逆矩阵的计算ppt课件

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A-1 AXBB-1 = A-1 CB-1 ,

X = A-1 CB-1 。
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A1 13
2 1
3 3 1
52,B1 21
35
21,
于是XA 1CB 1
13
2 1
3 3 1
5221132
10335
21
1 0
0
122
3 5
21
2 10 10
1 4. 4
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由定义即得:当B为A 的逆矩阵时,A也是B 的逆
矩阵。
例如
设 A2 3
2 1
0 2,
1 2 4 B2 3 6,
2 1 1
0 1 1
因为AB = BA = E,所以B是A的逆矩阵,同样A 也
是B 的逆矩阵。
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如果方阵A是可逆的,则 A 的逆阵一定是唯一 的。 这是因为:设 B、C 都是 A的逆矩阵, 则有
B = BE = B(AC)=(BA)C = EC = C,
所以 A 的逆阵是唯一的。
A的逆阵记作A -1。 即若AB = BA = E,则 B = A -1 。
例如
设 A2 3
2 1
0 2,
1 2 4 B2 3 6,
2 1 1
0 1 1
因为AB=BA=E,所以B是A的逆阵,即 A -1 = B
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§3 逆 阵
★逆矩阵的概念 ★矩阵可逆的条件 ★逆矩阵的求法
矩阵之间没有定义除法,而数的运算有 除法,本节相对于实数中的除法运算,引入 逆矩阵的概念。
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逆阵的概念
定义7 对于n阶方阵A,如果有一个n 阶方阵B,使 AB = BA = E,
则说方阵 A 是可逆的,并把方阵 B 称为 A 的逆矩阵。 注意:只有方阵才有逆矩阵的概念。
矩阵的运算小结
一、已定义过的运算:
★矩阵与矩阵的加、减法; ★矩阵与数的乘积; ★矩阵与矩阵的乘积; ★方阵的行列式; ★逆矩阵; ★矩阵的转置。
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二、不允许出现的“运算”:
★矩阵与数的加、减法; ★矩阵与矩阵相除; ★数除以矩阵。
矩阵的运算中矩阵不能出现在“分母”中。这与 行列式是根本不同的。因为行列式是“数”,当这个 数不等于零时,就可以出现在分母中,因此行列式可 以出现在分母中。
矩阵可逆的条件
定理1 若方阵 A 可逆,则 A 的行列式不等于 0 。
证 A 可逆,即有 A -1 ,使 AA -1 = E,

|A||A -1 |=|E| = 1,
所以|A| ≠ 0 。
例如 设 A2 3 7 5, B52 37, 易见AB=BA=E,
即A可逆。 此时|A| = 1≠ 0。
定理1表明,可逆阵的行列式一定不等于零。这 个结论反过来也成立。请看下面的定理2。

2 A* 3
2
6 6 2
4 5 , 2
所 以A1 1 A*13
A
2 1
3 3
52.
1 21
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例10 设
1 A2
3
2 2 4
13 3,B52
13,C13 2
3 0, 1
求矩阵X使满足AXB = C。
分析:
若A-1 ,B -1 存在,则由A-1左乘AXB = C,又
用B-1右乘AXB = C,
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Ex.4
设A02
0 3
00,求A的逆矩.阵
0 0 4
解 因 |A|24 0,故 A可.逆 又
A1112, A228, A33 6, A ij0(i,j1,2,3,且 ij),
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12 0 0
所以A* 0 8 0,
0 0 6
其中 k 为正整数。
当|A|0,,为整数 ,有时
A A A ,(A )A .
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例9
1 求方阵 A 2
2 2
13的 逆 阵.
3 4 3
解 |A| = 2 ≠0,知A可逆。 经计算可得:
A11= 2,A21= 6,A31=-4, A12=-3,A22=-6,A32=5, A13= 2,A23= 2,A33=-2,
当 |A| = 0 时,A 称为奇异方阵,否则称为非 奇异阵。
推论 若 AB = E(或 BA = E),则B = A -1 。 证 因为|A| |B| = |E| =1,故|A| ≠ 0, 因而 A -1存在, 于是 B = E B =(A -1 A)B = A -1 (AB)= A -1 E = A -1 。
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三、矩阵运算中要注意的地方
★以下运算都只有方阵才有: (1). 逆矩阵; (2). 方幂; (3). 矩阵的行列式。
★矩阵的乘法通常没有交换律、消去律。
★两个非零矩阵相乘的结果可能是零矩阵。 即当两个矩阵的乘积为零矩阵时,不能推 出其中必有一个为零矩阵。
★用一个数去乘以矩阵与用一个数去乘以行列 式是不同的。
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定理2 若A的行列式不等于0 ,则A可逆,且
A1 1 A*, A
其中 A*为方A阵 的伴随. 阵
证 由例 9 知AA* = A*A = |A|E,
因 A 0 ,故有 A (1A *)(1A *)A E , AA
所 以 ,有A1 1 A*. A
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由定理1和定理2可得:矩阵A 是可逆方阵的充 分必要条件是 |A| ≠ 0 。
证 (A )B B ( 1 A 1 ) A (B 1 )A B 1 A 1 E E .A (4 )若 .A 可 ,则 A 逆 T 也,且 可 (A T ) 1 逆 (A 1 )T .
证 A T (A 1 )T (A 1 A )T E T E .
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当| A|0时, 定义 A 0E ,A k(A 1)k,
对于阶数高于3 的矩阵,以后将介绍用初等变换 的方法来求逆矩阵。
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方阵的逆阵满足下述运算规律:
(1 )若 .A 可 ,则 A 逆 1 也,且 可 (A 1 ) 1 逆 A .
(2)若 . A可,逆 数 0,则 A也 可 ,并 逆且 (A)11A1.
(3)若 . A,B是 同 阶 可 ,则 逆 A也 B方可 阵 ,且 逆 (AB )1B1A1.逆矩阵。
例如
设A
1 2
32, 则|A|10 故A可逆。
因为 A* 32 12, 所 A 1以 |A 1|A * 1 1 3 2 1 2 2 3 2 1 .
需要说明的是:通常利用伴随阵A* 来计算A的逆 矩阵的方法只限于阶数不超过3的矩阵,否则计算量可 能很大。
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