高一数学排列组合与概率统计问题
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将10个小球串成一串，截为4段有 C93 84
种截断法，对应放到4个盒子里. 因此，不同的分配方案共有84种 .
6.错位法： 编号为1至n的n个小球放入编号为1到 n的n个盒 子里,每个盒子放一个小球.要求小球与盒子的编 号都不同,这种排列称为错位排列. 特别当n=2,3,4,5时的错位数各为1,2,9,44.
A44 A77
种A 排法.
→↑ →↑ ↑ →→→↑ →→ 1 ①2 ②③3 4 5 ④6 7
其中必有四个↑和七个→组成!
所以, 四个↑和七个→一个排序就对应一条路经,
所以从A到B共有
C51 (51)(81)
C141
条不同的路径.
5.剪截法（隔板法）：
n个 相同小球放入m(m≤n)个盒子里,要求每个 盒子里至少有一个小球的放法等价于n个相同小球 串成一串从间隙里选m-1个结点剪截成m段. 例5. 某校准备参加今年高中数学联赛,把16个选手 名额分配到高三年级的1-4 个教学班,每班至少一个 名额,则不同的分配方案共有___种.
例4. 5个人站成一排，甲总站在乙的右侧的有多少 种站法？
方法1：将5个人依次站成一排，有 A55 种站法，
然后再消去甲乙之间的顺序数 A22
∴甲总站在乙的右侧的有站法总数为
A55 A22
543
A53
方法2：先让甲乙之外的三人从5个位置选出3个站好，
有 A53 种站法，留下的两个位置自然给甲乙有1种站法
第一步，把甲乙排列(捆绑)： 有A22＝2种捆法甲 乙
第二步，甲乙两个人的梱看作一个元素与其它的排队：
有A55＝120种排法
共有2 120＝240种排法
几个元素必须相邻时,先 捆绑成一个元素，再与 其它的进行排列.
4.消序法(留空法)
几个元素顺序一定的排列问题，一般是先排列，再 消去这几个元素的顺序.或者，先让其它元素选取位置 排列，留下来的空位置自然就是顺序一定的了.
分析： 问题等价于把16个相同小球放入4个盒子 里,每个盒子至少有一个小球的放法种数问题.
将16个小球串成一串，截为4段有 C135 455
种截断法，对应放到4个盒子里.
因此，不同的分配方案共有455种 .
5.剪截法：
n个 相同小球放入m(m≤n)个盒子里,要求每个 盒子里至少有一个小球的放法等价于n个相同小球 串成一串从间隙里选m-1个结点剪截成m段. 变式： 某校准备参加今年高中数学联赛,把16个选 手名额分配到高三年级的1-4 个教学班,每班的名额 不少于该班的序号数,则不同的分配方案共有___种. 分析： 问题等价于先给2班1个，3班2个，4班3个， 再把余下的10个相同小球放入4个盒子里,每个盒子 至少有一个小球的放法种数问题.
共有120 30＝3600种排法
几个元素不能相邻 时,先排一般元素， 再让特殊元素插孔.
3.捆绑法
相邻元素的排列，可以采用“局部到整体”的 排法，即将相邻的元素局部排列(捆绑)当成“一个” 元素，然后再进行整体排列.
例3 . 6人排成一排.甲、乙两人必须相邻,有多少种不的排法?
解：分两步进行：
♀♀♀♀♀♀
例6. 编号为1至6的6个小球放入编号为1至6的6个 盒子里,每个盒子放一个小球,其中恰有2个小球与盒 子的编号相同的放法有____种.
解： 选取编号相同的两组球和盒子的方法有 C62 15
1. 分组（堆）问题 例1.有五项不同的工程，要发包给三个工程队，要
求每个工程队至少要得到一项工程. 共有多少种不同 的发包方式？
解：要完成发包这件事，可以分为1-1-3、1-2-2两 类发包方式.
⑴完成1-1-3发包方式有两个步骤：
①先将四项工程分为三“堆”，有
C53C21C11 A22
10
种分法；
排列组合是概率及统计的基础，因此，排列
组合内容在高中数学教材中的位置也显得相对 重要。概率是初等概率论中最基本的内容，在 历年的高考中，排列组合知识多是选择题或填 空题，概率一般是一个解答题，这些题的题型 繁多，解法独特，因此得分率普遍较低。本讲 主要介绍几类常见的排列组合及概率统计问题 的分析和处理方法.
∴甲总站在乙的右侧的有站法总数为 A53 1 A53
4.消序法(留空法) 变式：如下图所示,有5
解: 如图所示
B
横8竖构成的方格图,从
A到B只能上行或右行
也共可有以多看少作条是不同的路线?
1,2,3,4,5,6,7,①,②,③, B
④顺序一定的排列，
A
将一条路经抽象为如下的一个
有
A11 11
排法(5-1)+(8-1)=11格:
1. 分组（堆）问题 分组（堆）问题的六个模型：①有序不等分；
②有序等分；③有序局部等分；④无序不等分； ⑤无序等分；⑥无序局部等分.
处理问题的原则：
①若干个不同的元素“等分”为 ｍ个堆,要将 选取出每一个堆的组合数的乘积除以m!
②若干个不同的元素局部“等分”有 ｍ个均等堆, 要将选取出每一个堆的组合数的乘积除以m! ③非均分堆问题，只要按比例取出分完再用乘 法原理作积. ④要明确堆的顺序时，必须先分堆后再把堆数当 作元素个数作全排列.即先分组后到位.
般”元素然后插入“特殊”元素，使问题得以
解决.
♀ ♀ ♀ ♀ ♀♀ ♀
↑ ↑ ↑ ↑↑ ↑
例2 . 7人排成一排.甲、乙两人不相邻，有多少种不同的排法？
解：分两步进行：
第1步，把除甲乙外的一般人排列： 有A55 =120种排法
第2步，将甲乙分别插入到不同的间隙或两端中(插孔)：
有A62 =30种插入法
（或
C53 10
种分法）
②再将分好的三“堆”依次给三个工程队，
有3!＝6种给法.
∴ 1-1-3发包方式共有10×6＝60种.
1. 分组（堆）问题
例1.有五项不同的工程，要发包给三个工程队，要
求每个工程队至少要得到一项工程. 共有多少种不同
的发包方式？
解：要完成发包这件事，可以分为1-1-3、1-2-2两
类发包方式.
⑵完成1-2-2发包方式也有两个步骤： 综上，共有
①先将四项工程分为三“堆”，有
C52C32C11 A22
15
种分法；
60+9个工程队，
有3!＝6种给法.
∴ 1-2-2发包方式共有15×6＝90种.
2.插空法： 解决一些不相邻问题时，可以先排“一
种截断法，对应放到4个盒子里. 因此，不同的分配方案共有84种 .
6.错位法： 编号为1至n的n个小球放入编号为1到 n的n个盒 子里,每个盒子放一个小球.要求小球与盒子的编 号都不同,这种排列称为错位排列. 特别当n=2,3,4,5时的错位数各为1,2,9,44.
A44 A77
种A 排法.
→↑ →↑ ↑ →→→↑ →→ 1 ①2 ②③3 4 5 ④6 7
其中必有四个↑和七个→组成!
所以, 四个↑和七个→一个排序就对应一条路经,
所以从A到B共有
C51 (51)(81)
C141
条不同的路径.
5.剪截法（隔板法）：
n个 相同小球放入m(m≤n)个盒子里,要求每个 盒子里至少有一个小球的放法等价于n个相同小球 串成一串从间隙里选m-1个结点剪截成m段. 例5. 某校准备参加今年高中数学联赛,把16个选手 名额分配到高三年级的1-4 个教学班,每班至少一个 名额,则不同的分配方案共有___种.
例4. 5个人站成一排，甲总站在乙的右侧的有多少 种站法？
方法1：将5个人依次站成一排，有 A55 种站法，
然后再消去甲乙之间的顺序数 A22
∴甲总站在乙的右侧的有站法总数为
A55 A22
543
A53
方法2：先让甲乙之外的三人从5个位置选出3个站好，
有 A53 种站法，留下的两个位置自然给甲乙有1种站法
第一步，把甲乙排列(捆绑)： 有A22＝2种捆法甲 乙
第二步，甲乙两个人的梱看作一个元素与其它的排队：
有A55＝120种排法
共有2 120＝240种排法
几个元素必须相邻时,先 捆绑成一个元素，再与 其它的进行排列.
4.消序法(留空法)
几个元素顺序一定的排列问题，一般是先排列，再 消去这几个元素的顺序.或者，先让其它元素选取位置 排列，留下来的空位置自然就是顺序一定的了.
分析： 问题等价于把16个相同小球放入4个盒子 里,每个盒子至少有一个小球的放法种数问题.
将16个小球串成一串，截为4段有 C135 455
种截断法，对应放到4个盒子里.
因此，不同的分配方案共有455种 .
5.剪截法：
n个 相同小球放入m(m≤n)个盒子里,要求每个 盒子里至少有一个小球的放法等价于n个相同小球 串成一串从间隙里选m-1个结点剪截成m段. 变式： 某校准备参加今年高中数学联赛,把16个选 手名额分配到高三年级的1-4 个教学班,每班的名额 不少于该班的序号数,则不同的分配方案共有___种. 分析： 问题等价于先给2班1个，3班2个，4班3个， 再把余下的10个相同小球放入4个盒子里,每个盒子 至少有一个小球的放法种数问题.
共有120 30＝3600种排法
几个元素不能相邻 时,先排一般元素， 再让特殊元素插孔.
3.捆绑法
相邻元素的排列，可以采用“局部到整体”的 排法，即将相邻的元素局部排列(捆绑)当成“一个” 元素，然后再进行整体排列.
例3 . 6人排成一排.甲、乙两人必须相邻,有多少种不的排法?
解：分两步进行：
♀♀♀♀♀♀
例6. 编号为1至6的6个小球放入编号为1至6的6个 盒子里,每个盒子放一个小球,其中恰有2个小球与盒 子的编号相同的放法有____种.
解： 选取编号相同的两组球和盒子的方法有 C62 15
1. 分组（堆）问题 例1.有五项不同的工程，要发包给三个工程队，要
求每个工程队至少要得到一项工程. 共有多少种不同 的发包方式？
解：要完成发包这件事，可以分为1-1-3、1-2-2两 类发包方式.
⑴完成1-1-3发包方式有两个步骤：
①先将四项工程分为三“堆”，有
C53C21C11 A22
10
种分法；
排列组合是概率及统计的基础，因此，排列
组合内容在高中数学教材中的位置也显得相对 重要。概率是初等概率论中最基本的内容，在 历年的高考中，排列组合知识多是选择题或填 空题，概率一般是一个解答题，这些题的题型 繁多，解法独特，因此得分率普遍较低。本讲 主要介绍几类常见的排列组合及概率统计问题 的分析和处理方法.
∴甲总站在乙的右侧的有站法总数为 A53 1 A53
4.消序法(留空法) 变式：如下图所示,有5
解: 如图所示
B
横8竖构成的方格图,从
A到B只能上行或右行
也共可有以多看少作条是不同的路线?
1,2,3,4,5,6,7,①,②,③, B
④顺序一定的排列，
A
将一条路经抽象为如下的一个
有
A11 11
排法(5-1)+(8-1)=11格:
1. 分组（堆）问题 分组（堆）问题的六个模型：①有序不等分；
②有序等分；③有序局部等分；④无序不等分； ⑤无序等分；⑥无序局部等分.
处理问题的原则：
①若干个不同的元素“等分”为 ｍ个堆,要将 选取出每一个堆的组合数的乘积除以m!
②若干个不同的元素局部“等分”有 ｍ个均等堆, 要将选取出每一个堆的组合数的乘积除以m! ③非均分堆问题，只要按比例取出分完再用乘 法原理作积. ④要明确堆的顺序时，必须先分堆后再把堆数当 作元素个数作全排列.即先分组后到位.
般”元素然后插入“特殊”元素，使问题得以
解决.
♀ ♀ ♀ ♀ ♀♀ ♀
↑ ↑ ↑ ↑↑ ↑
例2 . 7人排成一排.甲、乙两人不相邻，有多少种不同的排法？
解：分两步进行：
第1步，把除甲乙外的一般人排列： 有A55 =120种排法
第2步，将甲乙分别插入到不同的间隙或两端中(插孔)：
有A62 =30种插入法
（或
C53 10
种分法）
②再将分好的三“堆”依次给三个工程队，
有3!＝6种给法.
∴ 1-1-3发包方式共有10×6＝60种.
1. 分组（堆）问题
例1.有五项不同的工程，要发包给三个工程队，要
求每个工程队至少要得到一项工程. 共有多少种不同
的发包方式？
解：要完成发包这件事，可以分为1-1-3、1-2-2两
类发包方式.
⑵完成1-2-2发包方式也有两个步骤： 综上，共有
①先将四项工程分为三“堆”，有
C52C32C11 A22
15
种分法；
60+9个工程队，
有3!＝6种给法.
∴ 1-2-2发包方式共有15×6＝90种.
2.插空法： 解决一些不相邻问题时，可以先排“一