矩形的性质练习题 (2)

矩形的性质与判定

第1课时矩形的性质

课后作业:方案（A）

一、教材题目：P13—P14，T1-T4

1．一个矩形的对角线长为6，对角线与一边的夹角是45°，求这个矩形的各边长．

2．一个矩形的两条对角线的一个夹角为60°，对角线长为15，求这个矩形较短边的长．

3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，AE∥CD，CE∥AB，试判断四边形ADCE的形状，并证明你的结论．

(第3题)

数学理解

4．证明：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．二、补充题目：部分题目来源于《典中点》

3．如图，不含阴影部分的矩形的个数是( )

（第3题）

A．15 B．16 C．17 D．19

4．(2015·南昌)如图，小贤为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，B与D两点之间用一根橡皮筋拉直固定，然后向右扭动框架，观察所得四边形的变化，下列判断错误的是( )

（第4题）

A．四边形ABCD由矩形变为平行四边形

B．BD的长度增大

C．四边形ABCD的面积不变

D．四边形ABCD的周长不变

7．(2015·哈尔滨)在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝4，点E，F在直线AD上，且四边形BCFE 为菱形．若线段EF的中点为点M，则线段AM的长为________．

9．(2015·益阳)如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，以下说法错误的是( ) A．∠ABC＝90°B．AC＝BD

C．OA＝OB D．OA＝AD

(第9题)

答案

教材

1．解：如图，由题可知∠BAC＝45°，AC＝6，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AD＝BC，∠B＝90°.又∵∠BAC＝45°，∴∠BCA＝45°.∴AB＝BC.在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2

＝AB2＋BC2，∴AC2＝2AB2.∴AB＝

2

2

AC＝

2

2

×6＝3 2.∴AB＝BC＝CD＝AD＝3 2.即这个矩

形的各边长均为3 2.

点拨：根据题意可判定△ABC为等腰直角三角形，从而求出AB的长，根据矩形的性质及AB ＝BC可得矩形ABCD的各边长都相等．

(第2题)

2．解：如图，∠AOB＝60°，∵四边形ABCD 是矩形，∴BO＝AO ＝12AC ＝152.又∵∠AOB＝60°，∴△ABO 是等边三角形．∴AB＝BO ＝152，即这个矩形较短边的长为152

. 点拨：根据矩形的对角线相等且互相平分可知BO ＝AO ＝12

AC.又已知∠AOB＝60°，从而可得△ABO 是等边三角形，进而得到这个矩形较短边的长．

3．解：四边形ADCE 是菱形．

证明：∵AE∥CD，CE∥AB，∴四边形ADCE 是平行四边形．∴AE＝CD ，CE ＝AD.又∵∠ACB＝

90°，D 为AB 的中点，∴CD＝AD ＝12

AB.∴AE＝CD ＝CE ＝AD.∴四边形ADCE 是菱形． 点拨：判定四边形是菱形时，应根据条件选择合适的判定方法．如本题可得到边的关系，应根据四边相等的四边形是菱形进行判定．

(第4题)

4．解：已知，如图，CD 是△ABC 的中线，且CD ＝12

AB.求证：△ABC 是直角三角形． 证明：∵CD 是△ABC 的中线，∴AD＝BD ＝12AB.又∵CD＝12

AB ，∴CD＝AD ＝BD.∴∠A＝∠ACD，∠B ＝∠BCD.∴∠ACD ＋∠BCD ＝∠A ＋∠B ，即∠ACB ＝∠A ＋∠B.∴∠ACB ＝180°－∠ACB.∴∠ACB＝90°.∴△ABC 是直角三角形．

点拨：要证明一个三角形是直角三角形，一般证明它的一个内角等于90°.

典中点

3．C

4.C

7．5.5或0.5 点拨：分两种情况：①如图①，由矩形的性质得出CD ＝AB ＝4，BC ＝AD ＝5，∠ADC ＝∠CDF ＝90°，由菱形的性质得出CF ＝EF ＝BE ＝BC ＝5，由点M 为EF 的中点得MF ＝

2.5，由勾股定理求出DF 的长，即可求出AM 的长；②如图②，同①易得出AE ＝3，ME ＝2.5，即可得出AM 的长．

(第7题)

9.D