结构力学第九章薄壁杆件扭转 28页

§9－2 薄壁杆件的自由扭转
作业2、3、5
考试
考试题型： （1）选择填空 （2）判断题（不要解释理由，只要判断对错）
以上两项共54分，可能会增加题量，减小每题的分值 （3）计算题（基本运算）46分 计算题比作业题目简单，运算量小 重点在后面章节，与材料力学重复率低的章节 试验报告＋作业＝平时分 考试时计算题先把关键公式写下
§9－1 概述
§9－1 概述
§9－1 概述
§9－1 概述
§9－1 概述
如果薄壁杆件受到扭矩作用，由于存在支座或其 他约束，扭转时不能自由变形，则这种扭转称为约束 扭转。薄壁杆件约束扭转时，各横截面的翘曲程度是 不相同的，这将引起相邻两截面间纵向纤维的长度改 变，于是横截面上除了有扭转而引起的剪应力之外， 还有因翘曲而产生的正应力。由于翘曲正应力在横截 面上分布不均匀，就会导致薄壁杆件发生弯曲，并伴 随产生弯曲剪应力。这样，薄壁杆件约束扭转时，截 面上就存在二次剪应力。二次剪应力又将在截面上形 成一个附加扭矩，称之为二次扭矩，于是杆件截面上 的扭矩就等于自由扭转扭矩与二次扭矩之和。由此可 见，薄壁杆件约束扭转是比较复杂的。
壁截面（图9-1a,b,c）和闭口薄壁截面（图9-1d,e,f）
两类。闭口截面又分为单闭室(图9-1d,e)和多闭室
（图9-1f）两种。
§9－1 概述
除薄壁圆管外，薄壁杆件通常是非圆截面杆件。 材料力学中已经指出，非圆截面杆件在扭转变形后， 杆件的截面已不再保持为平面，而是变为曲面，这种 现象称为翘曲。
qds dA o
x tb b
a ta
b ds
dx
§9－2 薄壁杆件的自由扭转
btb atad x 0
或
qbtbata （9-7）
上式说明剪流q沿截面为常数。据此，最大剪应力将发 生在壁厚最小处，这与开口薄壁杆件不同。
下面讨论如何计算剪流q。如图9-3a所示，剪流q 在微元ds上引起的力为qds,它绕o点的力矩为：
薄壁杆件扭转分为自由扭转和约束扭转两种。
如果一根等截面杆件仅在两端受到扭矩作用，并 不受任何约束，扭转时可以自由变形，则这种扭转就 称为自由扭转。非圆截面薄壁杆件自由扭转时，其横 截面虽将发生翘曲，但由于扭转不受阻碍，所以各横 截面的翘曲程度都相同。因此，杆件上平行于杆轴的 直线在变形后长度不变且仍为直线；杆件各横截面上 没有正应力而只有扭转引起的剪应力。
刚周边假定对多闭室薄壁横截面仍然使用。据此， 各闭室具有相同的扭率，且等于杆件的扭率φ’。对 于图9-4所示的每一闭室，应用环流方程式(9-11)，例 如对于第2室，有
§9－2 薄壁杆件的自由扭转
q2a bd t sq2q 3b cd t sq2q4d cd t sq2q 1d ad t s2 G2 A
§9－2 薄壁杆件的自由扭转
I t

4A2 ds
t
式（9-9）中Ms用2qA代换，可得
（9-10）
q
ds2GA
t
上式称为环流方程式。
（9-11）
3.多闭室薄壁杆件的自有扭转 对于具有n个闭室的薄壁截面（图9-4），设在扭 矩Ms作用下各闭室的剪流为qi（i=1、2、3、…）,并 规定这些剪流沿反时针方向为正，那么任意两相邻室 公共壁上的剪流为该两室剪流之差。
§9－2 薄壁杆件的自由扭转
2.单闭室薄壁杆件的自有扭转
可以认为，闭口薄壁杆件自由扭转时截面上的剪
应力τ沿壁厚是均匀分布的。记
q t
（9-6）
称q为剪流。现在来确定q沿截面的变化规律。图
9-3b所示的为一个变厚度单元，由于自由扭转时截面
上无正应力，即轴向力为零，所以有：
y adsb h
(图9-3) a
§9－2 薄壁杆件的自由扭转
qi Gqi
再将上式代入（9-14），最终得出各室剪流的计
算公式：
qi

qi
Ms It
（9-18）
式中，i=1,2,3,…,n。
10
三闭室截面如图 所示，两端受扭 矩Ms40k0N m
8 12 300
16
10 600
10
800
400
(图9-5)
求扭转惯性矩及 剪流
更多精品资源请访问
docin/sanshengshiyuan doc88/sanshenglu
或写成
q22dt sq121dt sq323dt sq424dts2G2A
沿第i与第k
上式写成通用形式为： 室的公共
绕第i室的 周线积分
qi
i
ds tk
qkikdt s壁2积G分2A
（9-13）
式中，i=1,2,3,…,n；
§9－1 概述
薄壁杆件在实际工程上应用非常广泛。如桥梁工 程和海洋工程中的箱形、工字型和槽形梁等等。就船 舶结构来说，船体骨架一般有薄壁杆件组成；整个船 体梁也是一根薄壁杆件。
§9－2 薄壁杆件的自有扭转
1.开口薄壁杆件的自有扭转
开口薄壁杆件的截面可以看作由若干狭长矩形截 面所组成。利用狭长矩形截面的杆件自有扭转时的计 算公式和如下两个假定可导出薄壁杆件自有扭转的计 算公式。这两个假定是： （1）假定开口薄壁杆件自由扭转时，截面在其本身平 面内形状不变，即在边形过程中，截面在其本身平面 内的投影只作刚性平面运动。此即为刚周边假定； （2）假定薄壁杆件中面上无剪切变形。
角为dφ,则扭矩所做的功为：
dW
1 2
Msd
§9－2 薄壁杆件的自由扭转
微段扭转变性能为：
dVdx
2
2Gtdsdx
1 Ms 2tds 2G2At
dx8GMsA2
ds t
由dW=dV，可得扭率：
ddx4G MsA 2 dt s
（9-9）
比较式（9-9）与式（9-2），得单闭室截面的扭 转常数计算公式：
第九章 薄壁杆件扭转
Torsion of Thin-Wall Bar
§9－1 概述
薄壁杆件是指横截面上壁的厚度较薄的杆件，其
三个尺度通常满足如下关系：
b t 10
l
t 10

（9-1）
式中，t—壁厚；b—截面的最大宽度；l—杆长。
(a)
(b)
(c) 图9-1 (d)
(e)
(f)
薄壁截面视其壁厚中心线是否封闭而分为开口薄
§9－2 薄壁杆件的自由扭转
qi Gqi
将上式代入（9-12），可得杆件得扭率

Ms
n
2G Aiqi
（9-16）
i 1
比较式(9-16)和式（9-2），即得多闭室薄壁截面
得扭转常数计算公式
n
（9-17）
G M s It
dMs hqds
ds所对的扇形面积为：
dA 1 hds 2
§9－2 薄壁杆件的自由扭转
沿整个截面积分可得总扭矩为：
Ms 2qA
式中A——闭口截面壁厚中心线所围的总面积。从
而沿截面的剪流为：
q
t

Ms
2A
（9-8）
再来推导扭率和扭矩常数计算公式。若从薄壁杆
件中取出长度为dx的微段，其受扭矩Ms作用产生的扭
§9－2 薄壁杆件的自由扭转
令
qi

qi G
（9-14）
q i 第i室的扭转常数,式（9-13）可写为：
qi
i
ds tk
qkikdt s2A2（9-15）
式中，i=1,2,3,…,n；式(9-15)是关于未知数q i 的n元一次方程组，当薄壁截面的形状、尺寸以及材料
已定时，q i 的所有系数以及方程式等号右边的常数项 均为已知。因此，由式（9-15）可解出 q i （i=1、2、 3、…）,代入式（9-14），得
边）和厚度（短边）。若截面的壁厚中心线是一根曲
线，则
It
1 3
s1 t3ds
0
式中，si—壁厚中心线的总长
（9-4）
§9－2 薄壁杆件的自有扭转
s

M st It
（9-5）
式中，τs—截面上的扭矩剪应力（图9-2）；t— 壁厚。
(图9-2)
式（9-5）表明，截面上最大剪应力将发生在壁 厚最大处的表面上。
§9－2 薄壁杆件的自有扭转
开口薄壁杆件自由扭转时的扭率计算公式如下：
M s GI t
（9-2）
式中，φ‘—杆件的扭率（单位长度上的扭角）；
Ms—扭矩；G—剪切模量；It—截面扭转惯性矩（扭转
常数）式。中，hi、ti—截I面t 上13第i ih个it狭i3 长矩（形9的-3）高度（长
§9－2 薄壁杆件的自由扭转
q4
qn
d
c
q1
q2
q3
a
b(图9-4)
由式(9-8)，可得每一闭室上的扭矩：
Ms 2Aiqi
（9-12）
式中，i=1、2、3、…,
§9－2 薄壁杆件的自由扭转
这些扭矩之和应等于整个截面上的扭矩Ms，即
n
Ms 2Aiqi
i1
式中，Ai——第i个闭室壁厚中心线所围的面积。 仅由式(9-12)不能确定剪流qi（i=1、2、3、…n),还 必须利用变形协调条件才能确定剪流 qi。