概率统计习题课八xin

2
已知） 检验假设 H 0 : σ = σ 0 （ σ 0 已知 ） ，
2
， 在显著性水平 α 下 ，
H1 : σ 1 ≠ σ 0 2 的拒绝域为
数理统计
X − 80 S/ n
(n − 1)S
≥ tα / 2 (n − 1)
2
σ σ
2 0 2
≥ χ 2α / 2 (n − 1)或 ≤χ
2 1−α / 2
(n − 1)S
2 0
(n − 1)
数理统计
选择题： 二、 选择题：
1)在对单个正态总体均值的假设检验中， 在对单个正态总体均值的假设检验中， 当总体方差已知时， 当总体方差已知时，选用 B （ B） Z 检验法 ） （ A） t 检验法 ） （ C） F 检验法 ） （ D） χ 检验法 ）
2
二、 选择题： 选择题：
数理统计
(2)、由题意 需检验
2 2
H 0 : σ 2 = 4 ↔ H1 : σ 2 > 4
( n − 1) S ~ χ 2 ( n − 1) χ = σ2 2 拒绝域 ( χ α ( n − 1), ∞ )
χ α ( n − 1) = χ
2
2 0.05
(9) = 16.919,
χ =
2
( n − 1) S
数理统计
2)在一个确定的假设检验中，与判断结果相关的 在一个确定的假设检验中， 在一个确定的假设检验中 因素有 D （ A）样本值与样本容量（B）显著性水平 α ） 样本值与样本容量（ ） （ C）检验统计量 ） （ D）A,B,C 同时成立 ）
数理统计
三、 解答题
1) 设某产品的某项质量指标服从正态分布， 设某产品的某项质量指标服从正态分布， 已知它的标准差 σ = 150 ，现从一批产品中 随机抽取了 26 个，测得该项指标的平均值为 1637，问能否认为这批产品的该项指标值为 ， 1600（ α = 0.05 ）？ （
1 1 F0.025 (8,7) = 4.90, F0.975 8， = （ 7） = F0.025 (7,8) 4.53
• 因为
1 < F < 4.90 故接受假设 H 01 ， 4.53
• 即认为 σ 12 = σ 22 ．
• •
(2)检验假设 H 这属于
02
: µ 1 = µ 2 , H 12 : µ 1 ≠ µ 2
1 F0.025 (9,7 ) = 4.82, F0.975 (9,7 ) = = 0.283, F0.025 (7,9)
数理统计
40.96 得F = = 2.837, 显然 0.283 < 2.837 < 4.82, 14.44 所以接受 H 0 , 认为抗折强度的方差没 有显著差异 .
(2) 检验假设 检验假设:
α = 0.05,
则 X ~ N ( µ , σ 2 ), 样本均值为 X , 样本标准差为 S ,
需检验假设: 需检验假设
H 0 : µ = 70 ↔ H1 : µ ≠ 70.
数理统计
因为 σ 2 未知, 故采用 t 检验法 , 当 H 0 为真时,
X − µ0 X − 70 ~ t(n −1), 统计量 t = = S/ n S/ n
2 2
应用
F
检验法， 检验法，其检验统计量是
m 1 ( Xi − X )2 ∑ m −1 i=1 F= n 1 (Y − Y )2 ∑ i n −1 i=1
数理统计
一．填空题： 填空题：
3）设总体 X ） 为未知参数， N ( µ , σ ) ， µ , σ 为未知参数 ，
2 2
从 X 中抽取的容量为 n 的样本均值记为 X ， 样本标准差为 S n ， 在显著性水平 α 下 ， 检验假设 H 0 : µ = 80 <—> H1 : µ ≠ 80 — 的拒绝域为
0.230 − 0.269 8 × 1.337 + 7 × 0.1736
• • •
查ｔ－分布表得 t 0.025 (15) = 2.1315, 因
t < 2 .1 3 1 5
， 故接受假设 H 0 ，
即认为两支矿脉的含锌量相同。
数理统计
四、证明题Βιβλιοθήκη Baidu
设总体 X
N ( µ , 5 ) 在 α = 0.05 的水平上检验 H 0 : µ = 0, H 1 : µ ≠ 0 ，若所选取的拒绝域
F ≥ Fα / 2 ( n1 − 1, n2 − 1)
2 1 2 2
•
或
F ≤ F1−α / 2 ( n1 − 1, n2 − 1)
2 • 对 n1 = 9, s12 = 0.1337, n 2 = 8, s 2 = 0.1736.
数理统计
• 计算得 F = 0.1337 = 0.7702 0.1736 • 由F－分布表查得
2 1
西支： y = 0.269, 西支：
2 S2 = 0.1736 ， n2 = 8; 假定
东西两支矿脉的含锌量都服从正态分布， 东西两支矿脉的含锌量都服从正态分布，对 问能否认为两支矿脉的含锌量相同？ α = 0.05 ，问能否认为两支矿脉的含锌量相同？
解:设东支矿脉的含锌量为 X • • • 西支矿脉的含锌量为 Y , Y
2 1 2 2 2 1 2 2
数理统计
用 F 检验法 ,
当 H 0 为真时,
2 1 2 2
S ~ F(n1 −1, n2 −1), 统计量F = S
知拒绝域为
F ≥ F / 2(n1 −1, n2 −1)或F ≤ F −α / 2(n1 −1, n2 −1), α 1
2 由 n1 = 10, n2 = 8, S12 = 40.96, S2 = 14.44,
拒绝域为
t ≥ tα / 2(n1 + n2 − 2).
由 t0.025 (10 + 8 − 2) = t 0.025 (16) = 2.1199,
9 × 40.96 + 7 × 14.44 S = = 29.3575, S w = 5.418, 16 X −Y 27.3 − 30.5 得t = = = 1.245 < 2.1199, 1 1 5.418 × 0.474 Sw + n1 n2 所以接受 H 0 , 认为抗折强度的期望无 显著差异.
数理统计
概率统计习题课八
数理统计
一．填空题： 填空题： 1) 设 X 1 , X 2 , ⋅⋅⋅ , X n 是来自正态总体 N ( µ , σ 2 )
的简单随机样本， 均未知， 的简单随机样本， µ 和 σ 均未知，记
2
1 , θ 2 = ∑ ( X i − X ) 2 ,则 X = ∑ Xi n i =1 i=1 假设 H 0 : µ = 0 的 t 检验使用统计量 T ＝
数理统计
解 由题意需检验
H 0 : µ = 1600 ↔ H1 : µ ≠ 1600
Z = X − µ0 ≥ zα 2
σ n 已知 n = 26, X = 1637, σ = 150, α = 0.05, z 0.025 = 1.96
Z = X − µ0
拒绝域为
接受假设 H 0
σ
n
=
1637 − 1600 150 26
n
n
X
( n − 1) n
θ
数理统计
X −µ X −µ θ ~ t ( n − 1), 而S = ,∴ T = 解 QT = S n n−1 θ n( n − 1) 若H 0为真 , 则T = θ X X n( n − 1) ~ t ( n − 1) = n( n − 1) θ
数理统计
一．填空题： 填空题：
1 m 1 n 2）设 X = ∑ X i 和 Y = ∑ Yi 分别来自 设 m i =1 n i =1 2 2 两个正态总体 N ( µ1 , σ 1 ) 和 N ( µ 2 , σ 2 ) 的样
本均值，参数 µ1 ， µ 2 未知，两正态总体相 未知， 本均值， 互独立， 互独立，欲检验 H 0 : σ 1 = σ 2 ，
2
σ
2
= 9 < 16.919 接受H 0
2的证明可知， 由1、的证明可知，机器可以 正常工作 .
三、 解答题
数理统计
3）从某锌矿的东西两支矿脉中，各取容量为 9 和 ）从某锌矿的东西两支矿脉中， 8 的样本分析后，计算其样本含锌量的平均值与方 的样本分析后， 差分别为：东支： 差分别为：东支： x = 0.230, S = 0.1337, n1 = 9;
n = 25
由此可知1.96 ⋅ 5 / n = 1.96
五、练习题
数理统计
设某次考试的考生成绩服从正态分布, 例1 设某次考试的考生成绩服从正态分布 从中 随机地抽取36位考生的成绩 算得平均成绩为66.5 位考生的成绩, 随机地抽取 位考生的成绩 算得平均成绩为 标准差为15分 问在显著性水平0.05下, 是否可 分, 标准差为 分, 问在显著性水平 下 以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分 以认为这次考试全体考生的平均成绩为 分? 并 给出检验过程. 给出检验过程 解 设该次考试的学生成绩 为 X ,
, X
N ( µ1 , σ 12， )
数理统计
2 2 N ( µ2 , σ 2 ), µ1 , µ2 , σ 12 , σ 2
2 2 (1)首先需检验假设： H 01 : σ 12 = σ 2 , H11 : σ 12 ≠ σ 2
当 H 01 成立时，检验统计量
•
拒绝域为
S F= ~ F (n1 − 1, n2 − 1) S
H 0 : µ1 = µ 2 ↔ H1 : µ1 ≠ µ 2 ,
当 H 0 为真时,
用 t 检验法 ,
X −Y ~ t(n1 + n2 − 2), 统计量t = 1 1 Sw + n1 n2
数理统计
(n1 −1)S + (n2 −1)S . 其中S = n1 + n2 − 2
2 w 2 1 2 2
数理统计
解 已知 X = 101, n = 10, S = 2, α = 0.05
由题意 （1）、 需检验
H 0 : µ = 100 ↔ H1 : µ ≠ 100
拒绝域
t =
X − 100 S n
≥ t α 2 ( 9) tα 2 (9) = 2.2622
接受H 0
X − 100 t = = 1.5 < 2.2622 S n
= 1.258 < 1.96
能认为该项指标为 1600
数理统计
三、 解答题
2)某台机器加工某种零件， 某台机器加工某种零件， 某台机器加工某种零件 规定零件长度为 100cm， ， 标准差不超过 2cm，每天定时检查机器运行情 ， 个零件， 况， 某日抽取 10 个零件 ，测得平均长度 X = 101 cm，样本标准差 S = 2 cm，设加工的零件长度 ， ， 服从正态分布，问该日机器工作是否正常 （ α = 0.05 ）？
数理统计
某砖厂制成两批机制红砖, 例2 某砖厂制成两批机制红砖 抽样检查测量砖 的抗折强度(千克 得到结果如下: 千克), 的抗折强度 千克 得到结果如下
第一批 : n1 = 10, x = 27.3, S1 = 6.4; 第二批 : n2 = 8, y = 30.5, S 2 = 3.8;
已知砖的抗折强度服从正态分布, 试检验 已知砖的抗折强度服从正态分布 试检验: (1)两批红砖的抗折强度的方差是否有显著差异 两批红砖的抗折强度的方差是否有显著差异? 两批红砖的抗折强度的方差是否有显著差异 (2)两批红砖的抗折强度的数学期望是否有显著差 两批红砖的抗折强度的数学期望是否有显著差 异? (均取α = 0.05) 检验假设: 解 (1) 检验假设 H0 : σ = σ ↔ H1 : σ ≠ σ .
2
R = X ≥ 1.96 ，试证样品容量 n 应取 25
由已知条件， 证明: 由已知条件，若 H 0为真 Z =
其拒绝域为
X
{
}
Z ≥ zα 2 ,
R=
zα 2
σ n = z 0.025 = 1.96
~ N (0,1)
即
X ≥ Zα 2 ⋅ σ
而题中知拒绝域
{ X ≥ 1.96}
n = 1.96 ⋅ 5 / n
知拒绝域为
X − 70 t= ≥ tα / 2(n − 1), S/ n
由 n = 36, X = 66.5, S = 15, t 0.025 ( 35) = 2.0301,
X − 70 66.5 − 70 得t = = = 1.4 < 2.0301, S/ n 15 / 36 所以接受 H 0 , 认为全体考生的平均成 绩是70分.
，检验统计量为
数理统计
t − 检验
T=
X −Y
• •
检验的拒绝域为 计算得
t=
2 (n1 − 1) S12 + (n2 − 1) S 2
n1 n2 (n1 + n2 − 2) ~ t (n1 + n2 − 2) n1 + n2
t ≥ tα / 2 ( n1 + n2 − 2)
9 × 8 × 15 = −0.2180 17