机械制图 第四章 立体及其表面交线的投影

二、基本体及其表面上点、线的投影
㈠ 棱柱体和棱锥体 1. 棱柱体、棱锥体投影的画法 2. 棱柱、棱锥表面上点、线的投影
已知：立体表面上的点或线的一个投影 求作：该点的其余两个投影。
⑴ 利用积聚性法： 要点：当点所在的表面为垂直面时，其在该投影
面上的投影必定落在这个表面的积聚性投影线上。 求作步骤： ① 作已知点投影到具有积聚性投影面的投影连线， 则与积聚线的交点即为所求第二个投影 ② 由两投影根据三面投影律求作出第三个投影 【例】：棱柱面上曲线的投影
(b) 外圆柱面与 内圆柱面相 交（柱-孔 相贯）
(c) 两内圆柱面 相交（孔孔相贯）
两圆柱面相交的三种情况
求作两正交圆柱体的表面交线
1′
2′
5′ (8′)
3′(7′)
4′
1″ (5″)
8″ 7″ (6″)
(6′)
2″ (4″) 3″
8 1
7
6 5
2
3
4
求作两正交圆柱体的表面交线
a. 直立圆柱的直径 b. 直立圆柱的直径 c. 两圆柱直径相等 当两相交圆柱的直径不相等时， 当两相交圆柱直径 相等时，相贯线为 大于水平的 小于水平的 相贯线的正面投影曲线向直径大的 两条垂直正面的正 圆柱轴线方向弯曲 交椭圆曲线，正面 投影为两正交直线 轴线相交两圆柱表面交线的特点
⑵ 辅助线法：
当点所在的表面为倾斜面时，则不能用积聚线 法求作点的其余两投影。这时可采用在点所在的面 上过点作辅助线的方法来求作出它的其余两投影。 求作步骤： ① 先作已知点投影的辅助线； ② 再根据直线上点的投影规律，求作出其余两 投影的辅助线； ③ 作已知点投影到其它两投影的投影连线，则 与辅助线的交点即为所求两投影； 【例】：已知三棱椎棱面SAB上K点的正面投影，求 作其余两投影。 方法一：辅助线的一般作法 方法二：作辅助线平行于所在棱面的某一边
a. 截平面为水平面
b. 截平面为侧平面
c. 截平面为正平面
5. 多形体相交
【例】：多形体相交的相贯线
【例】：求作支座的表面交线
作业： P17：题6-4（2）用A4图纸按2:1比例 画
立体的分类
平面立体：
曲面立体
球阀
三棱柱的投影
三棱锥的投影
棱柱面上点的投影
棱柱面上曲线的投影
棱锥面上点的投影（a）
㈢ 圆锥体 1. 圆锥体的形成及其投影的画法

圆锥体的形成
圆锥体是由圆锥面和一个底面圆所围而成。
而圆锥面则是由直母线围绕一个与它相交的 轴线回转而成的。

圆锥体投影的画法 画圆锥体的投影时，一般也是使它的轴线垂 直于某一投影面。
2. 圆锥面上点、线的投影
⑴ 辅助素线法 ⑵ 辅助圆法
㈣ 球体
1. 球体的形成及其投影的画法
球体的形成 球体的表面是球面，而球面则是以圆为母线 绕该圆的任意直径为轴线回转而成的。 球体投影的画法 球体的各面投影均为与其直径相等的圆，也 即是球面分别对各投影面的转向轮廓线的投影。

2. 球面上点、线的投影
已知球面上的点的一个投影求作其余两投影 时，可采用过该点作辅助圆的方法作图。 求作线的投影方法也是在线上取几个点，分 别作出各点其余两投影从而作出线的其余投影。
由圆锥面上线的正面投影求作其余两投影
回转轴(轴线)
圆母线
球体的形成
球体的投影
(
)
由球面上点的正面投影求作其余两投影
回转轴(轴线)
圆母线Hale Waihona Puke Baidu
环体的形成
环体投影的形成
由环面上点的正面投影求作其余两投影
平面切割体
曲面切割体
切割体示例
截交线 截平面P
截平面Q
截平面与截交线
四棱台
平面切割体
§4-2 切割体及其表面交线的投影 一、概述





切割体：基本体被平面切去某些部分后的形体 平面切割体：由平面切割平面立体而成的切割体 曲面切割体：由平面切割曲面立体而成的切割体 截平面：用于切割立体的截切平面 截交线：截平面与被切割立体表面的相交线 截交线的基本性质： ① 截交线是截平面和立体表面的共有线， 其上的点是两相交面的共有点 ② 截交线是两相交面的分界线 根据性质①，求作截交线的实质就是求作共有线、 继而是求共有点的问题。
例2 联轴套的三面投影作图步骤
第三步： 第二步： 第一步：
画正垂截面并描 画水平截面； 画圆柱体； 深全图；
轴
销
例3 轴销的三面投影作图步骤
螺母毛坯的形成
e.截平面与轴线 a. 截平面与轴线 c. 截平面过锥顶， b. 截平面垂直轴 f.截平面与轴线倾 d.截平面平行轴线
倾斜（θ>α）， 线（θ=900 ）， 斜（θ =α）， 截交线为两条 倾斜（θ <α）， （θ =0），截 截交线是圆； 截交线是椭圆； 截交线是抛物线； 直线（与底面 截交线是双曲 交线是双曲线； 的投影构成三 线； 角形）；
㈡ 圆柱体 1. 圆柱体的形成及其投影的画法


圆柱体的形成 圆柱体是由圆柱面与上下两底面圆包围而成。 而圆柱面则是由直母线（母线为直线）围绕平 行于它的轴线回转而成的。 圆柱体投影的画法 画圆柱体的投影时，一般使它的轴线垂直 于某一投影面。 已知圆柱面上点、线的正面投影，求作其 余两投影。
2. 圆柱面上点、线的投影
1′ 2′ (4′ )
3′ 4″
1″ (3″ ) 2″
4
1
3
2
求作套筒的相贯线投影
a. 圆柱贯入圆锥， 相贯线向圆锥轴 线方向弯曲
b. 圆锥贯入圆柱， 相贯线向圆柱轴 线方向弯曲
c. 圆柱与圆锥互贯， 相贯线为平面曲线， 正面为相交两直线
圆柱与圆锥相交的三种情形
1′
1″ 8″a2″ 2″ 7″a ″ 3″
第四章 立体及其表面交线的投影
立体的表面是由平面和曲面包围而成的。 本章主要学习基本几何体的投影特点及其画 法，以及在投影图中求作立体表面交线的方 法。
§4-1 基本几何体及其表面点、线的投影
一、立体的分类
曲面立体（如圆柱、圆锥、球、环等） 平面立体：立体的表面全部由平面所围成。 曲面立体：立体表面全部或部分由曲面所围成。 回转面：由一条线（称为母线）围绕一轴线旋转 而成的曲面叫做回转面。 回转体：由回转面包围而成的立体叫做回转体。 基本几何体（基本体）：棱柱、棱锥、圆柱、圆 锥、球、环等。 一般的机件都可以看成是由这些基本体组合或 被平面切割而成的。 立体 平面立体（如棱柱体、棱锥体）
二、平面切割体及其表面交线的投影画法

步骤：


分析该切割体切割前的基本体类型、截平面的位 置、截交线的位置、形状，等等； 先画出基本体的投影； 再画出各截平面的投影和截交线的投影。

【例1】切割四棱柱体 【例2】切割四棱台 【例3】切割四棱柱体
三、曲面切割体及其表面交线的投影画法
1. 切割圆柱体 可产生直线、圆、椭圆三种不同性质的截交线。 斜切圆柱截交线的画图步骤： ① 先画出截交线投影积聚为直线和圆的视图 ② 求特殊点：位于转向线上的Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ、Ⅶ ③ 求一般点； ④ 连线，完成全图。
1
2′(8′ ) 3′(7′ )
4′(6′ ) 5′
6″
a3″ 5″ 4″
(6)
7 8 1 2 3
(5)
(4)
a1 a2 a
3
求作圆柱与圆锥台的相贯线投影
1 求特殊点： Ⅰ、Ⅳ
Rv
Ⅴ、III
2 求一般点： Ⅱ、Ⅵ
求作圆台与半球的相贯线投影
应该虚线
( ) ( ) ( )
求作圆柱与半球的相贯线投影

【例2】：求作连杆头表面交线的投影
§4-3 立体相交表面交线的投影
一、概述 两个基本体相交（又叫相贯），在相交表面所产 生的交线，叫立体相交表面交线，又叫相贯线。 相贯线的基本性质：

是两相交回转体表面的共有线、分界线。 一般是闭合的空间曲线，特殊情况下是平面曲线 或直线。
可见，求作相贯线实质上是求作两相交回转体表 面上共有点的问题。 常用两种方法：

2.圆柱与圆锥体表面相交

圆柱与圆锥相交的三种情形 例：求作圆柱与圆台的相贯线投影
3.圆台与球体表面相交，辅助截平面法的应用


例：求作圆台与半球的相贯线投影 例：求作圆柱与半球的相贯线投影
4.辅助截平面的选择


原则：应使辅助截平面与两曲面立体的截交线的 投影简单易画（例如是直线或圆） 有时候选择是可以多种多样的：如上例中圆柱与 半球相贯
(a) 画长方体
(b) 画P、R、Q三截面
(e) 画V形槽(先左视后俯视),描深
(c) 画长方形槽(先俯视后左视)
a. 截平面平行圆 柱轴线，截交线 为直线
b. 截平面垂直圆 柱轴线，截交线 为圆
c. 截平面倾斜于 圆柱轴线，截交 线为椭圆
斜切圆柱截交线的画法
斜切圆柱截交线的画法
当截平面与圆柱轴线成450斜切时，截交线的侧面投影为圆。

特例：当截平面与圆柱轴线成450斜切时，截交 线的侧面投影为圆。
综合举例：

【例1】：联轴节的三面投影
【例2】：联轴套的三面投影
【例3】：轴销的三面投影
2. 切割圆锥体

可产生直线、圆、椭圆、双曲线和抛物线等 五种不同性质的截交线。

记忆口诀：
截在锥顶两直线，切去锥顶是椭圆； 保留锥顶双曲线；平行锥面抛物线。
求作顶针的表面交线
A
Ⅰ Ⅰ
Ⅴ Ⅴ B 求连杆头的表面交线
(a) 两平面立体 相交
(b) 平面立体与 曲面立体相 交
(c) 两曲面立体 相交
其相贯线可看成由平面立体上 有关表面分别切割另一基本体所产 生的截交线所围而成。
立体相交的三种情形
相贯线为两回转 体相交的表面交 线——本节讨论
(a) 两外圆柱面 相交（柱柱相贯）
棱锥面上点的投影（b）
回转轴 (轴线)
母线 (直母线)
素线
圆柱体的形成
圆柱体的投影
由圆柱面上点的正面 投影求作其余两投影
由圆柱面上线的正面投影求作其余两投影
回转轴 (轴线)
母线 (直母线) 素线
圆锥体的形成
圆锥体的投影的画法
辅助素线的 正面投影
辅助圆的 正面投影
辅助圆
辅助素线 由圆锥面点的正面投影求作其余两投影
㈤ 环体 1. 环体的形成及其投影的画法
环体的形成 环体的表面是由环面包围而成，而环面则是 由圆母线围绕一条不通过其圆心但与圆母线共面 的轴线回转而成的。 环体投影的画法 环体的三面投影都是环面对相应投影面的转 向线的投影。

2. 环面上点的投影
与球体中的情况类似，已知环面上的点的一 个投影求作其余两投影时，也可采用过该点作辅 助圆的方法作图。 作业：P11：题4-4、4-5。题4-4(2)纠错：俯视图 的C删除，左视图的点划线删除

作图步骤：
例：求作截平面平行圆锥轴线的截交线的投影 可在圆锥面上作辅助圆，或作辅助素线法 例：求作截平面斜切圆锥的截交线的投影
3. 切割球体


平面从任何方向截切球体所产生的截交线均为 圆。 截平面平行投影面时，截交线在该投影面上的 投影反映实形。 例：半球开槽的三面投影图

四. 综合举例

【例1】：求作顶针上的表面交线
第三步： 第二步： 第一步：
画右端通槽，先 画左端缺口，先 画圆柱体； 画水平投影，再画侧 画正面投影，再画侧 面投影，最后画正面 面投影，最后画水平 投影并描深全图； 投影；
例1 联轴节的三面投影作图步骤
第三步： 第二步： 第一步：
画右端通槽，先 画左端缺口，先 画圆柱套筒； 画水平投影，再画侧 画正面投影，再画侧 面投影，最后画正面 面投影，最后画水平 投影并描深全图； 投影；


利用投影积聚性法 辅助截平面法
二、求作相贯线的方法
求作步骤：先分析两相交基本体的种类、相对 位置，是否有积聚性的投影（若有，则不需求 作），然后再进行作图。 1.两圆柱体表面相交 两圆柱面相交的三种情形 例：求作两圆柱相贯线的投影。 轴线相交两圆柱表面交线的特点 例：求作套筒的相贯线投影。
五种不同性质的圆锥截交线
① 先画出俯视图 和左视图（具 有积聚性的投 影面）；
② 再画主视图： a. 求特殊点； b. 求一般点； c. 连成双曲线。
正平面切割圆锥的截交线投影画法
截平面斜切圆锥的截交线投影画法
半球开槽的投影画法
Ⅴ
Ⅵ Ⅰ Ⅹ
Ⅷ
Ⅲ
找特殊点： Ⅰ、Ⅴ：双曲线与两平行直线的交点 Ⅵ、Ⅹ：椭圆曲线与两平行直线的交点 Ⅲ：双曲线的顶点 Ⅷ：椭圆曲线右端点、长轴的一个端点