几何图形中的最值问题专题复习

A（1，0），B（1﹣a，0），C（1+a，0）（a＞0），
点P在以D（4，4）为圆心，1为半径的圆上运动，且
始终满足∠BPC=90°，则a的最大值是
.
真题示例6
【解题思路、方法】
1. 综合已知条件，分析其中不变元素及不变关系，恰当转化； 2.根据点的运动轨迹，找出与定点距离最远时的位置，化动为静 .
真题示例3
A
E
O
F
B
D
C
【解题思路、方法】
【解题策略】
1.综合分析题中已知条件，归纳发现动态过程 1.变化中寻找不变性 ；
中的不变元素、不变关系、内在联系；
2.化动为静，根据内在联系转化相关线段. 2.化动为静，化归转化.
【知识源】
真题示例4
（2013宿迁）在平面直角坐标系xOy中，已知点 A（0，1），B（1，2），点P在x轴上运动，当 点P到A、B两点距离之差的绝对值最大时，点P
【知识源】圆外一点与圆心的连线上，该点和此直线与圆
的近交点距离最短、远交点距离最长
真题示例7 （2016江苏常州）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次
函数y=x与二次函数y=x2+bx的图象相交于O、A两点， 点A（3，3），点M为抛物线的顶点．
（1）求二次函数的表达式；y=x2-2x
（2）长度为2 的线段PQ在线段OA（不包括端点）上 滑动，分别过点P、Q作x轴的垂线交抛物线于点P1、Q1， 求四边形PQQ1P1面积的最大值；
最小值为A1A2 的长.
真题示例2
（2016·四川内江）如图所示，已知点C(1，0)， 直线y＝－x＋7与两坐标轴分别交于A，B两点， D，E分别是AB，OA上的动点，则△CDE周长 的最小值是______1．0
E
C1 ·
D ·C2
△CDE周长=CD+CE+DE=C1C2
基本模型
·B ·A
·P ·A′
（3）若点M为该抛物线上一动点，在（2）的条件下，请求出当
|PM﹣AM|的最大值时点M的坐标，并直接写出|PM﹣AM|的最
大值．
y
B
P
A
C
O
x
M
真题示例4、5
P·′
·P
·A′
P·
P·
【解题思路、方法】
作图尝试，结合已知定点，利用三角形的三边关系，找出特 殊位置解决线段之差最大问题.
真题示例6
(2016四川泸州)如图，在平面直角坐标系中，已知点
的坐标是（-1,0） ．
当A、B、P三点不共线时， |PA﹣PB|＜AB
当A、B、P三点共线时，
·P
·P
|PA﹣PB|=AB
|PA﹣PB|≤AB
变式: 在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，
-1），B（1，2），点P在x轴上运动，当
|PA﹣PB|最大时，点P的坐标是（3,0）．
·A′
P·
P·
E
E
【解题策略】 1.树立坐标意识，通过坐标表示相关线段长度、面积； 2.运用函数思想，构建函数模型，通过二次函数的性质求
出相应的最值.
专题总结
结合题意，画图尝试，动中觅静； 分析总结图形在运动过程中不变元素 ； 探寻运动变化中隐含的不变关系与内在联系 ； 建立相关模型实现最值转化 .
对角线BD上一动点，则EP+FP的最小值为 2 3 .
【知识源】
1.两点之间线段最短 2.垂线段最短
EP+FP= EP+F / P = EF /
当EF /与边AB垂直时 EF /的值最小
真题示例3
（2012浙江宁波）如图，△ABC中， ∠BAC=60°， ∠B=45° ，AB= 2 2 ，D是 线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分 别交AB，AC于E，F，连接EF，则线段EF长 度的最小值为 .
（一）
小河
·A1 草地
M
·A N ·A2
（二）
河流
【解题思路、方法】
1.利用轴对称画出取最小值时点的位置， 建立相关模型；
2.把线段之和转化在同一条直线上．
【解题策略】
1.画图建模
2.化归转化
试题原创
（原创）如图，在周长为16的菱形ABCD中， ∠A=120°，E、F为边AB、CD上的动点，若P为
江苏沭阳如东实验学校 王春梅
问题情境
1.乌龟与兔子想从点A到点B，走那条路线最短？ ③. 根据是 两点之间，线段最.短
①
② ③
A
B
④
问题情境
2.如图，污水处理厂要从A处把处理过的水引入排水 沟PQ，应如何铺设排水管道，才能使用料最省？试 画出铺设管道的路线？并说明理由。
Q A
B
P
理由：垂线段最短
问题情境
3.已知一个三角形玩具的三边长分别为6㎝，8㎝， a㎝，则a的最值范围是 2㎝＜a＜14 ㎝ .
依据：三角形两边之差小于第三边，两边之和大于第三边.
4.已知圆外一点P到圆⊙O上最近点的距离是5㎝， ⊙O 的半径是2㎝，则这点到圆上最远点的距离是 9 ㎝ .
圆外一点与圆心的连线上，该点和此直线与圆
PA=P A′ |PA﹣PB|= |PA ′ ﹣PB|
≤A ′ B
当A ′、B、P三点共线时， |PA﹣PB|最大
真题示例5
（2016四川眉山 ）26．已知如图ห้องสมุดไป่ตู้在平面直角坐标系xOy中，
点A、B、C分别为坐标轴上的三个点，且OA=1，OB=3，OC=4，
（（（（1212C））））、求在PP坐为经平标顶过面为点直A（、的角5B四坐，、边标3C）形系三为x点O菱的y中形抛是？物否若线存存的在在解一，析点请式P求；，出使点得P以的以坐点标A；、B、
命题预测
1.综合性逐渐增强，如多个知识源、知识点的 相互整合渗透；
2.注重对基本技能和基本思维方法的考查，注 重了初、高中知识的衔接；
依据： 的近交点距离最短、远交点距离最长
.
知识回顾
①两点之间线段最短； ②垂线段最短； ③三角形的三边关系：三角形两边之差小于第三边， 两边之和大于第三边 ④圆外一点与圆心的连线上，该点和此直线与圆的近 交点距离最短、远交点距离最长
真题示例1
（2016·福建龙岩）如图，在周长为12的菱形ABCD 中，AE=1，AF=2，若P为对角线BD上一动点， 则EP+FP的最小值为（ C ） A．1 B．2 C.3 D．4
P F/
EP+FP= EP+F / P = EF /
【题型特征】利用轴对称求最短路线问题
基本模型
·B ·A
·P ·P
小河
·A′
（一）
此时，PA+PB
= PA ′+PB
= BA ′
最小值为BA ′的长.
·A1 草地
M
·A N ·A2 河流
（二）
此时，MA+MN+NA
=MA1+MN+NA2 = A1A2