数学建模-湖水的自我净化问题

数学建模与数学实验

课程设计

学院数理学院专业数学与应用数学班级学号

学生姓名指导教师

2015年6月

湖水的自我净化问题

摘要

问题：本题是一容积为V的大湖受到某种物质污染，从某时刻起污染源被切断，湖水开始更新，更新速率为r，建立求污染物浓度下降至原来的5%需要多长时间的数学模型问题。

模型：解决本问题需要用到微元法建模。

方法：假设在很小的时间内流出的湖水污染物浓度不变，然后利用湖水中污染物的变化量等于流出湖水的污染量建立等式关系，对该等式求导后得出一个微分方程，利用Matlab中dsolve函数解该微分方程。

结果：求得污染物浓度下降至原来的5%所需时间为398.3天。

一.问题重述

1）背景资料与条件

设一个容积为V （m 3）的大湖受到某种物质的污染，污染物均匀的分布在湖中。若从某时刻起污染源被切断，设湖水更新的速率是r （m 3/天）。试建立求污染物浓度下降至原来的5%需要多长时间的数学模型。

2）需要解决的问题

美国密西根湖的容积为4871⨯109（m 3），湖水的流量为 3.663 959 132⨯1010（m 3/天），求污染中止后，污染物浓度下降到原来的5%所需要的时间。

二．模型假设

1）假设一：湖水体积V 保持不变。

2）假设二：污染物始终均匀分布在湖中。

3）假设三：在很小的时间内污染物浓度不变。

三．分析与建立模型

1）符号说明

w(t):t 时刻湖水中污染物的浓度。

w(0):表示初始时刻湖水中的污染物浓度。

t :表示污染源切断后湖水更新的时间（单位：天）。

2）分析

2.1假设的合理性分析

如果湖水体积变化，那么题目就没法做了，因此这个假设是必要的且是合理的。污染物始终均匀的分布在湖中，题目条件中已给出，所以此假设合理可靠。在很小的时间内污染物浓度不变，这是利用微元法的思想，故假设的合理性毋庸置疑。

2.2模型的误差分析

本模型的误差主要在数字的处理上，即保留几位的问题上，也就是说存在舍入误差，本题在最后结果中保留了一位小数。

3）建立模型

从开始到t 天内湖水污染物含量的变化为:

Vw(0)-Vw(t)

t 天内湖水更新流出的污染物量为：

⎰t

rdt t w 0)( 利用湖水污染物含量变化=湖水更新流出的污染物量得：

0(0)()()t Vw Vw t w t rdt -=⎰

等式两边求导得：

r t w dt

t Vdw )()(-= 变换可得：

()()dw t w t r dt V -=

然后利用Matlab 中dsolve 函数求解微分方程，由w(t)=5%w(0)求得时间t 。

四．模型求解

由0(0)()()t Vw Vw t w t rdt -=⎰对t 求导后得V

r t w dt t dw )()(-=,再利用Matlab 中dsolve 函数求解此微分方程，Matlab 运行后得t)*exp(-r/V *C1= w ，在Matlab 中编写程序求解t ，代入条件求得结果，对湖水的自我净化过程作图（如图）（程序见附录）。

五．模型检验

由于实际数据不好求得，所以用模型计算求得的数据不好与实际数据进行比对，故也就计算不了误差大小。但本模型对所取得数据精度不同，产生的结果也就不同。根据模型的分析得本模型误差产生的原因主要是数据精度，其它因素影响很小，在本题中我所取的精度所得出的结果产生的误差在模型估计和实际许可的范围之内。

六．模型推广

由于我的模型利用的是微分方程，又微分方程常用于动态分析，可以用于解决动态分析问题，所以我的模型可以应用的场合非常多。除了适用于本题湖水的自我净化问题这样的问题外，我还可以用到其它的模型中（如容器漏水模型等）。

总而言之，只要是涉及到动态分析的问题都可以引用本模型解决，所以本模型的应用很广泛也很有用。进一步说数学并不是枯燥无味的也不是简简单单的数字而已，数学可以通过数学建模解决很多实际生活和生产问题。

七．参考文献

1）赵静,但琦.数学建模与数学实验（第四版）.北京：高等教育出版社，2014. 2）徐金明，张孟喜.Matlab实用教程.北京：清华大学出版社，2008.

3）井淼儿，湖水的自我净化问题-数学建模（百度文库），

/link?url=TYcYa4GAb1TUE8tFgVeHnTx3wdAY9sAAb8xGz Jn0WnklNj4XJK6_sz2aZXlUqmc00HpY0Y5BZZRsLIHMvCJ8t8ASt8aJWqrxY5ESEFlVJ2 u，2015-6-19。

附录

Untitled1.m

w=dsolve('Dw= -r*w/V' ,'t')

Untitled2.m

r=3.663959132*10^10;

V=4.871*10^12;

t=-V*log(0.05)/r

Untitled3.m

r=3.663959132*10^10;

V=4.871*10^12;

w=1;

t=0:1000;

w=exp(-r/V*t)*w;

plot(t,w)

hold on

w=0.05;

w0=1;

t=-V*log(w/w0)/r

plot(t,w,'r*')