9分治算法

每执行一次算法的 while循环， 待搜索数 组的大小减少一半。因 此，在最坏情况下， while循环被执行了 O(logn) 次。循环体内 运算需要O(1) 时间， 因此整个算法在最坏情 况下的计算时间复杂性 为O(logn) 。
分治法的适用条件
分治法所能解决的问题一般具有以下几个特征： ● 该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决； ● 该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题，即该 问题具有最优子结构性质 ● 利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的 解； ● 该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问 题之间不包含公共的子问题。 这条特征涉及到分治法的效率，如果各子问题是不 能否利用分治法完全取决于问题是否具有这条特征， 这条特征是应用分治法的前提，它也是大多数问题 因为问题的计算复杂性一般是随着问题规模的增加 可以满足的，此特征反映了递归思想的应用 而增加，因此大部分问题满足这个特征。 独立的，则分治法要做许多不必要的工作，重复地 如果具备了前两条特征，而不具备第三条特征，则 可以考虑贪心算法或动态规划。 解公共的子问题，此时虽然也可用分治法，但一般 用动态规划较好。
合并排序
最坏时间复杂度：O(nlogn) 平均时间复杂度：O(nlogn) 辅助空间：O(n) 稳定性：稳定
●解决算法实现的同时，需要估算算法实现所需时间。分治 算法时间是这样确定的： 解决子问题所需的工作总量（由 子问题的个数、解决 每个子问题的工作量 决定） 合并所有子问题所需的工作量
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21Βιβλιοθήκη 4333
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1
剔除多余括号（CTSC94-1）
76 97]
分治基本步骤
基本思想：将待排序元素分成大小大致相同的2个子集合，分 别对2个子集合进行排序，最终将排好序的子集合合并成为所 要求的排好序的集合。
if 问题不可分 then 求解 else （1）分出问题的一个子问题1， 并求解子问题1 （2）分出问题的一个子问题2， 求解子问题2 （3）合并子问题1和子问题2
end; end; {结束}
【例1】归并排序
● 【例1】归并排序（合并排序），将序列 A[1],A[2],A[3]…A[N]进行归并排序。 ● 归并排序也是基于分治策略的另一 个算法。归并的思路是把两个已经排好序 的数组合并为一个。
初始值 一趟归并排 序
E Y U K S L B E Y K U L S B
if p=r then 结束（只有一个元素，默认排序好） else merge_sort(A,p,q);
Merge_sort(A,q+1,r);
merge(A, p,q,r);
合并排序算法分析
● 【算法分析】：合并排序的算法就是二分法。 ● 【分解】：将n个元素各含或个元素的子序列； ● 【合并】：合并两个已排序的子序列以得到排序结果。 ● 在对子序列排序时，当其长度为1时递归结束，单个 元素被视为是已排序的关键步骤在于合并步骤中产生的两 个已排好序的子序列将它们合并为一个已排好序的子序列。 我们引入一个辅助过程merge(A,P,Q,R)来完成这一合并 工作，其中A是数组，P,Q,R是下标。这个过程如果用玩 扑克来比喻，同学们可以更容易理解：桌面上有两堆牌， 每一堆都是排好序的，最小的牌在最上面，我们希望把这 两碓牌合并成排好序的一堆加以输出，基本步骤包括：先 取面朝上的两堆牌的顶上两张中较小的一张，将它取出面 朝下地放到输出堆中。重复这个步骤直到某一输入堆为空。 这时把另一个输入堆中余下的牌面朝下放入即可。
二分搜索技术
给定已按升序排好序的n个元素a[0:n-1]，现要在这n个元素中找 出一特定元素x。 分析： 该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决； 该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题; 分解出的子问题的解可以合并为原问题的解； 分解出的各个子问题是相互独立的。 分析：如果n=1即只有一个元素，则只要比较这个元素和x就 分析：比较x和a的中间元素a[mid]，若x=a[mid]，则x在L中的 可以确定x是否在表中。因此这个问题满足分治法的第一个适 位置就是mid；如果x<a[mid]，由于a是递增排序的，因此假 分析：很显然此问题分解出的子问题相互独立，即在a[i]的前 用条件 如x在a中的话，x必然排在a[mid]的前面，所以我们只要在 面或后面查找x是独立的子问题，因此满足分治法的第四个适 a[mid]的前面查找x即可；如果x>a[i]，同理我们只要在a[mid] 用条件。 的后面查找x即可。无论是在前面还是后面查找x，其方法都 和在a中查找x一样，只不过是查找的规模缩小了。这就说明 了此问题满足分治法的第二个和第三个适用条件。
A+b/(c-d)
注意输入a+b时不能输出b+a。 表达式以字符串输入，长度不超过255，输入不需要判错。 所有变量为单个小写字母。只是要求去掉所有多余括号，不要求对表达式简化。
分析：
● ● ● ● 对于四则运算表达式，我们分析一下哪些括号 可以去掉。 设待整理的表达式为（s1 op s2）；op为括号内 优先级最低的运算符（“+”，“-”或“*”， “/”）； 左邻括号的运算符为“/”，则括号必须保留， 即…/（s1 op s2）…形式。 左邻括号的预算符为“*”或“-”。而op为“+” 或“-”，则保留括号，即…*（s1+s2）…或…（s1+s2）…或…*（s1-s2）…或…-（s1s2）…。 右邻括号的运算符为“*”或“/”，而op为“+” 或“-”，原式中的op运算必须优先进行，因此括 号不去除，即（s1+s2）*… 除上述情况外，可以括号去除，即…s1 op s2… 等价于…（s1 op s2）… 我们从最里层嵌套的括号开始，依据上述规律 逐步向外进行括号整理，直至最外层的括号保 留或去除为止。这个整理过程可以用一个递归 过程来实现。图26 括号剔除示例图 例如，剔除表达式“（（a+b）*f）-（i/j）”中 多余的括号。依据上述算法进行整理的过程如 图。
【例题分析】
● 【比赛安排】 ● 设有2^n(n<=6)个球队进行单 循环比赛,计划在2^n-1天内完 成,每个队每天进行一场比赛。 设计一个比赛的安排,使在 2^n-1天内每个队都与不同的 对手比赛。
n=2时的比赛安排为:
1 2 3 4
2
1
4
3
3
4
1
2
4
3
2
1
n=4时的比赛安排为:
n=8时的比赛安排为:
算法总体思想
● 将要求解的较大规模的问题分割成k个更小规模的子问 题。
T(n)
=
n
T(n/2)
T(n/2)
T(n/2)
T(n/2)
算法总体思想
● 对这k个子问题分别求解。如果子问题的规模仍然不够 小，则再划分为k个子问题，如此递归的进行下去，直 到问题规模足够小，很容易求出其解为止。
T(n)
n/2
=
n/2
n
n/2 n/2
T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4) T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4) T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4) T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4
算法总体思想
● 将求出的小规模的问题的解合并为一个更大规模的问 题的解，自底向上逐步求出原来问题的解。
递归算法要点
● 设定边界条件 ● 一般使解决的问题规模变小 ● 自身调用。
分治的具体过程
● begin ｛开始｝ if ①问题不可分 then ②返回问题解 else begin
③从原问题中划出含一半运算对象的子问题1； ④递归调用分治法过程，求出解1； ⑤从原问题中划出含另一半运算对象的子问题2； ⑥递归调用分治法过程，求出解2； ⑦将解1、解2组合成整修问题的解；
分治策略
● 分治法:有很多算法在结构上是递归的：为了 解决一个给定的问题，算法要一次或多次地调用 其本身来解决相关的子问题。这些算法通常采用 分治策略：将原问题分成n个规模较小而结构与原 问题相似的子问题。递归地解这些子问题，然后 合并结果就得到原问题的解。n=2时的分治法又 称二分法。 ● 分治的基本思想是将一个规模为n的问题分解 为k个规模较小的子问题，这些子问题互相独立且 与原问题相同。找出各部分的解，然后把各部分 的解组合成整个问题的解。
● ● ●
● procedure qsort(l,r:integer); ● var i,j,mid:integer; ● begin ● i:=l;j:=r; mid:=a[(l+r) div 2]; {将当前序列在中间位置的数定义为中间数} ● repeat ● while a[i]<mid do inc(i); {在左半部分寻找比中间数大的数} ● while a[j]>mid do dec(j);{在右半部分寻找比中间数小的数} ● if i<=j then begin {若找到一组与排序目标不一致的数对则交换它们} ● swap(a[i],a[j]); ● inc(i);dec(j); {继续找} ● end; ● until i>j; ● if l<j then qsort(l,j); {若未到两个数的边界，则递归搜索左右区间} ● if i<r then qsort(i,r); ● end;{sort}
两趟归并排 序
三趟归并排 序
E
K
U
Y
B
L
S
B
E
K
L
S
U
Y
合并排序
算法mergeSort的递归过程可以消去。
初始序列
[49] [38] [65] [97] [76] [13] [27]
第一步
[38 49]
[65 97]
[13 76]
[27]
第二步
[38 49 65 97]
[13 27 76]
第三步
[13 27 38 49 65
● 键盘输入一个含有括号的四则运算表达式，可能含有多余的括号， 编程整理该表达式，去掉所有多余的括号，原表达式中所有变量 和运算符相对位置保持不变，并保持与原表达式等价。 ● 例如：
输入表达式 应输出表达式 A+b(+c) A+b+c
(a*b)+c/(d*e)
A+b/(c-d)
A*b+a/(d*e)
T(n)
n/2
=
n/2
n
n/2 n/2
T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4) T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4) T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4) T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4
分治算法
● 1、解决算法实现的同时，需要估算算 法实现所需时间。分治算法时间是这样确 定的： 解决子问题所需的工作总量（由 子问 题的个数、解决每个子问题的工作量 决定） 合并所有子问题所需的工作量 ● 2、分治法是把任意大小问题尽可能地 等分成两个子问题的递归算法
【例2】快速排序
● ● 快速排序是基于分治策略的一个排序算法。按 照分治法的思想分析快速排序： （1）【分解】(Divide) 以元素a[p]为基准元素将a[p：q-1]划分为三段 a[p：q-1]，a[q]和a[q+1：r]，使得a[p：q-1]中任何一个元 素都小于a[q]，a[q+1：r]中任何一个元素大于等于a[q]，下 标q在划分中确定。 （2）【递归求解】(Conquer) 通过递归调用快速排序算法分别对a[p:q-1] 和 a[q+1:r]进行排序。 （3）【合并】(Merge) 由于a[p:q-1] 和a[q+1:r]的排序都是在原位置进 行的，所以不必进行任何合并操作就已经排好序了。 在上面三个步骤中，第一步：分解是关键，一 次快速排序确定划分元素的位置。
二分搜索技术
给定已按升序排好序的n个元素a[0:n-1]，现要在这n个元素中找 出一特定元素x。 算法复杂度分析： 据此容易设计出二分搜索算法：
// 在 a[0] <= a[1] <= ... <= a[n-1] 中搜索 x // 找到x时返回其在数组中的位置，否则返回-1 int left = 0; int right = n - 1; while (left <= right) int middle = (left + right)/2; if (x == a[middle]) return middle; if (x > a[middle]) left = middle + 1; else right = middle - 1; return -1; // 未找到x
递归与分治策略
授课：陈嘉庆
分治策略
● 任何一个可以用计算机求解的问题所 需的计算时间都与其规模有关。问题规模 越小，解题所需的计算时间往往也越少， 从而也越容易计算。想解决一个较大的问 题，有时是相当困难的。分治法的思想就 是，将一个难以直接解决的大问题，分割 成一些规模较小的相同问题，以便各个击 破，分而治之。