第一章傅里叶变换

f (t ) sin tdt
叫做 f (t ) 的傅立叶正弦变换，而
f (t )

2

0
Fs ( ) sin td

叫做 F ( ) 的傅立叶正弦逆变换。

当 f (t ) 为偶函数时，
Fc ( )
0
f (t ) costdt
Fc ( ) cos td

叫做 f (t ) 的傅立叶余弦变换，而

(t )e j t dt e j t
t 0
1
可见，单位脉冲函数 (t 与常数 1构成了一个 )
傅立叶变换对，同理， (t 和 t0 )
j t 0 也构成了 e
一个傅立叶变换对。

1.2.3 非周期函数的频谱 在频谱分析中，傅氏变换 F ( ) 又称为f (t ) 的 频谱函数，而模 | F ( ) | 称为 f (t ) 的振幅频谱， 它是 的偶函数，即
1 f (t ) 2




[来自百度文库


f ( )e j d ]e j t d
(1.2)
成立，而左端的 f (t ) 在它的间断点处，应以
f (t 0) f (t 0) 来代替。 2

这个公式称为傅立叶积分公式。 若 f (t ) 为奇函数，则有
f (t ) [
2、对称性质 若 F () ℱ [ f (t )] ，则有
f (ℱ ) ℱ [ F (t )] 2 ，
[ F (t )] 2f ( )


3、位移性质

E ,0 t ; 例1 求矩形单脉冲 f (t ) 的频谱函 0, 其它
ℱ [ f (t t0ℱ )] e j t
F ( ) f (t )e


jt
dt
e e
0

t jt
dt
e
0

( j ) t
1 j dt 2 2 j
故所求积分表达式为
1 jt f (t ) F ( )e d 2 1 j jt e d 2 2 2 1 cost sin t d 2 2 2



(t ) f (t )dt =f 0 ， (t t0 ) f (t )dt f t0


（2） 函数为偶函数,即 (t ) (t )
t
d ( )d u(t ) ，dt u (t ) (t ) （3） 0, t 0 其中， u (t ) 称为单位跃进函数。 1, t 0


0

当


2
1

sin


(cos t j sin t )d d , (t 1)
sin cos t
0

t 1时，f (t ) 应以
f (1 0) f (1 0) 1 2 2
代替。
E , | t | ; 例2: 求矩形单脉冲函数 f (t ) 2 的 0, 其它。 傅里叶积分公式。
f (t )

2

0

叫做 F ( ) 的傅立叶余弦逆变换。
0, t 0; 例1 求函数 f (t ) t 的傅立叶变换及 e , t 0 其积分表达式，其中 0 ，这个 f (t ) 叫做
指数衰减函数，是工程技术中常碰到的一个 函数。 解：傅里变换为




级数，在 f (t ) 的连续点处，级数的三角形 式为：
a0 f (t ) (an cosnt bn sin nt ) 2 n1


(1.1)
其中，
2 2 T2 , an T f (t ) cos ntdt , (n 0,1,2,) T T 2 2 T2 bn T f (t ) sin ntdt , (n 1,2,) T 2
1, 0 t 1, 例2 求函数 f (t ) 的正弦变换和 0, t 1 余弦变换。
解： f (t ) 的正弦变换为
Fs ( )

0
f (t ) sin tdt
1 cos

1 sin
;
f (t ) 的余弦变换为
Fc ( )

0
| F () F (。 ) |

1.3 Fourier变换的性质 1、线性性质
F2 ( ) 设 F1 () ℱ [ f1 (t )] ，

[ f 2 (t )]， , 是常数， ℱ
则


ℱ [f1 (t ) 2 f (t )] F1 () F2 ()


十八世纪，微积分学中，人们通过微分、积 分运算求解物体的运动方程。到了十九世纪， 英国著名的无线电工程师海维赛德 （Heaviside）为了求解电工学、物理学领域 中的线性微分方程，逐步形成了一种所谓的 符号法，后来就演变成了今天的积分变换法。 即通过积分运算把一个函数变成另一个函数。 同时，将函数的微积分运算转化为代数运算， 把复杂、耗时的运算简单、快速完成。 积分变换的理论和方法不仅在数学的许多分 支中，而且在其它自然科学和各种工程技术 邻域中都有着广泛的应用。
an jbn 1 T2 cos nt j sin nt T f (t )[ ]dt 2 T 2 2 1 T2 T f (t )e jnt dt T 2 an jbn 1 T2 cos nt j sin nt T f (t )[ ]dt 2 T 2 2 1 T2 T f (t )e jnt dt T 2 T
F ℱ()
[ f (t )]

F ( ) 叫做 f (t ) 的象函数，(1.4)式称为 F ( )
的傅立叶逆变换，可记为 1 [ F ( )] ℱf (t ) f (t ) 叫做 F ( ) 的象原函数。 当 f (t ) 为奇函数时，
Fs ( )

0
第一章 Fourier变换

1.1 Fourier积分 1.1.1 傅立叶级数的复指数形式
设 f (t ) 是以 T 为周期的周期函数，如果它在 T , 区间 [ T 2 2 ] 上满足狄利克雷条件：
T , （1）f (t ) 在 [ T 2 2 ] 上连续或者只有有限个 第一类间断点； T （2） f (t ) 在[ T 上只有有限个极值点。 , 2 2] T , 那么， f (t ) 在 [ T 2 2 ]上就可以展开成傅氏

函数的定义
满足下列两个条件的函数称为 函数：
0, t 0 Ⅰ (t ) ； Ⅱ (t )dt 1 , t 0 函数用一个长度等于1的有向线段来表示,如下图
(t )
1
o
t

函数的性质
（1）对任何一个无穷次可微函数 f (t ) ，有
'
[ f (t )]
推论：若 f ( k ) (t ) 在 (,) 上连续或只有有 限个可去间断点，且
|t |
lim f ( k ) (t ) 0, k 0,1,2,, n 1
( j)n ℱ [ f (n) (t )] ℱ

则有
[ f (t )]

象函数的导数公式
解：
1 f (t ) 2 1 2 1 2
[




f ( )e
j
d ]e d
jt
j t
[ Ee
2 2



j
d ]e d
) e d
jt


2E


sin(
t
2
1 2


2E sin
t
2
cos
积分变换
中南大学数学与统计学院 王国富
引言

在自然科学和工程技术中，为了把较复 杂的运算简单化，人们常常采用所谓的 变换的方法来达到目的。如十七世纪， 航海和天文学积累了大批观察数据，需 要对它们进行大量的乘除运算。在当时， 这是非常繁重的工作，为了克服这个困 难，1614年纳皮尔（Napier)发明了对数， 它将乘除运算转化为加减运算，通过两 次查表，便完成了这一艰巨的任务。


若令 n n ，
则(1.1)式可写成
jn t
a0 e f (t ) (an 2 n 1
e 2
jn t
bn
e
jnt
e 2j
jnt
)
a0 an jbn jnt an jbn jnt ( e e ) 2 n 1 2 2
f (t ) cos tdt

.


1.2.2 单位脉冲函数及其傅立叶变换
在物理和工程技术中,除了用到指数衰减函数外, 还常常会碰到单位脉冲函数.因为在许多物理现象 中,除了有连续分布的物理量外,还会有集中在一 点的量（点源）,或者具有脉冲性质的量.例如瞬 间作用的冲击力,电脉冲等.在电学中,我们要研究 线性电路受具有脉冲性质的电势作用后所产生的 电流；在力学中,要研究机械系统受冲击力作用后 的运动情况等.研究这类问题就会产生我们要介绍 的脉冲函数.有了这种函数,对于许多集中在一点 或一瞬间的量,例如点电荷、点热源、集中于一点 的质量以及脉冲技术中的非常狭窄的脉冲等,就能 够像处理连续分布的量那样,用统一的方式来加以 解决.
解：根据Fourier积分公式的复数形式，有
1 j j t f (t ) [ f ( ) e d ] e d 2 1 1 j t [ (cos j sin )d ]e d 2 1 1 1 j t [ cos d ]e d
0
2


0
f ( ) sin d ] sin td

若 f (t ) 为偶函数，则有
f (t ) [
0
2


0
f ( ) cos d ] cos td

它们分别称为傅立叶正弦积分公式和傅立叶
余弦积分公式。
1, | t | 1 例1 求函数 f (t ) 的傅立叶积分表达 0 , 其它 式。
0
[ f (t )]
数。

解：先直接根据傅立叶变换的定义求，再根 据1.2中例6介绍的矩形单脉冲的频谱函数利 用位移性质可求得同样的结果。

4、微分性质 如果 f (t ) 在 (,)上连续或只有有限个可 去间断点，且当| t | 时，f (t ) 0 ，则
ℱ

[ fℱ (t )] j
t
2 d





1.2 Fourier变换 1.1.1 Fourier变换的概念 在(1.2)式中，设
F ( ) f (t )e


j t
dt
(1.3)
则
1 j t f (t ) F ( )e d (1.4) 2 (1.3)式称为 f (t ) 的傅立叶变换式，可记为

1 2 cn T f (t )e jn t dt , (n 0, 1, 2,) T 2 f (t )
n jnt c e n

这就是傅立叶级数的复指数形式。

1.1.2 傅立叶积分定理 若 f (t ) 在 (,) 上满足下列条件： （1） f (t ) 在任一有限区间上满足狄利克雷 条件；（2） f (t ) 在无限区间 (,) 上绝 对可积（即积分 | f (t ) | dt 收敛），则有

（4）若 f (t )为无穷次可微函数，则有




(t ) f (t )dt f (0)
' '
一般地，有




( n) (t ) f (t )dt (1) n f ( n) (0)
函数的傅立叶变换
F ( ) =ℱ t