角平分线的性质优质课(PPT)

B
A
F
D
C
变题1：如图，△ABC中，AD是∠BAC的平
分线， ∠C＝90°， DE⊥AB于E，F 在AC
上，且BD=DF，求证：CF=EB.
A
变题2：如图，△ABC中， AD 是∠BAC的平分线， ∠C＝ 90°，DE⊥AB于E，BC=8， BD=5，求DE.
F
E
A
CD B
E CD B
例2 已知：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点 P.求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.
角的平分线的性质
（第1课时）
新人教版 八年级 上册
要研究角的平分线的性质我们必须
A·
会画角的平分线，工人师傅常用如
图所示的简易平分角的仪器来画角
· 的平分线. 将A点放在角的顶点处，B
AB和AD沿角的两边放下，过AC画
·D
一条射线AE，AE即为∠BAD的平 分线.
C·
E
A·
把简易平分角的仪器放在角的两边
证明：过点P作PD 、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA，垂足为D、E、F
∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上
∴PD=PE（在角平分线上的点到角的两边的距离相等） 同理 PE=PF.
A
∴ PD=PE=PF.
D
即点P到边AB、BC、CA的距离相等
N PM
B
E FC
（1）用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知的∠AOB的 两边上，分别取OM＝ON，再分别过点M，N作OA，OB的垂 线，交点为P，画射线OP，则OP平分∠AOB，为什么？ （2）△ABC中，AD是它的角平分线，且BD＝CD，DE⊥AB， DF ⊥ AC，垂足分别为E，F.求证：EB＝FC. （3）如图，CD ⊥ AB，BE ⊥ AC，垂足分别为DE，BE， CD相交于点O，OB＝OC.求证：∠1＝ ∠2
C
B
N
O
A
想一想：为什么OC是角平分线呢？
已知：OM=ON，MC=NC.
M
求证：OC平分∠AOB.
C
证明：连接CM，CN
在△OMC和△ONC中，
OM=ON，
MC=NC， OC=OC，
B
N
O
∴ △OMC≌△ONC
（SSS）
∴∠MOC=∠NOC
即：OC平分∠AOB
猜想：角平分线上的点到角的两边的距离相等
题设：一个点在一个角的平分线上 结论：它到角的两边的距离相等 已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD ⊥OA ， PE ⊥OB，垂足分别是D、E.求证：PD=PE.
4.实践与应用
判断正误，并说明理由： （1）如图1，P在射线OC上，PE⊥OAO， PF⊥OB，则PE=PF. （2）如图2，P是∠AOB的平分线OC上 的一点，E、F分别在OA、OB上，则
A
E B
F
D
C
Back
（4）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC， 垂足分别是E，F，连接EF.EF与AD交于G.AD与EF垂直吗？ 证明你的结论.
A
E G F
B
D
C
Back
PE=PF.
A E
P
FB
wk.baidu.com图1
A
E
P
（3）如图3，在∠AOB的平分线OC上
O
图2F B
任取一点P，若P到OA的距离为3cm，
A
则P到OB的距离边为3cm.
E
P
O 图3 B
例题讲解
例1 如图，在△ABC中，AD是它
的角平分线，且BD=CD，
DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是
E，F.求证：EB=FC.
E
时，平分角的仪器两边相等，从几
· 何作图角度怎么画？BC=DC，从 B
几何作图角度怎么画？
·D
C·
角平分线的画法：
(１)以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于M，交OB 于N． （２）分别以M，N为圆心．大于MN一半的长为半径作
弧．两弧在∠AOB的内部交于C． A
（3）作射线OC，
M
则射线OC即为所求