数的开方与二次根式讲义

数的开方与二次根式讲义

〖知识点〗

平方根、立方根、算术平方根、二次根式、二次根式性质、最简二次根式、 同类二次根式、二次根式运算、分母有理化 〖大纲要求〗

1.理解平方根、立方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根和算术平方根。会求实数的平方根、算术平方根和立方根（包括利用计算器及查表）；

2.了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的概念，会辨别最简二次根式和同类二次根式。掌握二次根式的性质，会化简简单的二次根式，能根据指定字母的取值范围将二次根式化简；

3.掌握二次根式的运算法则，能进行二次根式的加减乘除四则运算，会进行简单的分母有理化。

内容分析

1．二次根式的有关概念 (1)二次根式

式子)0(≥a a 叫做二次根式．注意被开方数只能是正数或O ．

(2)最简二次根式

被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． (3)同类二次根式

化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式．

2．二次根式的性质 ).

0;0();0;0();

0(),

0(||);

0()(22>≥=≥≥⋅=⎩⎨

⎧<-≥==≥=b a b

a b

a

b a b a ab a a a a a a a a a

3．二次根式的运算 (1)二次根式的加减

二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类三次根式分别合并． (2)三次根式的乘法

二次根式相乘，等于各个因式的被开方数的积的算术平方根，即 ).0,0(≥≥=

⋅b a ab b a

二次根式的和相乘，可参照多项式的乘法进行． 两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个三次根式互为有理化因式．

(3)二次根式的除法

二次根式相除，通常先写成分式的形式，然后分子、分母都乘以分母的有理化因式，把分母的根号化去(或分子、分母约分)．把分母的根号化去，叫做分母有理化． 〖考查重点与常见题型〗

1.考查平方根、算术平方根、立方根的概念。有关试题在试题中出现的频率很高，习题类型多为选择题或填空题。

2.考查最简二次根式、同类二次根式概念。有关习题经常出现在选择题中。

3.考查二次根式的计算或化简求值，有关问题在中考题中出现的频率非常高，在选择题和中档解答题中出现的较多。

考查题型

1．下列命题中，假命题是（ ）

（A ）9的算术平方根是3 （B ）16的平方根是±2

（C ）27的立方根是±3 （D ）立方根等于－1的实数是－1 2．在二次根式45， 2x 3

， 11，

54， x

4

中，最简二次根式个数是（ ） （A ） 1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 （2）下列各组二次根式中，同类二次根式是（ ） （A ）136，3 2 （B ）35，15 （C ）1

2

12，

1

3

（D ）8，23

3. 化简并求值，a+ab ab+b ＋ab －b

a －ab

，其中a ＝2＋3，b ＝2－ 3

4．2＋1的倒数与2－3的相反数的和列式为 ，计算结果为 5．（－14）2的算术平方根是 ，27的立方根是 ，

4

9

的算术平 方根是 ，

49

81

的平方根是 . 考点训练：

1．如果x 2

＝a ，已知x 求a 的运算叫做 ，其中a 叫做x 的 ；已知a 求x 的运算叫做 ，其中x 叫做a 的 。

2．(－ 2 )2

的平方根是 ，9的算术平方根是 ， 是－64的立方根。 3．当a<0时，化简∣a ∣＋a 2

＋3a 3 ＝ 。

4．若 5.062 =2.249，50.62 =7.114，x =0.2249，则x 等于（ ） （A ）5.062 （B ）0.5062 （C ）0.005062 （D ）0.05062 5．设x 是实数，则(2x ＋3)(2x －5)＋16的算术平方根是（ ） （A ）2x －1 （B ）1－2x （C ）∣2x －1∣ （D ）∣2x ＋1∣ 6．x 为实数，当x 取何值时，下列各根式才有意义： （1）－3x －2 （ ）（2）x 2

＋5 （ ）（3）1

x

2 （ ） （4）

1

3

1－x

（ ）(5)1

1－x ＋2 （ ）（6）x ＋－x （ ）

7．等式

3－x x ＋2 ＝3－x

x ＋2

成立的条件是（ ） （A ）－2－2 （D ）x ≤3

8．计算及化简： （1）(－727

)2 （2）ab 2(c ＋1)2 （3）0.01×64

0.36×324

（4）2a 2

3b

b 3

a 4－

b 2

a 4 （b>1） （5）

x

x －3y

x 2

y －6xy 2

＋9y

3

x

（x>3y ）

（6）(48 －60.5 )(4 3 ＋18 )－(2 3 －3 2 )2

（7）已知方程4ｘ2

－2ａｘ＋2ａ－3＝0无实数根，

化简4ａ2

－12ａ＋9 ＋｜ａ－6｜

解题指导 1．下列命题：（1）任何数的平方根都有两个（2）如果一个数有立方根，那么它一定有平方根（3）算术平方根一定是正数（4）非负数的立方根不一定是非负数，错误的个数为（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4

2．已知30.5 =0.794，35 =1.710，350 =3.684，则3

5000 等于（ ） （A ）7.94 （B ）17.10 （C ）36.84 （D ）79.4 3．当1

的结果是（ ） （A ）－1 （B ）2x －1 （C ）1 （D ）3－2x 4．(x －2)2

＋(2－x )2

的值一定是（ ） （A ）0 （B ）4－2x （C ）2x －4 （D ）4 5．比较大小： （1）3

15

11

4

（2）7 － 2 2 2 －1 （3）35 －34 34 －33 6．化简：a

a －2b

a 2

b －4ab 2

＋4b

3

a

（2b>a ）

7．计算：（32 ＋0.5 －2

1

3

）－（18 －1

5

75 ） 8．已知a ＝

3－23＋2 ，b ＝3＋23－2

，求a 2－5ab ＋b 2

的值。 9．计算：945 ÷3

15 ×3

2

223 10．化简：632－23

11.设

5+15-1

的整数部分为ａ，小数部分为ｂ，求ａ2＋12 ａｂ＋ｂ2

的值。

独立训练

1． 2 － 3 的倒数是 ； 2 － 3 的绝对值是 。 2．8 的有理化因式是 ，x －y 的有理化因式是 。

3．1x －x －1 与1

x －1＋x 的关系是 。

4．三角形三边a ＝750 ，b ＝472 ，c ＝298 ，则周长是 。 5．直接写出答案：