第八章 非线性系统
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相轨迹的绘制过程如下:
1.在相平面画等傾线(实线)。 2.在等倾线上画矢量,表示相轨迹在通过该等傾线 时的方向,矢量的斜率等于给定相轨迹的斜率a。 3.由初始点出发,按矢量方向作一条小线段,并与 相邻一 条等倾线相交;由该交点起,并按该交 点矢量方向作一条小线段,再与其相邻的一条等 倾线相交;循此步骤依次进行,就可以获得一条 从初始点出了,由各小线段组成的折线,最后对 该折线作光滑处理,即得到所求系统的相轨迹。
一、典型非线性特性
(一)饱和非线性 (Saturation nonlinear)
输出 M 近似饱和特性 -t 0 -M t 实际饱和特性 输入
一、典型非线性特性
(二)死区非线性 (Dead zone nonlinear)
输出 K
-h
0 K h 输入
一、典型非线性特性
(三)间隙非线性 (Backlash nonlinear)
(1)稳定极限环 (2)不稳定极限环
o 极限环内外的相 轨迹曲线都收敛于 该极限环。 . x o 极限环内外的 相轨迹曲线都从 极限环发散。 . x
x
x
(3)半稳定极限环
o 极限环分割的两个区域都是稳定的, 或都是不稳定的。 . . x x
相轨迹方程
. x =g(x)
例8.1
x 试绘制二阶系统 w 2 x 0 的相平面图
解:系统方程改写为
dx x w2x 0 dx
. x
0
积分得相轨迹方程
x2
x0 x
w
2
x 2 A2
(三)绘制相平面图的图解法— —等倾线法(Isocline method)
图解法是通过逐步作图的方法,不必 解出微分方程,而把结果直接描绘在相平 面上。 常用的图解法有等倾线法和园弧近似法。 在等倾线法中,首先用等倾线来确定相 平面中相轨迹斜率的分布,然后再绘制相 轨迹曲线。
(2)奇线
当非线性系统存在多个奇点时,奇点类型 只决定奇点附近相轨迹的运动形式,而整个系 统的相轨迹,特别是离奇点较远的部分,还取 决于多个奇点的共同作用,有的会产生特殊的 相轨迹,将相平面划分为具有不同运动特点的 多个区域。这种特殊的相轨迹称为奇线。最常 见的奇线是极限环。极限环把相平面的某个区 域划分为内部平面和外部平面两部分。 极限环是非线性系统中的特有现象,它只 发生在非守恒系统中,产生的原因是由于系统 中非线性的作用,使得系统能从非周期性的能 源中获取能量,从而维持周期运动形式。 根据极限环邻近相轨迹的运动特点,可将 极限环分为三种类型:
二、非线性系统的运动特点
(一)稳定性
与系统的结构和参数及系统的输入信 号和初始条件有关。 研究时应注意:
1、系统的初始条件;
2、系统的平衡状态。
二、非线性系统的运动特点
(二)系统的零输入响应形式 某些非线性 系统的零输入响 应形式与系统的 初始状态有关。
e(t) E
0
t
二、非线性系统的运动特点
.
线性二阶系统的奇点
ax b 0 x
(1) a>0且a2-4b<0,两个实部为负的共轭复根,相轨迹奇点为稳 定的焦点。 (2) a<0且a2-4b<0两个实部为正的共轭复根,相轨迹奇点为不稳 定的焦点。 (3) a>0且a2-4b≥0两个负实根,相轨迹奇点为稳定的节点。 (4)a<0且a2-4b≥0两个正实根,相轨迹奇点为不稳定的节点。 (5)a=0,一对虚根,相轨迹奇点为中心点。 (6)b<0,正负实根各一个,相轨迹奇点为鞍点。
对于非线性系统的各个平衡点,若描述 非线性过程的非线性函数解析时,可以通 过平衡点处的线性化方程,基于线性系统 特征根的分布,确定奇点的类型,进而确 定平衡点附近相轨迹的运动形式。当非线 性方程在某个区域可以表示为线性微分方 程时,则奇点类型决定该区域系统运动的 形式。若对应的奇点位于本区域内,则称 为实奇点;若对应的奇点位于其它区域, 则称为虚奇点。
o 适用于一阶、二阶系统
描述函数法(Describing function technique)
o 是一种等效线性化方法
计算机仿真(Computer simulation)
§8.2 相平面图
相平面法(Phase-plane technique) 是庞卡莱(H. Poincare)提出来的一种 用图解法求解一阶、二阶微分方程 的方法,它实质上属于状态空间分 析法在二维空间中的应用,该方法 适合于研究二阶系统。
. x
例8.2
. 解: x >0
. x <0
.. .来自百度文库+ a | x |+ x=0 的相平面图 求 x
.. . x + a x + x=0
.. . x - a x + x=0
. x
上半平面的等 倾线方程: 1 x x =a+ a
.
x
线性二阶系统的轨迹
2 x 2w n x w n x 0
(一)相平面图的特点
2. 奇点和普通点
普通点 . f(x, x )0的点。
. 相平面上不同时满足 x 0和
奇点 . 和f(x, x )0的点。
. 相平面上,同时满足 x 0
(一)相平面图的特点
3.相轨迹通过x轴的斜率
. 在x轴上,所有点都满足 x 0。除奇点外
相轨迹在x轴上的斜率为 dx = dx
(三)极限环(自激振荡)
非线性系统,在初始状态 的激励下,可以产生固定振幅 和固定频率的周期振荡,这种 周期振荡称为非线性系统的自 激振荡或极限环。
(四)频率响应
系统微分方程:
.. . ′x 3=0 M x +B x +Kx+ K
K
非线性 弹簧
M 重物 粘性阻 尼器
e(t) K ′ <0
K ′ =0
o 两个异号实根
jω
相轨迹
. x
σ
x
四 奇点和极限环 1.奇点(Singular point)
.. . x = f (x, x) 相轨迹的斜率可表示为 . . f(x, x ) dx . = x dx 在奇点处,相轨迹的斜率不确定,即 同时满足 . x =0 dx 0
dx 0 即
f (x, x) =0
o 两个实部为负的 共轭复根
jω
相轨迹
σ
(2) 0> >-1
o 两个实部为正的 共轭复根
jω
相轨迹
σ
(3) >1
o 两个负实根
jω
相轨迹
σ
(4) <-1
o 两个正实根 相轨迹
jω
σ
(5) =0
o 两个实部为零的 共轭复根
jω
相轨迹
. x
σ
x
(6)
2 x 2w n x w n x 0
b、关于x轴对称
. . . f (x, x) f (x, - x) 或 f (x, x) = f (x, - x ) . = . x -x . . 即f(x, x )是 x 的偶函数。 .
c、关于原点对称
f (x, x ) . = x
.
-f
(-x, - x ) . -x
.
. . 即 f(x, x ) f(x, x )
.
f (x, x) . =∞ x
.
所以,除了奇点外,相轨迹和x轴垂直相交。
(一)相平面图的特点
4.相轨迹移动的方向
在相平面的上半平面,系统状态沿 相轨迹由左向右运动;
在下半平面,系统状态沿相轨迹由 右向左运动。 系统状态沿相轨迹的移动方向由相 轨迹上的箭头表示。
(二)绘制相平面图的解析法
第八章 非线性控制系统
Nonlinear Control System
内容提要
§8.1 概述 §8.2 相平面图
§8.3 奇点和极限环
§8.4 非线性系统的相平面图分析
§8.5 非线性特性的描述函数
§8.6 用描述函数分析非线性系统
§8.1 概述
典型非线性特性
非线性系统的运动特点
非线性系统的研究方法
设系统方程为
2 x 2w n x w n x
0
改写为:
dx 2 x 2w n x w n x 0 dx
令 d x / dx = a
得等倾线方程:
2 wn x x 2wn a
.
a=-1 a=-1.2 A a=-1.4 a=-1.6 B a=-1.8 C a=-2 D a=-2.5 E a=-3 a=-4 a=-6 a=-11 a=9 x a=4 a=2 a=1 a=0.5 a=0 a=-0.2 a=-0.4 a=-1
2
B
C A
x1=x
二、相平面图的绘制
对于二阶系统 .. . x = f(x, x)
以x, x 为相变量,可得到相轨迹通过 . 点 (x, x)的斜率 dx dx =
.
.
f (x, x) . x
.
(一)相平面图的特点
1、对称性
. a. 关于 x 轴对称 . f (x, x) - f (-x, x ) . . 或 f (x, x) = - f (-x, x ) . = . x x . 即f(x, x )是关于x的奇函数。 .
等倾线法是求取相轨迹的一种作图方法, 不需求解微分方程。对于求解困难的非线性 微分方程,图解方法显得尤为实用。
基本思想:用有限段短的直线逼近相轨迹, 而这些短线的斜率等于相应位置的相轨迹的 斜率。 先确定相轨迹的等倾线,进而绘出相轨 迹的切线方向场,然后从初始条件出发,沿 方向场逐步绘制相轨迹。
相轨迹的斜率方程为 . . f(x, x ) dx . = x dx 所有相轨斜率 dx dx a 常量的点,构成了等斜 率线即等倾线。 等倾线方程为 a x f ( x, x) 当相轨迹经过该等倾线上任一点时,其切线的斜 率都相等,均为a 。取a为若干不同的常数,即可 在相平面上绘制出若干条等倾线,在等倾线上各 点处作斜率为a的短直线,并以箭头表示切线方向, 则构成相轨迹的切线方向场。
特征根: s12 wn jwn 1 2 相轨迹方程
等倾线方程
dx 2wn x w 2 x dx x 2 2wn x wn 2 x wn x a 即: x x x 2wn a
即等倾线是通过原点的直线。
(1) 0< <1
其中f(0)和g(0)为非线性函数。 当非线性程度不严重时,可以忽略非线性特性的影响,从而可将非线性环节 视为线性环节;当系统方程解析且工作在某一数值附近的较小范围时,可运用小 偏差法将非线性模型线性化。 注意,对于非线性程度比较严重,且系统工作范围较大的非线性系统,只有 使用非线性的分析和设计方法,才能得到较为正确的结果。 要对系统进行高性能和高精度的控制,必须针对非线性系统的数学模型,采 用非线性控制理论进行研究。此外,为了改善系统的性能,实现高质量的控制, 还必须考虑非线性控制器的设计。例如,为了获得最短时间控制,需对执行机构 采用继电控制,使其始终工作在最大电压或最大功率下,充分发挥其调节能力; 这了兼顾系统的响应速率和稳态精度,需使用变增益控制器。 非线性特性千差万别,对于非线性系统,目前还没有统一的且普遍适用的处 理方法。线性系统是非线性系统的特例,线性系统分析和设计方法在非线性控制 系统的研究中仍将发挥非常重要的作用
一、相平面图的基本概念
二阶系统
2 x 2w n x w n x 0
. 令x1x, x2 x
x1 x 2 x 2 w n x1 2w n x
以相变量x1和x2为坐标构成平面,称为 相平面 (phase plane)。
在相平面上,由(x1,x2)以时间为参变 量构成的曲线,称为相轨迹 (phase trajectory)。 . x=x
输出
K -b 0 b 输入
(四) 继 电 器 型 非 线 性
输出 M M -h 0
输出
(On-off nonlinear)
0
-M (a) M 输出 -h 0 -M h
输入
h
-M (b) 输出
输入
M 输入
-h -mh 0 mh h
-M
输入
(c)
(d)
当系统中含有一个或多个具有非线性特性的元件时, 该系统称为非 线性系统。一般地,非线性系统的数学模型可以表示为
K ′ >0
B
振幅 0
频率
系统进行强迫振荡实验 时的微分方程是:
.. . ′x 3=Pcoswt M x +B x +Kx+ K
频率响应
x
2 6
x
K ′ >0
5 3
K ′ <0
1
5 3 0 4 1 6 2 4
ω0
ω
0
ω0
ω
具有硬弹簧的机械系统
具有软弹簧的机械系统
三、非线性系统的研究方法
相平面法(Phase-plane technique)