7.3 普朗克辐射公式 能量子
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岁时获得了诺贝尔物理奖 ▲ 1918年Planck 60岁时获得了诺贝尔物理奖。 年 岁时获得了诺贝尔物理奖。
玻尔对普朗克量子论的评价 量子论的评价： ▲ 玻尔对普朗克量子论的评价： “在科学史上很难找到其它发现能象普朗克的发展在此后 在科学史上很难找到其它发现能象普朗克的发展在此后 又经过了十几年的曲折和反复， 又经过了十几年的曲折和反复，基本作用量子一样在仅仅一代 人的短时间里产生如此非凡的结果… 人的短时间里产生如此非凡的结果 这个发现将人类的观念－不仅是有关经典科学的观念， 这个发现将人类的观念－不仅是有关经典科学的观念， 而且是有关通常思维方式的观念－的基础砸得粉碎， 而且是有关通常思维方式的观念－的基础砸得粉碎，上一代 人能取得有关自然知识的如此的神奇进展， 人能取得有关自然知识的如此的神奇进展，应归功于人们从 传统的思想束缚下获得的这一解放。 传统的思想束缚下获得的这一解放。” 爱因斯坦1918.04在普朗克六十岁生日庆祝会上的一段讲话： 在普朗克六十岁生日庆祝会上的一段讲话： ▲ 爱因斯坦 在普朗克六十岁生日庆祝会上的一段讲话 “在科学的殿堂里有各种各样的人：有人爱科学是为了满 在科学的殿堂里有各种各样的人： 在科学的殿堂里有各种各样的人 足智力上的快感；有的人是为了纯粹功利的目的。 足智力上的快感；有的人是为了纯粹功利的目的。 而普朗克热爱科学是为了得到现实世界那些普遍的基本规 普朗克热爱科学是为了得到现实世界那些普遍的基本规 热爱科学是为了得到 这是他无穷的毅力和耐心的源泉… …他成了一个以伟大的 他成了一个以伟大的 律，这是他无穷的毅力和耐心的源泉 他成了一个 创造性观念造福于世界的人。 创造性观念造福于世界的人。”
(1)振子熵 S =k lnΩ ， (2)应该有
Ω 应有限→能量应分立。 应有限→能量应分立。
才能避免“紫外灾难”。 才能避免“紫外灾难”
∆E ∝ ν ，
他提出交换能量的最小单位是“能量子” 他提出交换能量的最小单位是“能量子”
能量 E = nh ν
ε = hν
∆ =1， （n =1，2，3…）， ∆E = (∆n)hν ），
关于正常谱中能量分布的理论” ▲ 1900.12.14. Planck 把“关于正常谱中能量分布的理论” 的论文交到了德国自然科学学会，这一天后来被定为“ 的论文交到了德国自然科学学会，这一天后来被定为“量子论 的诞生” 的诞生”。 普朗克公式的得出，是理论和实验结合的典范。 ▲ 普朗克公式的得出，是理论和实验结合的典范。 写到： 没有Rubens的介入，辐射定律的 的介入， 1922年Planck写到：“没有 年 写到 的介入 形式，以至于量子理论的基础，也许会以别的形式出现， 形式，以至于量子理论的基础，也许会以别的形式出现，或者 不会在德国发展。 不会在德国发展。” 量子论是不附属于经典物理的全新的理论， 量子论是不附属于经典物理的全新的理论，它的发展在此 全新的理论 后又经过了十几年的曲折和反复。 后又经过了十几年的曲折和反复。
普朗克不满足内差公式的成功，他在给伍德的信中写到： 伍德的信中写到 普朗克不满足内差公式的成功，他在给伍德的信中写到： “一定要不惜任何代价，找到一个理论根据”。 一定要不惜任何代价，找到一个理论根据” 一定要不惜任何代价 普朗克认为：辐射黑体中的分子原子可看作线性谐振子， 普朗克认为：辐射黑体中的分子原子可看作线性谐振子， 振动时辐射能量或吸收能量。 振动时辐射能量或吸收能量。 他设想： 他设想：
7.3 普朗克辐射公式 能量子 能量子假说（1900年 7.3.1 能量子假说（1900年） 普朗克与鲁本斯 普朗克认为空腔黑体的热平衡 状态， 状态，是组成腔壁的带电谐振子和 腔内的电磁辐射交换能量而达到平 衡的结果 谐振子的能量只能是
E = nhν
n = 1,2,L
普朗克（ 普朗克（ 1858 — 1947 ） （Max Karl Ernst Ludwig Planck），德国人，1918 ），德国人 ），德国人， 年诺贝尔物理学奖获得者
Mν (T ) =
αν 3
e
ν 很大时
可改写成
βν / T
Mν (T ) =
e
βν / T
αν 3
−1
(♣) ♣
维恩公式
ν 很小时
分母展开
Mν (T ) =
1+
αν 3 βν
T
α T ν 2 令 2πν 2 kT = = 2 β c −1
→
α 2πk = 2 β c
2
瑞利—金斯公式 瑞利 金斯公式 → 可引入另一个常量 h 代替α 、 β 和 k
0.1 1 k 1 ν= = =1.59 s−1 2π m 6.28 10−3
能量
3hν 2hν hν
经典
谐振子
能级间隔 振子现有能量
∆E = hν = 6.65×10−34 ×1.59 =1.05×10−33 J
1 1 E = kA2 = × 0.1×10-6 = 5×10-8 J 2 2
相对能量变化
为什么在宏观世界中，观察不到能量分离的现象? 为什么在宏观世界中，观察不到能量分离的现象? 例：设想一质量为 m=1g 的小珠子悬挂在一 的谐振动。 的谐振动 个小轻弹簧下面作振幅 A=1mm的谐振动。 弹簧的劲度系数 k=0.1N/m。按量子理论计 。 此弹簧振子的能级间隔多大？ 算，此弹簧振子的能级间隔多大？减少一个 能量子时，振动能量的相对变化是多少？ 能量子时，振动能量的相对变化是多少？ 〔解〕弹簧振子的频率
令
αc = kβ = h 2π
α = 2π h
β = hk
c2
在维恩公式的分母上加（ ） 在维恩公式的分母上加（-1），对ν 很大时的维恩公式无影 很小时， 响，但由此却可在ν 很小时，过渡到了瑞利 — 金斯公式 ∴ (♣)式就应该是热辐射的正确公式
αc2 普朗克引入了常量 普朗克引入了常量 h = = kβ 2π
h = (6.556 ± 0.009 ) × 10 −34 J⋅ s
1986推荐值： 推荐值： 推荐值 1998推荐值： 推荐值： 推荐值 一般取： 一般取：
h = 6.6260755 × 10 −34 J⋅ s h = 6.62606876 × 10 −34 J⋅ s
h ≈ 6.63 × 10 −34 J⋅ s
普朗克由此从理论上导出了前面的辐射公式。 普朗克由此从理论上导出了前面的辐射公式。
一维谐振子的能量---一维谐振子的能量----分立值
黑体辐射频谱实验值与普朗克 黑体辐射频谱实验值与普朗克 实验值 公式的理论曲线 理论曲线比较 公式的理论曲线比较
源自文库
斯特藩－ 积分 → M = σ T 4 斯特藩－玻耳兹曼定律
并把( 式写成为： 并把(♣)式写成为：
——普朗克公式 普朗克公式 2πh ν3 M (T) = 2 ⋅ hν / kT ν c e −1 （Planck formula） formula）
普 克 量 朗 常
1900） h = 6.55×10−34 J⋅ s （1900）
鲁本斯把这“幸运地猜出来的内插公式” 鲁本斯把这“幸运地猜出来的内插公式”同最新的实验结果比 把这 较 发现：该公式在全波段与实验结果惊人地符合！ 发现：该公式在全波段与实验结果惊人地符合！
即物体发射或吸收电磁辐射只能 量子”方式进行，每个能量 以“量子”方式进行，每个能量 子的能量为 ε = hν 其中 h = 6.626×10 - 34 J·s 称为普 × 朗克常数
二、普朗克公式 1900.10.7实验物理学家鲁本斯（Rubens）给普朗克带来 实验物理学家鲁本斯 实验物理学家鲁本斯（ ） 普朗克带来 了热辐射理论与实验比较的信息。 了热辐射理论与实验比较的信息。 当晚普朗克就用内差法做出了一个公式： 当晚普朗克就用内差法做出了一个公式： 普朗克就用内差法做出了一个公式
中国科学院学部委员（常务）（1955） 中国科学院学部委员（常务）（1955） ）（1955
清华大学首任物理系主任（1926） 清华大学首任物理系主任（1926） 首任理学院院长（1929） 首任理学院院长（1929）
射线方法测定普朗克常量， 用X 射线方法测定普朗克常量，在国 际上沿用了16年 际上沿用了 年 叶企孙 （1898 — 1977） ）
∆ E 1.05×10 − 33 = ≅ 2 ×10 − 26 E 5×10 − 8
宏观能量看 起来连续
现在能达到的最高的能量分辨率为 现在能达到的最高的能量分辨率为 能量分辨率
∆E ≈ 10−16 E
Mν (T) = 2πh ν c2 ehν / kT −1
3
求导 → ν m = Cν T
维恩位移定律 维恩位移定律
2πν 2 瑞利－金斯公式 长波段 → Mν (T ) = 2 kT 瑞利－金斯公式 c
普朗克公式
维恩公式 短波段→ Mν (T ) = αν 3e− βν / T 维恩公式
1921 叶企孙，W.Duane， H.H.Palmer 测得： 叶企孙， 测得： ，
岁时获得了诺贝尔物理奖 ▲ 1918年Planck 60岁时获得了诺贝尔物理奖。 年 岁时获得了诺贝尔物理奖。
玻尔对普朗克量子论的评价 量子论的评价： ▲ 玻尔对普朗克量子论的评价： “在科学史上很难找到其它发现能象普朗克的发展在此后 在科学史上很难找到其它发现能象普朗克的发展在此后 又经过了十几年的曲折和反复， 又经过了十几年的曲折和反复，基本作用量子一样在仅仅一代 人的短时间里产生如此非凡的结果… 人的短时间里产生如此非凡的结果 这个发现将人类的观念－不仅是有关经典科学的观念， 这个发现将人类的观念－不仅是有关经典科学的观念， 而且是有关通常思维方式的观念－的基础砸得粉碎， 而且是有关通常思维方式的观念－的基础砸得粉碎，上一代 人能取得有关自然知识的如此的神奇进展， 人能取得有关自然知识的如此的神奇进展，应归功于人们从 传统的思想束缚下获得的这一解放。 传统的思想束缚下获得的这一解放。” 爱因斯坦1918.04在普朗克六十岁生日庆祝会上的一段讲话： 在普朗克六十岁生日庆祝会上的一段讲话： ▲ 爱因斯坦 在普朗克六十岁生日庆祝会上的一段讲话 “在科学的殿堂里有各种各样的人：有人爱科学是为了满 在科学的殿堂里有各种各样的人： 在科学的殿堂里有各种各样的人 足智力上的快感；有的人是为了纯粹功利的目的。 足智力上的快感；有的人是为了纯粹功利的目的。 而普朗克热爱科学是为了得到现实世界那些普遍的基本规 普朗克热爱科学是为了得到现实世界那些普遍的基本规 热爱科学是为了得到 这是他无穷的毅力和耐心的源泉… …他成了一个以伟大的 他成了一个以伟大的 律，这是他无穷的毅力和耐心的源泉 他成了一个 创造性观念造福于世界的人。 创造性观念造福于世界的人。”
(1)振子熵 S =k lnΩ ， (2)应该有
Ω 应有限→能量应分立。 应有限→能量应分立。
才能避免“紫外灾难”。 才能避免“紫外灾难”
∆E ∝ ν ，
他提出交换能量的最小单位是“能量子” 他提出交换能量的最小单位是“能量子”
能量 E = nh ν
ε = hν
∆ =1， （n =1，2，3…）， ∆E = (∆n)hν ），
关于正常谱中能量分布的理论” ▲ 1900.12.14. Planck 把“关于正常谱中能量分布的理论” 的论文交到了德国自然科学学会，这一天后来被定为“ 的论文交到了德国自然科学学会，这一天后来被定为“量子论 的诞生” 的诞生”。 普朗克公式的得出，是理论和实验结合的典范。 ▲ 普朗克公式的得出，是理论和实验结合的典范。 写到： 没有Rubens的介入，辐射定律的 的介入， 1922年Planck写到：“没有 年 写到 的介入 形式，以至于量子理论的基础，也许会以别的形式出现， 形式，以至于量子理论的基础，也许会以别的形式出现，或者 不会在德国发展。 不会在德国发展。” 量子论是不附属于经典物理的全新的理论， 量子论是不附属于经典物理的全新的理论，它的发展在此 全新的理论 后又经过了十几年的曲折和反复。 后又经过了十几年的曲折和反复。
普朗克不满足内差公式的成功，他在给伍德的信中写到： 伍德的信中写到 普朗克不满足内差公式的成功，他在给伍德的信中写到： “一定要不惜任何代价，找到一个理论根据”。 一定要不惜任何代价，找到一个理论根据” 一定要不惜任何代价 普朗克认为：辐射黑体中的分子原子可看作线性谐振子， 普朗克认为：辐射黑体中的分子原子可看作线性谐振子， 振动时辐射能量或吸收能量。 振动时辐射能量或吸收能量。 他设想： 他设想：
7.3 普朗克辐射公式 能量子 能量子假说（1900年 7.3.1 能量子假说（1900年） 普朗克与鲁本斯 普朗克认为空腔黑体的热平衡 状态， 状态，是组成腔壁的带电谐振子和 腔内的电磁辐射交换能量而达到平 衡的结果 谐振子的能量只能是
E = nhν
n = 1,2,L
普朗克（ 普朗克（ 1858 — 1947 ） （Max Karl Ernst Ludwig Planck），德国人，1918 ），德国人 ），德国人， 年诺贝尔物理学奖获得者
Mν (T ) =
αν 3
e
ν 很大时
可改写成
βν / T
Mν (T ) =
e
βν / T
αν 3
−1
(♣) ♣
维恩公式
ν 很小时
分母展开
Mν (T ) =
1+
αν 3 βν
T
α T ν 2 令 2πν 2 kT = = 2 β c −1
→
α 2πk = 2 β c
2
瑞利—金斯公式 瑞利 金斯公式 → 可引入另一个常量 h 代替α 、 β 和 k
0.1 1 k 1 ν= = =1.59 s−1 2π m 6.28 10−3
能量
3hν 2hν hν
经典
谐振子
能级间隔 振子现有能量
∆E = hν = 6.65×10−34 ×1.59 =1.05×10−33 J
1 1 E = kA2 = × 0.1×10-6 = 5×10-8 J 2 2
相对能量变化
为什么在宏观世界中，观察不到能量分离的现象? 为什么在宏观世界中，观察不到能量分离的现象? 例：设想一质量为 m=1g 的小珠子悬挂在一 的谐振动。 的谐振动 个小轻弹簧下面作振幅 A=1mm的谐振动。 弹簧的劲度系数 k=0.1N/m。按量子理论计 。 此弹簧振子的能级间隔多大？ 算，此弹簧振子的能级间隔多大？减少一个 能量子时，振动能量的相对变化是多少？ 能量子时，振动能量的相对变化是多少？ 〔解〕弹簧振子的频率
令
αc = kβ = h 2π
α = 2π h
β = hk
c2
在维恩公式的分母上加（ ） 在维恩公式的分母上加（-1），对ν 很大时的维恩公式无影 很小时， 响，但由此却可在ν 很小时，过渡到了瑞利 — 金斯公式 ∴ (♣)式就应该是热辐射的正确公式
αc2 普朗克引入了常量 普朗克引入了常量 h = = kβ 2π
h = (6.556 ± 0.009 ) × 10 −34 J⋅ s
1986推荐值： 推荐值： 推荐值 1998推荐值： 推荐值： 推荐值 一般取： 一般取：
h = 6.6260755 × 10 −34 J⋅ s h = 6.62606876 × 10 −34 J⋅ s
h ≈ 6.63 × 10 −34 J⋅ s
普朗克由此从理论上导出了前面的辐射公式。 普朗克由此从理论上导出了前面的辐射公式。
一维谐振子的能量---一维谐振子的能量----分立值
黑体辐射频谱实验值与普朗克 黑体辐射频谱实验值与普朗克 实验值 公式的理论曲线 理论曲线比较 公式的理论曲线比较
源自文库
斯特藩－ 积分 → M = σ T 4 斯特藩－玻耳兹曼定律
并把( 式写成为： 并把(♣)式写成为：
——普朗克公式 普朗克公式 2πh ν3 M (T) = 2 ⋅ hν / kT ν c e −1 （Planck formula） formula）
普 克 量 朗 常
1900） h = 6.55×10−34 J⋅ s （1900）
鲁本斯把这“幸运地猜出来的内插公式” 鲁本斯把这“幸运地猜出来的内插公式”同最新的实验结果比 把这 较 发现：该公式在全波段与实验结果惊人地符合！ 发现：该公式在全波段与实验结果惊人地符合！
即物体发射或吸收电磁辐射只能 量子”方式进行，每个能量 以“量子”方式进行，每个能量 子的能量为 ε = hν 其中 h = 6.626×10 - 34 J·s 称为普 × 朗克常数
二、普朗克公式 1900.10.7实验物理学家鲁本斯（Rubens）给普朗克带来 实验物理学家鲁本斯 实验物理学家鲁本斯（ ） 普朗克带来 了热辐射理论与实验比较的信息。 了热辐射理论与实验比较的信息。 当晚普朗克就用内差法做出了一个公式： 当晚普朗克就用内差法做出了一个公式： 普朗克就用内差法做出了一个公式
中国科学院学部委员（常务）（1955） 中国科学院学部委员（常务）（1955） ）（1955
清华大学首任物理系主任（1926） 清华大学首任物理系主任（1926） 首任理学院院长（1929） 首任理学院院长（1929）
射线方法测定普朗克常量， 用X 射线方法测定普朗克常量，在国 际上沿用了16年 际上沿用了 年 叶企孙 （1898 — 1977） ）
∆ E 1.05×10 − 33 = ≅ 2 ×10 − 26 E 5×10 − 8
宏观能量看 起来连续
现在能达到的最高的能量分辨率为 现在能达到的最高的能量分辨率为 能量分辨率
∆E ≈ 10−16 E
Mν (T) = 2πh ν c2 ehν / kT −1
3
求导 → ν m = Cν T
维恩位移定律 维恩位移定律
2πν 2 瑞利－金斯公式 长波段 → Mν (T ) = 2 kT 瑞利－金斯公式 c
普朗克公式
维恩公式 短波段→ Mν (T ) = αν 3e− βν / T 维恩公式
1921 叶企孙，W.Duane， H.H.Palmer 测得： 叶企孙， 测得： ，