逆矩阵的计算ppt课件

由定义即得：当B为A 的逆矩阵时，A也是B 的逆
矩阵。
例如
设 A2 3
2 1
0 2,
1 2 4 B2 3 6,
2 1 1
0 1 1
因为AB = BA = E，所以B是A的逆矩阵，同样A 也
是B 的逆矩阵。
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如果方阵A是可逆的，则 A 的逆阵一定是唯一 的。 这是因为：设 B、C 都是 A的逆矩阵， 则有
B = BE = B（AC）=（BA）C = EC = C，
所以 A 的逆阵是唯一的。
A的逆阵记作A -1。 即若AB = BA = E，则 B = A -1 。
例如
设 A2 3
2 1
0 2,
1 2 4 B2 3 6,
2 1 1
0 1 1
因为AB=BA=E，所以B是A的逆阵，即 A -1 = B
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其中 k 为正整数。
当|A|0,,为整数 ,有时
A A A ,(A )A .
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例9
1 求方阵 A 2
2 2
13的 逆 阵.
3 4 3
解 |A| = 2 ≠0，知A可逆。 经计算可得：
A11= 2，A21= 6，A31=－4， A12=－3，A22=－6，A32=5， A13= 2，A23= 2，A33=－2，
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三、矩阵运算中要注意的地方
★以下运算都只有方阵才有： (1). 逆矩阵； (2). 方幂； (3). 矩阵的行列式。
★矩阵的乘法通常没有交换律、消去律。
★两个非零矩阵相乘的结果可能是零矩阵。 即当两个矩阵的乘积为零矩阵时，不能推 出其中必有一个为零矩阵。
★用一个数去乘以矩阵与用一个数去乘以行列 式是不同的。
当 |A| = 0 时，A 称为奇异方阵，否则称为非 奇异阵。
推论 若 AB = E（或 BA = E），则B = A -1 。 证 因为|A| |B| = |E| ＝1，故|A| ≠ 0， 因而 A -1存在， 于是 B = E B =（A -1 A）B = A -1 （AB）= A -1 E = A -1 。
得
2 A* 3
2
6 6 2
4 5 , 2
所 以A1 1 A*13
A
2 1
3 3
52.
1 21
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例10 设
1 A2
3
2 2 4
13 3,B52
13,C13 2
3 0, 1
求矩阵X使满足AXB = C。
分析：
若A-1 ，B -1 存在，则由A-1左乘AXB = C，又
用B-1右乘AXB = C，
矩阵可逆的条件
定理1 若方阵 A 可逆，则 A 的行列式不等于 0 。
证 A 可逆，即有 A -1 ，使 AA -1 = E，
故
|A||A -1 |=|E| = 1，
所以|A| ≠ 0 。
例如 设 A2 3 7 5, B52 37, 易见AB=BA=E，
即A可逆。 此时|A| = 1≠ 0。
定理1表明，可逆阵的行列式一定不等于零。这 个结论反过来也成立。请看下面的定理2。
证 (A )B B ( 1 A 1 ) A (B 1 )A B 1 A 1 E E .A (4 )若 .A 可 ,则 A 逆 T 也,且 可 (A T ) 1 逆 (A 1 )T .
证 A T (A 1 )T (A 1 A )T E T E .
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当| A|0时, 定义 A 0E ,A k(A 1)k,
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注：定理2可用来求一些矩阵的逆矩阵。
例如
设A
1 2
32, 则|A|10 故A可逆。
因为 A* 32 12, 所 A 1以 |A 1|A * 1 1 3 2 1 2 2 3 2 1 .
需要说明的是：通常利用伴随阵A* 来计算A的逆 矩阵的方法只限于阶数不超过3的矩阵，否则计算量可 能很大。
有
A-1 AXBB-1 = A-1 CB-1 ，
即
X = A-1 CB-1 。
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解Βιβλιοθήκη Baidu
A1 13
2 1
3 3 1
52,B1 21
35
21,
于是XA 1CB 1
13
2 1
3 3 1
5221132
10335
21
1 0
0
122
3 5
21
2 10 10
1 4. 4
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矩阵的运算小结
一、已定义过的运算：
★矩阵与矩阵的加、减法； ★矩阵与数的乘积； ★矩阵与矩阵的乘积； ★方阵的行列式； ★逆矩阵； ★矩阵的转置。
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二、不允许出现的“运算”：
★矩阵与数的加、减法； ★矩阵与矩阵相除； ★数除以矩阵。
矩阵的运算中矩阵不能出现在“分母”中。这与 行列式是根本不同的。因为行列式是“数”，当这个 数不等于零时，就可以出现在分母中，因此行列式可 以出现在分母中。
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定理2 若A的行列式不等于0 ，则A可逆，且
A1 1 A*, A
其中 A*为方A阵 的伴随. 阵
证 由例 9 知AA* = A*A = |A|E，
因 A 0 ,故有 A (1A *)(1A *)A E , AA
所 以 ,有A1 1 A*. A
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由定理1和定理2可得：矩阵A 是可逆方阵的充 分必要条件是 |A| ≠ 0 。
§3 逆 阵
★逆矩阵的概念 ★矩阵可逆的条件 ★逆矩阵的求法
矩阵之间没有定义除法，而数的运算有 除法，本节相对于实数中的除法运算，引入 逆矩阵的概念。
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逆阵的概念
定义7 对于n阶方阵A，如果有一个n 阶方阵B，使 AB = BA = E，
则说方阵 A 是可逆的，并把方阵 B 称为 A 的逆矩阵。 注意：只有方阵才有逆矩阵的概念。
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Ex.4
设A02
0 3
00,求A的逆矩.阵
0 0 4
解 因 |A|24 0,故 A可.逆 又
A1112, A228, A33 6, A ij0(i,j1,2,3,且 ij),
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12 0 0
所以A* 0 8 0,
0 0 6
对于阶数高于3 的矩阵，以后将介绍用初等变换 的方法来求逆矩阵。
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方阵的逆阵满足下述运算规律：
(1 )若 .A 可 ,则 A 逆 1 也,且 可 (A 1 ) 1 逆 A .
(2)若 . A可,逆 数 0,则 A也 可 ,并 逆且 (A)11A1.
(3)若 . A,B是 同 阶 可 ,则 逆 A也 B方可 阵 ,且 逆 (AB )1B1A1.