≤a≤2 b；
（2）当0<b≤1，讨论：对任意的x ∈[0,1]，|f(x)|≤1充要条件。
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解:(1) b>1时,对x ∈(0,1],|f(x)|≤1
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例3、若不等式x +2 xy ≤a(x+y)对一切正数x、y恒成
立解，: 分则令离实参数数xya得的t:取（a值t ≥>范0x）围,x是则2—a—yx≥——11y——2t2—t1—（1—t。2> 0xy）xy恒恒成成立立
又 令1+2t=m（m > 1），则
f(m)=
m 1(m21)2
由图易得: -2 2 <k<2 2
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2
-３ - 2 0 2 ３
x
y= - 2 2 x8
小结:
3、对于f(x)≥g(x)型问题，利用数形结合思想转化为函数
图象的关系再处理。
练习2、
若 x ≤ kx-1 对x [1,+ ) 恒成立，则实数k的取值范
围是：__k_≥__2________。
当1-m>0时，即m<1 ,(*)式在x [-2,2]时恒成立的充
要条件为： △=(m-1)2-12(I-m)<0 ，解得: -11<m<1；
当1-m<0时，即m>1, (*)式在x [-2,2]时恒成立的充
要条件为：(1-m)•(-2)2+(m-1)•(-2)+ 3 >0
解得:
1<m<
3 2
综20上20/1可0/18知: 适合条件的m的范围是:
-1≤ax-bx2≤1
bx2-1≤ ax ≤1+bx2
bx -
1 x
≤a ≤
1x+bx
∵ x ∈(0,1]， b>1
∴
bx+
1 x≥
2
b(x=
时1 取等号 b
)
又
bx
-
1 x
在(0,1]上递增
∴
( bx-
1 x
)max=b-1
(x=1时取得 )
故 x ∈(0,1]时原式恒成立的充要条件为: b-1≤a≤2 b
ax2+bx+c<0在R上恒成立的充要条件是：
a=b=0 或 a<0 __C_<_0________Δ_=_b_2_-4__a_c_<_0_。
３、ａ≥f(x)恒成立的充要条件是：__ａ__≥_[f_(_x_)]_m_a_x __; ａ≤f(x)恒成立的充要条件是：__ａ__≤__[f_(_x)_]_m_in__。
m242m m5(m4m 5)2
4 252
521(当且仅当m=
5 时等号成立)
∴ 2020/10/18 a ≥ [f (x)] max=
5 1 2
即a
≥
5 1 2
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小结： 4、 通过分离参数，将问题转化为ａ≥f(x)
（或ａ≤f(x)）恒成立，再运用不等式知识或求 函数最值的方法，使 问题获解。
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又 x=0时，|f(x)|≤1恒成立
b ∴ x ∈[0,1]时原式恒成立的充要条件为: b-1≤a≤2
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(2) 0<b≤1时，对x ∈(0,1]，|f(x)|≤1 恒成立
(
bx-
1 x
)max ≤a ≤(bx+
)1xmin
此时
(
bx-
1 x
)max=b-1
(x=1时取得)
而
bx +
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二、典型例题：
例1、对于不等式(1-m)x2+(m-1)x+3>0 ................ (*)
（1）当| x | ≤2，(*)式恒成立，求实数m的取值范围 ；
（2）当| m | ≤2，(*)式恒成立，求实数x的取值范围 . 解：(1)当1-m=0即m=1时， (*)式恒成立， 故m=1适合(*) ；
1 x
在(0,1]上递减
故
(
bx+
1 x
)min =b+1
(x=1时取得)
……（*）
故 （*）式成立的充要条件为: b-1≤a≤b+1
又 a>0
∴ x ∈(0,1]时原式恒成立的充要条件为: 0 ＜a≤ b+1
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一、基础知识点：
１、f(x)=ax+b,x [α,β]，则：
f(x)>0恒成立＜ ＞
f()>0 f()>0
f(x)<0恒成立＜ ＞ y
f()<0 f()<0
α
o
βx
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２、ax2+bx+c>0在R上恒成立的充要条件是：
a=b=0 或 a>0 __C_>_0________Δ_=_b_2_-4__a_c_<_0_。
的取值范围是
——————————
。
y
①解：设
y1= x2
(x
(0,
1 2
))
y2= logax
在同一坐标系下作它们 的图象如右图:
由图易得:
116 ≤a ＜1 2020/10/18
y=x2 1 4ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0
x
1 2
1 y=log 1 x
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例2、①若不等式x2 <logax对x（0,12 ）恒成立，则实数a的取
对于一切 |p| ≤2，p∈R，不等式x2+px+1>2x+p 恒成立，则实数x的取值范围是： —x—<—-—1—或—x—>—3——。
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例取2值、范①围若不是等—1式16—x—≤2—a<—l＜o—1g—ax—对。x（0,12 ）恒成立，则实数a的 ②若不等式x2-kx+2>0,对x [-3,3]恒成立，则实数k
值范围是 ————————————。
②若不等式x2-kx+2>0,对x [-3,3]恒成立，则实数k的
取值范围是 —-—2—2——<k—<—2——2— 。
②解：原不等式可化为：x2+2>kx
设 y1= x2+2 (x[-3,3])
y2= kx
y y=x2+2
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y=2 2 x
y=kx
在同一坐标系下作它们的图 象如右图: