长春市数学2020二模试题(理)

长春市普通高中2020届高三质量监测（二）

理科数学

本试卷共4页。考试结束后，将答题卡交回。

注意事项： 1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘 贴在考生信息条形码粘贴区。

2. 选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签 字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3. 请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写 的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4. 作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5. 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、 刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1. 已知集合{|(2)0}A x x x =−≤，{1,0,1,2,3}B =−，则A B =∩ A. {1,3}− B. {0,1,2} C. {1,2} D. {0,1,23}，

2. 若1(1)i z a =+−（a ∈R ）

，||z =，则a =

A. 0或2

B. 0

C. 1或2

D. 1

3.

下列与函数y =定义域和单调性都相同的函数是 A.2log 2x

y = B.21log (2

x y = C. 21log y x = D.1

4y x =

4. 已知等差数列{}n a 中，5732a a =，则此数列中一定为0的是 A.1a

B. 3a

C. 8a

D. 10a

5. 若单位向量1e ，2e 夹角为60°，12λ=−a e e

，且||=a ，则实数λ= A. 1− B. 2 C. 0或1− D. 2或1−

6. 《普通高中数学课程标准（2017版）》提出了数学学

科的六大核心素养. 为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图(如图，每项指标值满分为5分，分值高者为优)，则下面叙述正确的是 A. 甲的数据分析素养高于乙 B. 甲的数学建模素养优于数学抽象素养 C. 乙的六大素养中逻辑推理最差 D. 乙的六大素养整体平均水平优于甲

7. 命题p ：存在实数0x ，对任意实数x ，使得0sin()sin x x x +=−恒成立；:q 0a ∀>，

()ln

a x

f x a x

+=−为奇函数，则下列命题是真命题的是 A.p q ∧ B. ()()p q ¬∨¬ C. ()p q ∧¬ D. ()p q ¬∧

8. 在ABC △中，30C =

，2

cos 3

A =−

，2AC =−，则AC 边上的高为 A. 2

B. 2

C.

D. 2

9. 2020年是脱贫攻坚的决战决胜之年，某市为早日实现目标，现将甲、乙、丙、丁4

名干部派遣到A 、B 、C 三个贫困县扶贫，要求每个贫困县至少分到一人，则甲被派遣到A 县的分法有 A. 6种 B. 12种 C. 24种 D. 36种

10. 在正方体1111-ABCD A B C D 中，点,,E F G 分别为棱11A D ，1D D ，11A B 的中点，给

出下列命题：①1AC EG ⊥；②//GC ED ；③1B F ⊥平面1BGC ；④EF 和1BB 成角为4

π

. 正确命题的个数是 A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

11. 已知抛物线C ：2

2y px =（0p >）的焦点为F ，01(,)2

M y 为该抛物线上一点，

以M 为圆心的圆与C 的准线相切于点A ，120AMF ∠=°，则抛物线方程为 A. 22y x = B. 24y x = C. 26y x = D. 28y x =

12. 已知11()x x

f x e e x −−=−+，则不等式()(32)2f x f x +−≤的解集是 A. [1,)+∞ B. [0,)+∞ C. (,0]−∞ D. (,1]−∞

A

C

B

A 1

C 1B 1

M N

G

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 若,x y 满足约束条件222022x y y x y +⎧⎪

−⎨⎪−⎩

≥≤≤，则z x y =+的最大值为____________.

14. 若

1

20

5

()3

a x dx −=

∫

，则a =____________. 15. 已知函数()sin(6

f x x π

ω=+

（0ω>）

在区间[,2)ππ上的值小于0恒成立，则

ω的取值范围是________________.

16. 三棱锥A BCD −的顶点都在同一个球面上，满足BD 过球心O ，且BD =，则

三棱锥A BCD −体积的最大值为__________；三棱锥A BCD −体积最大时，平面

ABC 截球所得的截面圆的面积为_____________. （本题第一空2分，第二空3分.）

三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第22~23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17. （12分）

2019年入冬时节，长春市民为了迎接2022年北京冬奥会，增强身体素质，积极开展冰上体育锻炼. 现从速滑项目中随机选出100名参与者，并由专业的评估机构对他们的锻炼成果进行评估打分（满分为100分）并且认为评分不低于80分的参与者擅长冰上运动，得到如图所示的频率分布直方图： （Ⅰ）求m 的值；

（Ⅱ）将选取的100名参与者的性别与是否擅长冰上运动进行统计，请将下列22×列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率在不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系？ 擅长 不擅长 合计

男性 30 女性 50 合计

100

P (K 2≥k ) 0.15 0.10 0.05

0.025

0.0100.005 0.001k 2.072 2.706 3.841

5.024

6.635

7.879 10.828

(2

2

()()()()()

n ad bc K a b c d a c b d −=++++，其中n a b c d =+++)

18. （12分）

如图，直三棱柱111ABC A B C −中，底面ABC 为等腰直角

三角形，AB BC ⊥，124AA AB ==，

M ，N 分别为1CC ， 1BB 的中点，G 为棱1AA 上一点，若1A B ⊥平面MNG .

（Ⅰ）求线段AG 的长；

（Ⅱ）求二面角B MG N −−的余弦值.

405060708090频率/组距

成绩(分)

0.005

0.015

0.0300.020100m

O

19. （12分） 已知数列{}n a 满足，11a =，24a =，且21430n n n a a a ++−+=（*

n ∈N ）. （Ⅰ）求证：数列1{}n n a a +−为等比数列，并求出数列{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）设2n n b n a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S .

20. （12分） 已知椭圆C ：22

221(0)x y a b a b

+=>>的左、右顶点分别为A 、B ，焦距为2，点P

为椭圆上异于A 、B 的点，且直线PA 和PB 的斜率之积为3

4

−.

（Ⅰ）求C 的方程；

（Ⅱ）设直线AP 与y 轴的交点为Q ，过坐标原点O 作//OM AP 交椭圆于点M ，

试探究2

|||||

|AP AQ OM ⋅是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

21. （12分） 已知函数()x

f x e =.

（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；

（Ⅱ）若对任意的m ∈R ，当0x >时，都有2

1(2())1m f x x

+>−恒成立，

求最大的整数k .

（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分.

22. [选修4-4 坐标系与参数方程]（10分）

已知曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x y α

α=+⎧⎨

=⎩

（α为参数），曲线2C 的参数方程为

38cos 43sin 4

x t y t ππ⎧

=+⎪⎪⎨

⎪=⎪⎩（t 为参数）. （Ⅰ）求1C 和2C 的普通方程；

（Ⅱ）过坐标原点O 作直线交曲线1C 于点M （M 异于O ），交曲线2C 于点N ，

求

||

||

ON OM 的最小值.

23. [选修4-5 不等式选讲]（10分） 已知函数()|1||1|f x ax x =++−.

（Ⅰ）若2a =，解关于x 的不等式()9f x <；

（Ⅱ）若当0x >时，()1f x >恒成立，求实数a 的取值范围.