第五章波色系统波色-爱因斯坦凝聚-精选

0
压强可由自由能得到：
P F v T ,N P (0 ) 4 m a 2 v 1 2 1 1 2 2 0 2 1 v v 2 0
作近似 20022后可得：
P P(0)
P(0) 4m av22 ,
2a2
m
v12
v1c2
.
(vvc,TTc) (vvc,TTc)
01
k 0
i( k x y)kk0( 23) 3i( k x y) ˆ k
N V0m2 B2 Tke r r/r0
r0
2 mBTk|lzn|
当r=|x-y|→∞时，上式中的积分为零。因此在这个极限下1(x,y ) NV0与空间位置无关。
物理意义：在系统里存在着恒定密度的零动量粒子。这正是波色-爱因斯坦凝聚存在的标志。
H ˆ
i
2 m 2 i24m a2ij(rirj).
这里我们把势能项看作微扰。
设无微扰波函数（自由粒子系统波函数）为 n{,np,},其中 n p 为单粒子态中粒子的填布
数。在一级近似下，系统能量为：
Enn,H ˆn
p
2pm 2 np4m a2n,ij
(ri rj)n
p
2pm 2 np4maV 2N212
3
vcg3/2(1)
T
c
和临界比容
v
c
(固定温度T时):
当 T Tc（v一定）或 v v（c T一定）时，将产生波色-爱因斯坦凝聚。即低温和高密度是
产生波色-爱因斯坦凝聚的条件，有凝聚时粒子的平均热波长与粒子平均间距有相同的数
量级。
• 大V极限下的易逸度z：
对宏观系统来说我们更关心体积V趋于无穷大的极限情形。
这里 表示系综平均Tr(ˆaqak )，ˆ 为正则系综统计算符，ˆ(y) 为单自由粒子场算符（可用
平面波展开），ak
,a
k
分别为平面波的波矢量为k的湮灭和产生算符。上式表示如在y处失去
一个粒子，则可在x处找到一个粒子的概率密度。
考虑一个有平移不变性的系统，这时动量和哈密顿量对易，利用Tr(AB)=Te(BA)可证：
令
aˆ
p
(aˆ
p
)
为动量为p的单粒子态的湮灭(产生)算符，我们有
a ˆ 0 a ˆ 0 N 0 N , a ˆ 0 a ˆ 0 a ˆ 0 a ˆ 0 1 N
故 a ˆ0a ˆ0 N01a ˆ0 a ˆ0
这表明在这种近似下我们可以忽略
aˆ
p
,
aˆ
p
的非对易性，把它们当作非算符的量（C数）。
是增函数）。
3
n0 3
Vv
g3/2(z).凝聚要求
n0 V
0,
3
当v
g3/2 (1) 时，这必然成立（因gn (z)
这样系统可看作两个热力学“相”的混合，一个相由动量为零的粒子组成，令一个由动量不为
零的粒子组成。
分割面方程由
3
v
g3/2(z)g3/2(1)确定，由此可得临界温度
kBTcmv23 g /2 (2 1)2/3,
5.4简谐势阱中理想波色气体中的波色-爱因斯坦凝聚
详见杨展如书98-102页。
wk.baidu.com
5.5 简谐势阱中非理想波色气体中的波色-爱因斯坦凝聚
温度很低时，原子的德布罗意波长（热波长）比原子相互作用程大很多，原子间的相互作 用是很弱的完全被量子力学中讨论过的S-波散射所支配，因此我们只需考虑二体碰撞。 S-波
第五章 波色系统：波色-爱因斯坦凝聚
5.1 理想波色气体中的波色-爱因斯坦凝聚
回忆我们在前面获得的理想波色气体的物态方程：
kP BT13g5/2(z)V 1ln1 (z),
11
1z
v3g3/2(z)V1z,
这 我里们比有容 ：0v=Vz/N1,，平0均z热由波定长义知 显m2然k BT2成。立易；逸z度1可z的由定动义量为为z0的e态，的其平中均μ占为据化数学 势n0 。对 z波/1 色(气z)体0 ，
K哈ˆ密顿d量3r为ˆ：(r) KˆT( ˆHˆ Vt r a) Nˆ pˆ (r )K ˆ 01 2 UK0 ˆ ，d3其rˆ中(r)ˆ(r)ˆ(r)ˆ(r)d3rˆ(r)ˆ(r); K0 Hˆ0 Nˆ0 d3r(r)T(ˆVtra p ) (r)1 2U0d3r| (r)|2 (r) (r); Nˆd3rˆ(r)ˆ(r), Nˆ0 d3r(r) (r);
15v
4 3
g5/2(1)，
vvc; vvc.
在T=0附近我们有CV ~T3/2 ，这与光子和声子的行为不同，原因是它们的能谱不同。而在 T c 处 比热是连续的（因 g1/2(1) 发散），比热的导数不连续。
5.2 非理想波色气体中的波色-爱因斯坦凝聚
考虑N个无自旋波色粒子组成的稀薄气体系统，体积为V，系统处于低温且相互作用为二体 碰撞。在一级近似下，系统哈密顿量为：
paa kqaa p ˆ , aq ak T ˆ r p ˆ , aq ak 0
另一方面，直接计算可得：
Ze ˆ 1 Hˆ
ˆ , q k ( ) q k
aa aa n 因此对这种系统我们有 q kq, kk kq, kˆ k
于是
V e aa N V V e aa N V dke n 1 (x ,1y) i( k x y)kk k
• 其它热力学量：应分为两段讨论，如内能：
U N23Pv2323kkBBTT33 vvgg55//22((1z))，,
vvc; vvc.
熵：
S NkB
52v523 gv53/2g(5z/2)(1)l，nz,
vvc; vvc.
定容比热：
15v
NCVkB 43
g5/2(z)94gg13//22((zz)),
p
n2p
成立条件为 a/v1/31 ,ka1 ,k为一对粒子的相对波矢，a是散射长度。即粒子只能激发到动
量在较基小 态的 ，态 我。 们上 让面n0最 后N ，一而个其等它式所的有推导n p 见为杨零展，如基书态9能3-量95为页：。E N 02m a2vm 22a,N V m m v 而低激发态能级同时含有连续谱和分立谱。在极低温度下，只有少量粒子激发，能量表达
这样场算符可以写为两部分：
ˆ ( r) p p( r) a ˆ p 0 a ˆ 0 p 0 p( r) a ˆ pV N ˆ ( r)
推广到空间非均匀和与时间有关的情形，我们有：
ˆ(r,t) (r,t) ˆ(r,t),
这里 (r,t)ˆ(r,t)，ˆ(r,t)是围绕平均值的量子和热涨落（一个小量）。带入到上面的 方程即得（GP方程）：
色-爱因斯坦凝聚。非零序参量的出现表征系统中出现了“对称破缺”。
5.7 陷阱中波色-爱因斯坦凝聚的激发态
在5.6节我们把一般的场算符分为了两部分： ˆ ( r, t) ( r, t) ˆ ( r, t) ，并考虑
了C数部分Φ(r,t)的贡献，这里我们将考虑涨落算符ˆ(r,t)的贡献。
r r rr r r r r 涨落算符的对易关系与常算符的相同，因此有： [ ˆ ( ) ˆ ( ) , ( ] ) [ ˆ ( ; ) ˆ ( ) , [ ˆ ] ( ) ˆ ( ) , 0 . ]
2 m 2 2 V tr(a r)p N 0 U 0 (r,t)2 (r,t) (r,t)
5.6 波色-爱因斯坦凝聚的序参量和判据
序参量：描述连续相变（二级相变）特征（自发对称破缺）的参量。在相变点附近，它是 唯一重要的热力学量。
理想波色气体系统： 我们考察单粒子密度矩阵：
V e aa 1 (x ,ˆ y () ˆ x ( ) y ) 1 i(x k q y)qk k, q
有相互作用的系统：
单粒子动量不是一个好量子数，Nˆ0 与哈密顿量不对易，上面的计算不适用。Penrose和 Onsager建议采用下列波色-爱因斯坦凝聚存在的一般判据:
| x y|
1 (x , ˆ y () ˆ x () y )ˆ (x ˆ () y)
这里ˆ(x) r(x)ei(x)称为超流序参量，若r(x) 0则说明存在动量空间的有序，即波
散射可以用散射长度a来表征，相互作用势可近似写为: U (r r) U 0 (r r)
因此在外界简谐势场 Vtrap (r) 中，波色场算符满足（海森堡绘景，坐标表象）：
i ˆ (tr,t)[ ˆ(r,t)H ,ˆ] 2 m 2 2V tr(ar)pd3r ˆ(r,t)U (rr) ˆ(r,t) ˆ(r,t)
确定。函数 gn (z)一般地由下式确定：
gn(z)
l 1
zn ln
当z取0至1的值时，gn (z) 是z的正的单调递增有界函数（注意在费米系统里z可取任意大于0的
值）。对于n>1有 gn(1)l 1l1n(n) (n1)
这是黎曼Zeta函数。当 n 1，gn (1) 发散。
• 产生凝聚的条件： 把比容的方程改写为：
式可进一步近似为：
En
p
2 pm 2np4 m a2V N21 2n0 2.
下面我们要找到物态方程。我们考虑极低温的情况，即 a/1 ,a2/v1 ,并用n代表 { n p } ，
能量的动能部分记为
n
p
p2 2m np
，记
n0 / N，配分函数为：
Z N T r H ˆ ee n e N a v 2 2 2 Z N (0 )e N a v 2 2 20
由 n0 z/1 (z)我们可反解出z: zn 0/ (n0 1 )。因此在大V极限下我们有：
3
z方程 v3 1g,3/2(z)的根， vv3 gg33//22((11));.
• 填布数 n0 与温度和比容的关系（大V极限下）：利用 V N13g3/2(z)n V0和上面的
结果可得：
nN0 1TTc
2 m 2 2V tr(ar)p ˆ(r,t)U 0 ˆ(r,t) ˆ(r,t) ˆ(r,t)
这个方程可在平均场近似下求解。关键是把波色场算符分为凝聚部分和非凝聚部分(波戈留
波夫近似)：
均匀空间情形：
理想波色气体的基态是所有粒子都处于单粒子的零动量态，其低激发态仍有量级为N的粒子
占据零动量态，而 p 0 的态的占据数很少。我们假定这对近理想波色气体仍然成立。
n
其中 Z (0 ) N
为理想波色气体的配分函数。 0 是对理想波色气体的统计平均。
每个粒子的自由能为：
F F ( 0 ) k B T ln e N a v 2 2 2
NNN
F N ( 0 ) k B T a v 2( 2 2 )0 F N ( 0 ) 4 m a 2 1 v 1 220
3/2
1 v vc
0，
,
3
v g3/2(1);
3
v g3/2(1).
粒子在动量空间里凝聚。T=0时所有粒子都占据p=0态。
•对物大态系方统程可：忽压略强。方因程此中物的态第方二程项为可kP忽BT 略 ，1133因gg55/ /22(V (1 1z))l，,n1v v(z)vv cc;.V 1lnn011，它最多是N1lnN 的量级， 物态方程在 v vc 连续，但其导数不连续，因此相变为一级相变。
这个相变是二级相变。
5.3 波色-爱因斯坦凝聚实验的基本原理
实验困难：大多数气体在极低温下不呈现气态。
2019年：三个研究组用Rb, Na 和Li蒸气在简谐磁陷阱中在极低温度下观察到了波色爱因斯坦凝聚现象。
实验的基本原理有两个： （1）多普勒致冷（动量空间的压缩）：恰当选取激光 频率 L A，这里 A 是原子最低激发频率，可使得原 子在多次吸收激光后，动量不断减小： 原子接受迎面光子激发（有方向性，动量减小），再通 过自发辐射退激发（无方向性）。
i (tr,t) 2 m 2 2 V tr(a r) pN 0 U 0 (r,t)2 (r,t)
用巨正则系综我们可以研究系统的平衡性质。凝聚部分的哈密顿量为：
K 0H 0N 0H 0 d3 r *(r) (r) 统计 平d 衡3 r 时* 系(r)统 的2 m 2 Kˆ 的2 平V t均r(a 值r)p 有极 小(r 值) ，1 2 故d 有3 rKU 0 0* *(0r) ， 从*(r上) 式(r) 代 入(r)并解之得：
（2）磁-光陷阱（坐标空间囚禁）： 在磁场中原子激发态能级发生分裂，原子 通过两束沿z轴相对运动的激光激发。激 光频率小于原子无磁场时的跃迁频率( L A)。 这样，不论在z>0还是z<0区域内只能吸收向坐 标原点方向传播的激光，受到一个指向z=0点的 辐射力F=-kz，这样原子处于一个辐射力造成的 简谐势阱中。