05 第五节 二阶线性微分方程解的结构

第五节 二阶线性微分方程解的结构

分布图示

★ 二阶线性微分方程的概念

二阶线性微分方程的解的定理

★ 定理1

★ 函数的线性相关与线性无关

★ 定理2 ★ 定理3

★ 定理4

★ 定理5 ★ 例1

★ 内容小结 ★ 课堂练习

★ 习题8-5

内容要点

一、二阶线性微分方程解的结构

二阶线性微分方程的一般形式是

)()()(2

2x f y x Q dx dy x P dx y d =++， (6.1) 其中)(x P 、)(x Q 及)(x f 是自变量x 的已知函数，函数)(x f 称为方程(6.1)的自由项. 当0)(=x f 时, 方程(6.1)成为

0)()(22=++y x Q dx dy x P dx

y d ， (6.2) 这个方程称为二阶齐次线性微分方程，相应地，方程(6.1)称为二阶非齐次线性微分方程.

定理1 如果函数)(1x y 与)(2x y 是方程(6.2)的两个解, 则

)()(2211x y C x y C y += (6.3)

也是方程(6.2)的解，其中21,C C 是任意常数.

定理2 如果)(1x y 与)(2x y 是方程(6.2)的两个线性无关的特解，则

)()(2211x y C x y C y +=

就是方程(6.2)的通解，其中21,C C 是任意常数.

定理3 设*

y 是方程(6.1)的一个特解，而Y 是其对应的齐次方程(6.2)的通解，则

*+=y Y y (6.4) 就是二阶非齐次线性微分方程(6.1)的通解.

定理4 设*1y 与*

2y 分别是方程

)()()(1x f y x Q y x P y =+'+''

与 )()()(2x f y x Q y x P y =+'+''

的特解，则*

*+21y y 是方程

)()()()(21x f x f y x Q y x P y +=+'+'' (6.5) 的特解.

定理5 设21iy y +是方程

)()()()(21x if x f y x Q y x P y +=+'+'' (6.6)

的解，其中)(),(),(),(21x f x f x Q x P 为实值函数，i 为纯虚数. 则1y 与2y 分别是方程

)()()(1x f y x Q y x P y =+'+''

与 )()()(2x f y x Q y x P y =+'+''

的解.

例题选讲

例 1 已知x x x x x x x e e xe y e xe y e xe y ---+=-=+=23221,,是某二阶非齐次线性微分方程的三个特解：

（1）求此方程的通解；

（2）写出此微分方程；

（3）求此微分方程满足6)0(,7)0(='=y y 的特解.

解 (1) 由题设知, ,232y y e x -=21y y e x -=-是相应齐次线方程的两个线性无关的解,且,21x x e xe y +=是非齐次线性方程的一个特解，故所求方程的通解为 y x x x x e C e C e xe -+++=2202x x x e C e C xe -++=221，其中.101C C +=

(2) 因y x x x e C e C xe -++=221 ①

所以x x x x e C e C xe e y --++='2212②

x x x x e C e C xe e y -+++=''22142

从这两个式子中消去,,21C C 即所求方程为;22x x xe e y y y -=-'-''

(3) 在①, ②代入初始条件,6)0(,7)0(='=y y 得

,721=+C C 61221=+-C C ⇒,41=C ,32=C

从而所求特解为 .342x x x xe e e y ++=-

课堂练习

1.下列函数组在其定义域内哪些是线性无关的?

).(,)2(;,)1(22b a e e xe e bx ax x x ≠

2.给出n 阶线性微分方程的n 个解, 问能否写出这个微分方程及其通解?