多阶段决策问题
多阶段决策问题
v0 6 8 v1 7 9 5 7 8 9 v2 5 5 8 v3 6
v0 0 6 D= 7 9
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
v1 8 0 9 7
v2 5 8 0 8
v3 6 5 5 0 v0 v1 v2 v3
二、多阶段资源分配问题
收益 g(y1)
生产A
投入 y1 资源 u1 投入 z1
回收 ay1 资源 u2 回收 bz1
§2. 确定性的定期多阶段决策问题 一、旅行售货员问题
旅行售货员问题(Traveling Salesperson Problem, 简 称TSP问题)是优化问题中一个著名问题，许多优 化问题(包括许多实际问题)都可以化为旅行售货员 问题。 从v0出发，经过n个城市v1, v2, … , vn，然后回v0。 设从vi到vj的距离为dij，其中dij可能不等于dji；如果 没有直接从vi到vj的路，则设dij = ∞。找一条最短 路线。
生产A
投入 y2
生产B
投入 z2 收益 h(z1)
生产B
表示什么？
三、用最优化原理解某些资源分配问题
四、复合系统可靠性问题
……
部件1 部件2 部件n
作业 p. 181: #4, 6
多阶段决策问题与动态规划
s1=1000, x1*=0 s2=900, x2*=0 s3=810, s4=576, x4*=576 s5=397, x5*=397 x3*=810
4.4 动态规划的应用(一)
1 求解静态规划问题
某些静态规划问题可用动态规划法来求解。
例 用动态规划法求解 max z=x12.x22.x3 x1+x2+x3=c xi≥0 i=1,2,3
值函数； (6) 写出递推方程和边界条件，建立基本方程； (7) 按照基本方程递推求解。
以上步骤是动态规划法处理问题的基本步骤，其中 的前六步是建立动态规划模型的步骤。
例：机器负荷问题 某种机器可以在高低两种 不同的负荷下进行生产．在高负荷下进行生产 时，产品的年产量g和投入生产的机器数量u的 关系为 g＝8u, 这时机器的年完好率为a=0.7 ．在低负荷下生产时，产品的年产量h和投入 生产的机器数量v的关系为h＝5v, 这时机器的 年完好率为b=0.9．假定开始生产时完好的机 器数量为s1，要求制定一个五年计划,在每年 开始时决定机器在两种不同负荷下生产的数量 ,使五年内产品的总产量最高。
解: (1)按年数划分为5个阶段，k=1,2,3,4,5
(2)取第k年初完好的机器数sk为状态变量, s(31)=取10第00k年投入高负荷的机器数xk为决策变量, 0≤xk≤sk (4)状态转移方程为 sk+1=0.7xk+0.9(sk-xk)=0.9sk-0.2xk
(5)指标函数为Vk,5=∑[8xj+5(sj-xj)]=∑(5sj+3xj)
(6)基本方程为
fk(sk)＝ max {5sj+3xj +fk+1(sk+1)}
k=5,4,3,2,1
第10章 动态规划
管理运筹学
7
缺点
①没有统一的处理方法，求解时要根据问题的 性质，结合多种数学技巧。因此实践经验及 创造性思维将起重要的引导作用；
②“维数障碍”，当变量个数太多时，由于计 算机内存和速度的限制导致问题无法解决。 有些问题由于涉及的函数没有理想的性质使 问题只能用动态规划描述，而不能用动态规 划方法求解。
盈利 工厂 设备台数
0 1 2
3 4 5
甲厂
0 3 7 9 12 13
乙厂
0 5 10 11 11 11
管理运筹学
29
第一阶段：只有1个始点A，终点有B1,B2,B3,B4 。对始点和终 点进行分析和讨论分别求A到B1,B2,B3,B4的最短路径问题：
表10-4
本阶段始 点(状态)
A
阶段1 本阶段各终点（决策）
B1
B2
B3
B4
4+12=16 3+13=16 3+14=17 2+12=14
到E的最 本阶段最优终 短距离 点(最优决策)
第四阶段：两个始点D1和D2，终点只有一个；
表10-1
阶段4
本阶段始点 本阶段各终点（决策） 到E的最短距离
（状态）
E
D1
10
10
D2
6
6
分析得知：从D1和D2到E的最短路径唯一。
本阶段最优终点 （最优决策)
E E
管理运筹学
27
第三阶段：有三个始点C1，C2，C3，终点有D1，D2，对始点
和终点进行分析和讨论分别求C1，C2，C3到D1，D2 的最短路
运筹学及其应用9.1 多阶段决策过程最优化问题举例
6
t
使 S = ∑ ∑ f ( x i ) + 16 u j =
i =1
j =1
Байду номын сангаас
6
∑ f ( xi ) + 16(5x1 + 4 x2 + 3x3 + 2 x4 + x5 − 185)
i =1
为最小，其中
f
(xi )
=
110200xxii
,0 −
≤ xi ≤ 15 300,15 < xi
≤
30
6
例1
因此，我们的问题就变成：求y,y1,y2,…,yn-1，以使 g(y)+h(x-y)+g(y1)+h(x1-y1)+…+g(yn-1)+h(xn-1-yn-1) 达到最大，且满足条件
x1=ay+b(x-y) x2=ay1+b(x1-y1)
……… xn-1=ayn-2+b(xn-2-yn-2) yi与xi均非负,i=1,2, …,n-1
5
例1
若以y与x-y分别投入生产方式A与B，在第一 阶段生产后回收的总资源为x1=ay+b(x-y)，再将x1 投入生产方式A和B，则可得到收入g(y1)+h(x1-y1)， 继续回收资源x2=ay1+b(x1-y1)，……
若上面的过程进行n个阶段，我们希望选择n 个变量y,y1,y2,…,yn-1，使这n个阶段的总收入最大。
第二种方法即所谓“局部最优路径”法，是 说某人从k出发，他并不顾及全线是否最短，只是选 择当前最短途径，“逢近便走”，错误地以为局部 最优会致整体最优，在这种想法指导下，所取决策
必是v1→v2→v5→ v9→ v10 ，全程长度是30；显
第九章多阶段决策和序贯决策
第一步，画出决策树图。
-700
2
建大厂
4
销路好0.7
销路差0.3
5
销路好0.9 销路差0.1
1
-400
建小厂
8
扩建
-300
6
销路好0.7
3
不扩建
9
销路差0.3
7
210
-40
-40
销路好0.9
210
销路差0.1
-40
销路好0.9
90
销路差0.1
60
60
3年内
7年内
第二步，从右向左计算各点的期望收益值。
第二阶段决策：产量不变，还是 增加产量。
30 5
82 买专利 决
策 自行研制
65
失败 0.2
95 产量不变 6
82
3
1 成功0.8
95 7
增加产量
60
63 成功0.6
85 产量不变 4
8
2
85
量 增加产
失败0.4
9
30
11
低0.1 中0.5 高0.4 低0.1
中0.5 高0.4
低0.1 中0.5 高0.4 低0.1
方案 收益 状态
按原工 艺方案 生产
(万元)
买专利(0.8)
产量 不变
增产
自研(0.6)
产量 不变
增产
价低 0.1 -100 -200 -300 -200 -300
中 0.5 0 50 50 0 -250
价高 0.4 100 150 250 200 600
第一阶段决策问题：购买专利， 还是自行研制
200
销路不好(0.2)
动态规划_多阶段决策问题的求解方法
动态规划_多阶段决策问题的求解方法1.构造状态网络; :一:解决多阶段决策最优化的过程为动态规划方法在程序设计中，有一类活动的过程，由于它的特殊性，可将过程2.根据状态转移关系和状态转移方程建立最优值的分成若干个互相联系的阶段，在它的每一阶段都需要做出决策，从而3.按阶段的先后次序计算每个状态的最优值。
使整个过程达到最好的活动效果。
因此各个阶段决策的选取不能任逆向思维法是指从问题目标状态出发倒推回初始意确定，它依赖于当前面临的状态，又影响以后的发展。
当各个阶段态的思维方法。
动态规划的逆向思维法的要点可归纳为以决策确定后，就组成一个决策序列，因而也就确定了整个过程的一条 1.分析最优值的结构，刻画其结构特征; 活动路线。
这种把一个问题看作是一个前后关联具有链状结构的多 2.递归地定义最优值; 阶段过程就称为多阶段决策过程，这种问题称为多阶段决策问题。
3.按自底向上或自顶向下记忆化的方式计算最优在多阶段决策问题中，各个阶段采取的决策，一般来说是与时间有关的，决策依赖于当前状态，又随即引起状态的转移，一个决策序列如果原问题可以分解成几个本质相同、规模较小的就是在变化的状态中产生出来的，故有"动态"的含义，我们称这种就会联想到从逆向思维的角度寻求问题的解决。
一般解决多阶段决策最优化的过程为动态规划方法。
策问题多采用动态规划逆向思维方法解决。
二、举:二:动态规划最优化原理 pascal 语例说明本文以信息学奥赛用语言——最优化原理是动态规划的基础。
任何一个问题，如果失去了这言为编程个最优化原理的支持，就不可能用动态规划方法计算。
这个“最优化说明，其他编程语言编写方法相同，语句类似。
原理”如果用数学化一点的语言来描述的话，就是:假设为了解决某 :一:问题描述一优化问题，需要依次作出 n 个决策 D1，D2，，Dn，如若这个决策设有 N 个不相同的整数组成的数列，记为: 序列是最优的，对于任何一个整数 k，1 < k < n，不论前面 k 个决策是怎样的，以后的最优决策只取决于由前面决策所确定的当前状态，即 ()且 ?? a1 a2 an aiajij以后的决策 Dk+1，Dk+2，，Dn 也是最优的。
动态规划和几个经典问题
动态规划和⼏个经典问题动态规划 (本⽂适合⼊门理解思想，后期多刷题) 动态规划是运筹学的⼀个分⽀，是求解多阶段决策过程最优化问题的数学⽅法，在经济管理、⼯程技术、⼯农业⽣产及军事部门中都有着⼴泛的应⽤，并且获得了显著的效果。
学习动态规划，我们⾸先要了解多阶段决策问题。
多阶段决策问题例⼦： ⽣产决策问题：企业在⽣产过程中，由于需求是随时间变化的，因此企业为了获得全年的最佳⽣产效益，就要在整个⽣产过程中逐⽉或逐季度地根据库存和需求决定⽣产计划。
机器负荷分配问题：某种机器可以在⾼低两种不同的负荷下进⾏⽣产。
要求制定⼀个五年计划，在每年开始时，决定如何重新分配完好的机器在两种不同的负荷下⽣产的数量，使在五年内产品的总产量达到最⾼。
航天飞机飞⾏控制问题：由于航天飞机的运动的环境是不断变化的，因此就要根据航天飞机飞⾏在不同环境中的情况，不断地决定航天飞机的飞⾏⽅向和速度（状态），使之能最省燃料和完成飞⾏任务（如软着陆）。
多阶段决策过程的特点： 根据过程的特性可以将过程按空间、时间等标志分为若⼲个互相联系⼜互相区别的阶段。
在每⼀个阶段都需要做出决策，从⽽使整个过程达到最好的效果。
各个阶段决策的选取不是任意确定的，它依赖于当前⾯临的状态，⼜影响以后的发展。
当各个阶段的决策确定后，就组成了⼀个决策序列，因⽽也就决定了整个过程的⼀条活动路线，这样的⼀个前后关联具有链状结构的多阶段过程就称为多阶段决策问题。
针对多阶段决策过程的最优化问题，美国数学家Bellman等⼈在20世纪50年代初提出了著名的最优化原理，把多阶段决策问题转化为⼀系列单阶段最优化问题，从⽽逐个求解，创⽴了解决这类过程优化问题的新⽅法：动态规划。
对最佳路径（最佳决策过程）所经过的各个阶段，其中每个阶段始点到全过程终点的路径，必定是该阶段始点到全过程终点的⼀切可能路径中的最佳路径（最优决策），这就是Bellman提出的著名的最优化原理。
多阶段决策过程最优化问题研究
Ｔａ ｂ．１ Ｐｏｓｉ ｅ ｓ ｌ ｅ ｎ ｒ ａ ｅ ａｃ ｒ ａ ｓｂｌ ａ ｅ ｒ ｖｅ ｕｅ ｃ ｅ ｔ ｄ ｂｙ ｅ ｈ ａ ｅ
从 表 １中可 以看 出 ， 果 没 有 在 华 北 和 华 东 地 区建 样 板 店 ， 么 这两 个 地 区 的 销售 收 入 为 ０ 如 果 没 有 在 华 南 地 区建 样 板 如 那 ． 店 ， 南 地 区 仍 可 以通 过 订 购 系 统 获 得 每 月 ２万 元 的 销售 收 入 ． 个 问题 的 目标 函数 是 在 建 样 板 店 的个 数 有 限 的条 件 下 ， 何 华 这 如
０ 引 言
在 实践 中 ， 常 会 遇 到 这 样 的决 策 问 题 “ ： 于 过 程 的特 殊 性 ， 以 将 决 策 的 全 过 程 依 据 时 间 或 空 间 划 分 为 若 干个 相 常 由 可 互 联 系 的 阶 段． 态 规 划 方 法 的关 键 是 将 多 阶段 的决 策 问 题 变 换 成 一 系 列 的单 阶 段 问 题 ， 逐 一 求 解 ． 阶 段 的 决 策 过 程 很 动 并 多 难 直 观 地 描 述 ， 文 通 过 一 个 实 例 来 说 明动 态 规 划 解 决 多 阶段 决 策 问题 的方 法 和 过程 ． 本
１ １ 第 三 阶段 决 策 ．
将 在 华 南 地 区建 多少 样 板 店 作 为 问题 第 三 阶 段 的 决 策 ． 动 态 规 划 中假 设 第 三 阶 段 的决 策 是 决 策 过 程 中 的最 终 决 策 ， 在 因 此 ， 果 将 在华 东 、 北 地 区建 样 板 店 作 为 规 划 的第 二 阶 段 和 第 一 阶段 ， 么 在 华 南 地 区建 几 个 样 板 店 的 决 策 是 建 立 在 另 两 如 华 那
序贯决策
13
1.多阶段决策 多阶段决策
1.3 应用举例
P ( H1 ) = ∑ P ( H1 θ j ) P(θ j )
j =1 3
= 0.4 × 0.4 + 0.3 × 0.2 + 0.32 × 0.4 = 0.34
P (θ1 H1 ) = P ( H1 θ1 ) P (θ1 ) P( H1 ) = 0.4 × 0.4 = 0.471 0.34
0.2 × 0.3 = = 0.177 0.34 = 0.4 × 0.3 = 0.352 0.34
P (θ2 H1 ) =
P ( H1 θ2 ) P (θ2 ) P( H1 ) P ( H1 θ3 ) P(θ3 ) P( H1 )
P (θ3 H1 ) =
14
1.多阶段决策 多阶段决策
1.3 应用举例 试销结果下的后验概率
16
2. 序列决策
有些决策问题， 有些决策问题，在进行决策后又产生一些新情况 需要进行新的决策，接着又有一些新的情况， ，需要进行新的决策，接着又有一些新的情况，有 需要进行新的决策。这样决策、新情况、决策…， 需要进行新的决策。这样决策、新情况、决策 ， 就构成一个系列，成为系贯决策。 就构成一个系列，成为系贯决策。 多阶段决策的阶段数是确定的， 多阶段决策的阶段数是确定的，序贯决策的阶段 数是不确定的， 数是不确定的，它依赖于执行决策过程中所出现的 状况。 状况。 决策方法： 决策方法：决策树
20
3. 马尔可夫决策
3.1 马尔可夫决策问题 预测在本质上就是利用预测对象的历史数据去推 知预测对象的未来。 知预测对象的未来。 在经济管理现象中存在一种“无后效性” 在经济管理现象中存在一种“无后效性”，即“ 系统在每一时刻的状态仅仅取决于前一时刻的状态 而与其过去的历史无关。 ，而与其过去的历史无关。” 例如：池塘里有三张荷叶，编号为 ， ， ， 例如：池塘里有三张荷叶，编号为1，2，3，假 设有一只青蛙随机地在荷叶上跳来跳去， 设有一只青蛙随机地在荷叶上跳来跳去，在初始时 它在2号荷叶上 在时刻，它有可能跳到1号或 号荷叶上。 刻，它在 号荷叶上。在时刻，它有可能跳到 号或 号荷叶上， 者3号荷叶上，也有可能原地不动。 号荷叶上 也有可能原地不动。
（完整版）多阶段决策过程最优化问题
（完整版）多阶段决策过程最优化问题多阶段决策过程最优化问题——动态规划的基本模型在现实生活中，有一类活动的过程，由于它的特殊性，可将过程分成若干个互相联系的阶段，在它的每一阶段都需要作出决策，从而使整个过程达到最好的活动效果。
因此各个阶段决策的选取不能任意确定，它依赖于当前面临的状态，又影响以后的发展。
当各个阶段决策确定后，就组成一个决策序列，因而也就确定了整个过程的一条活动路线。
这种把一个问题看做是一个前后关联具有链状结构的多阶段过程就称为多阶段决策过程，这种问题称为多阶段决策最优化问题。
【例题1】最短路径问题。
图中给出了一个地图，地图中每个顶点代表一个城市，两个城市间的连线代表道路，连线上的数值代表道路的长度。
现在，想从城市A到达城市E，怎样走路程最短，最短路程的长度是多少?【分析】把从A到E的全过程分成四个阶段，用k表示阶段变量，第1阶段有一个初始状态A，两条可供选择的支路ABl、AB2；第2阶段有两个初始状态B1、 B2，B1有三条可供选择的支路，B2有两条可供选择的支路……。
用dk(x k，x k+1)表示在第k阶段由初始状态x k 到下阶段的初始状态x k+1的路径距离，Fk(x k)表示从第k阶段的x k 到终点E的最短距离，利用倒推方法求解A到E的最短距离。
具体计算过程如下：S1：K=4，有：F4(D1)=3，F4(D2)=4，F4(D3)=3S2: K=3，有：F3(C1)=min{d3(C1,D1)+F4(D1),d3(C1,D2)+F4(d2)}=min{8,10}=8 F3(C2)=d3(C2,D1)+f4(D1)=5+3=8F3(C3)=d3(C3,D3)+f4(D3)=8+3=11F3(C4)=d3(C4,D3)+f4(D3)=3+3=6S2: K=2，有F2(B1)=min{d2(B1,C1)+F3(C1),d2(B1,C2)+f3(C2),d2(B1,C3)+ F3(C3)}=min{9,12,14}=9F2(m)=min{d2(B2,c2)+f3(C2),d2(B2,C4)+F3(C4)}=min{16,10} =10 S4：k=1，有：F1(A)=min{d1(A,B1)+F2(B1),d1(A,B2)+F2(B2)}=min{13,13}=13 因此由A点到E点的全过程的最短路径为A—>B2一>C4—>D3—>E。
多阶段决策问题
例7.1 最短路问题 如图所示，要从A地到E地铺设管线，中间需要经过三个中间 站，两点之间的连线上的数字表示距离，问应该选择什么路 线，使总距离最短？
2 A1
3
5 B1 4
7
B2
6 5
3ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2 B3 2
C1 2 5 6
C2 3 2
C3 1
C4 7
D3
1
E 5 D
2
例7-2 机器负荷问题 某工厂有100台机器，拟分四个周期使用，在每一个周期有 两种生产任务。据经验，把机器x1台投入第一种生产任务，则 在一个生产周期中将有1/3x1台机器报废；余下的机器全部投入 第二种生产任务，则有1/10的机器报废，如果干第一种生产任 务每台机器可以收益10，干第二种生产任务每台机器可以收益 7，问怎样分配机器使总收益最大？
例7-3 资源分配问题 假设有一种资源其数量为a，现将它分配给n个使用者。若分 配给第i个使用者的数量为xi（i=1，…，n），产生的相应收益 为gi（xi），问如何分配使总收益最大？
投资决策问题、生产存贮问题、采购问题、设备更新问题等 都具有多阶段决策问题的特征，都可以用动态规划方法求解。
运筹学
动态规划_多阶段决策问题的求解方法
动态规划_多阶段决策问题的求解方法1.构造状态网络; :一:解决多阶段决策最优化的过程为动态规划方法在程序设计中，有一类活动的过程，由于它的特殊性，可将过程2.根据状态转移关系和状态转移方程建立最优值的分成若干个互相联系的阶段，在它的每一阶段都需要做出决策，从而3.按阶段的先后次序计算每个状态的最优值。
使整个过程达到最好的活动效果。
因此各个阶段决策的选取不能任逆向思维法是指从问题目标状态出发倒推回初始意确定，它依赖于当前面临的状态，又影响以后的发展。
当各个阶段态的思维方法。
动态规划的逆向思维法的要点可归纳为以决策确定后，就组成一个决策序列，因而也就确定了整个过程的一条 1.分析最优值的结构，刻画其结构特征; 活动路线。
这种把一个问题看作是一个前后关联具有链状结构的多 2.递归地定义最优值; 阶段过程就称为多阶段决策过程，这种问题称为多阶段决策问题。
3.按自底向上或自顶向下记忆化的方式计算最优在多阶段决策问题中，各个阶段采取的决策，一般来说是与时间有关的，决策依赖于当前状态，又随即引起状态的转移，一个决策序列如果原问题可以分解成几个本质相同、规模较小的就是在变化的状态中产生出来的，故有"动态"的含义，我们称这种就会联想到从逆向思维的角度寻求问题的解决。
一般解决多阶段决策最优化的过程为动态规划方法。
策问题多采用动态规划逆向思维方法解决。
二、举:二:动态规划最优化原理 pascal 语例说明本文以信息学奥赛用语言——最优化原理是动态规划的基础。
任何一个问题，如果失去了这言为编程个最优化原理的支持，就不可能用动态规划方法计算。
这个“最优化说明，其他编程语言编写方法相同，语句类似。
原理”如果用数学化一点的语言来描述的话，就是:假设为了解决某 :一:问题描述一优化问题，需要依次作出 n 个决策 D1，D2，，Dn，如若这个决策设有 N 个不相同的整数组成的数列，记为: 序列是最优的，对于任何一个整数 k，1 < k < n，不论前面 k 个决策是怎样的，以后的最优决策只取决于由前面决策所确定的当前状态，即 ()且 ?? a1 a2 an aiajij以后的决策 Dk+1，Dk+2，，Dn 也是最优的。
5.3确定性的定期多阶段决策问题
同样 f2 (v2 ,v3 , v4) min d23 f1(v3 ,v4), d24 f1(v4 ,v3) ， 现在从最后一个阶段解起：
f0 (v2 , ) d21 6 f0 (v3 , ) d31 7 f0 (v4 , ) d41 9
用动态规划方法找旅行售货员问题的 算法复杂性
f1(x) = max{max{-2cx+x2, -cx+x2}= -cx+x2 f2(x) = max{max{-2cx+x2-cax+a2x2, -cx+x2-cbx+b2x2}
= max{(a2+1)x2–c(a+2)x, (b2+1)x2–c(b+1)x} = (b2+1)x2–c(b+1)x
返v1的最短路线和最短路径。
解答
例5.3.1解答
解：可以用一个矩阵表示 vi 到 vj 的距离。
f3 (v1,v2 , v3 , v4) 表示从 v1 出发，经过 v2, v3, v4 各一次又回到 v1 的最短路程。则：
f3 (v1,v2 , v3 , v4) min d12 f2 (v2 ,v3 , v4), d13 f2 (v3 ,v2 , v4), d14 f2 (v4 ,v2 , v3)
一般情况下， g(y)， h(y)是很复杂的函数时， 这个问题的解不容易找。 当 g(y)，h(y)为凸函数，且 g(0)=h(0)=0 时，可以证明在每个阶段 上 y 的最优决策总是取其端点的值。
多阶段资源分配问题续
引理 5.3.1 设 g ( x), g ( y) 是凸函数， 则对任何固定 的 x， F ( y) g ( y) h( x y) 是 y 的凸函数。 引理 5.3.2 设 F1 ( x), F2 ( x) 是 x 的凸函数，则
多阶段决策问题与动态规划
多阶段决策问题与动态规划在现实世界中，人们常常需要做出一系列的决策，这些决策可能会在未来产生影响，这就是多阶段决策问题。
在面对这样的问题时，我们需要找到最优的决策方案，以最大化我们的利益。
而动态规划则是一种解决多阶段决策问题的有效方法。
动态规划是一种根据问题的阶段性和最优子结构性质的解决问题的方法。
在多阶段决策问题中，动态规划可以帮助我们找到每个阶段的最优决策，从而得到整体的最优解。
在本文中，我们将讨论多阶段决策问题与动态规划的关系，介绍动态规划在解决多阶段决策问题中的应用，并通过一个具体的案例来进一步说明动态规划的使用方法。
多阶段决策问题的特点多阶段决策问题是指在一个连续的时间段内做出一系列的决策，每个决策会对未来的决策产生影响。
在这样的问题中，我们需要考虑每个阶段的各种可能的决策，以及每个决策对未来的影响。
多阶段决策问题的特点包括：1. 时间相关性：各个决策是在不同的时间段内做出的，并且未来的决策会受到当前决策的影响。
2. 最优子结构性质：问题的最优解包含了每个阶段的最优决策，即问题可以被拆分为多个子问题，并且子问题的最优解可以帮助我们找到整体的最优解。
动态规划的基本思想动态规划是一种通过将问题分解为多个子问题，并且利用子问题的最优解来求解整体问题的方法。
动态规划的基本思想可以概括为以下几点：1. 分解问题：将原问题分解为多个子问题，每个子问题的解都能帮助我们求解整体问题的解。
2. 记忆化搜索：将子问题的最优解缓存起来，以便在需要的时候能够直接获取而不需要重新计算。
3. 递推求解：通过递推的方式，利用子问题的最优解来求解整体问题。
动态规划的应用动态规划在解决多阶段决策问题时有着广泛的应用。
通过动态规划，我们可以根据每个阶段的各种决策情况，得到整体问题的最优解。
动态规划的应用可以帮助我们在面对众多决策时，找到最合适的方案。
动态规划的应用举例为了更好地说明动态规划在解决多阶段决策问题中的应用，我们通过一个具体的案例来进行说明。
多阶段决策和序贯决策教材
多阶段决策和序贯决策教材引言多阶段决策和序贯决策是决策理论中重要的概念和方法。
在很多实际应用中，决策问题往往不仅仅是一次性的选择，而是需要在不同阶段进行多次决策，每次决策都受之前决策的影响。
本教材将介绍多阶段决策和序贯决策的基本概念和方法，并提供案例来帮助读者理解和应用这些概念和方法。
多阶段决策多阶段决策是指决策问题中包含多个决策节点的情况。
在每个决策节点，决策者需要面临不同的选择，并根据选择的结果进行下一阶段的决策。
多阶段决策常见于实际生活中的许多问题，比如投资决策、项目管理等。
多阶段决策可以通过决策树来表示。
决策树是一种树状结构，其中每个节点表示一个决策点，每个边表示一个选择。
通过自顶向下的递归过程，从根节点到叶子节点，决策树可以表示整个多阶段决策的过程。
在每个决策节点，决策者根据一定的决策准则选择一个最优的方案。
常用的决策准则包括最大化效益、最小化风险等。
序贯决策序贯决策是多阶段决策的一种特殊形式，它是指在每个决策节点上，决策者只能看到当前状态的信息，并且只做当前状态下最优的决策，无法事先知道所有后续状态的信息。
序贯决策常见于动态环境下的问题，比如控制系统、机器人等。
序贯决策可以通过动态规划来求解。
动态规划是一种递推的算法，通过将问题划分为一系列子问题，并利用子问题的最优解来推导出整个问题的最优解。
在序贯决策中，我们可以定义一个价值函数来表示当前状态的价值，然后利用动态规划算法不断更新和求解价值函数，最终得到最优的决策序列。
案例分析为了帮助读者理解和应用多阶段决策和序贯决策的概念和方法，下面将给出一个案例分析。
假设你是一家餐厅的经理，现在面临一个供应商选择的问题。
你可以选择三个不同的供应商，每个供应商的价格和质量都不同。
此外，每个供应商的产品质量在未来可能会有变化。
你需要决策在当前时间选取哪个供应商，并在之后的时间里根据每个供应商的质量变化重新评估和选择供应商。
这个问题可以通过多阶段决策和序贯决策的方法来解决。
7序贯决策解析
以上各种决策规则都反映了人们对于一种通用的公平的群体决策规则的追求。这种需要是显而易见 的，有集体就有如何公平合理地反映集体意见的问题。50年代，阿罗等人证明了社会选择并不能在完全 符合理性的条件下将个人选择顺序集结为群体的选择顺序，少数服从多数的规则并不能提供一个令人满 意的社会选择顺序。
lim P (n) lim P n1P
n
n
得
1 k 1 k
1
k
1
k
P
1 k 1 k
k
记 1 2 k ，则 P ，且 i 1 i 1
此方程组为稳态方程
第三节 马尔可夫决策
四、马尔可夫应用实例
例6-6 某生产商标 为的产品的厂商为了与另外两个生产同类产品 和 的厂家竞争，有三种可供
第四节 群决策简介
2．委托求解法的步骤
假设成员i知道其他每个成员的效用函数，不知道其他成员设定的权.成员i能够根据其他成员的效用函
数选择权 pij ( j 1,,n)，使这些效用函数的组合几乎能够反映成员i的偏好。 （1）设成员i对他委托的小组中各成员的效用 u oj，指定的权系数为 pij ( j 1,,n) ，则成员i的效用
（1）具有有限种状态；
（2）具有马尔可夫性；
（3）转移概率具有平稳性。
第三节 马尔可夫决策
三、稳态概率
称 j
lim
n
Pj( n )
lim P n
xn
j
为稳态概率。
且
多阶段决策过程Bellman最优性原理动态规划的数学描述
阶段
在多阶段决策过程中，决策点将整个 过程划分为若干部分，其中的每一部 分即为一个阶段。描述阶段的变量称 为阶段变量，常用 k 来表示。阶段的 划分一般是根据时间和空间的自然特 征来进行的，一个N 个阶段的多阶段 决策问题其阶段变量 k =1，2， ， N。
2020/6/26
状态
状态表示每个阶段开始所处的自然状况或客观条 件，它描述了研究问题过程的状况。状态反映前 面各阶段决策的结局，又是本阶段决策的出发点 和依据。状态是各阶段信息的传递点和结合点， 各阶段的状态通常用状态变量Sk来描述。作为状 态应具有这样的性质：在某阶段的状态给定后， 该阶段以后过程的发展不受此阶段以前各阶段状 态的影响。换句话说，过程的历史只能通过当前 的状态来影响未来，当前的状态是过程以往历史 的一个总结。这个性质称为无后效性或健忘性。
2020/6/26
决策
决策是指决策者在若干可行方案中所 作出的选择。决策变量dk(Sk)表示第k 阶段、 状态为Sk时的决策。决策变量的取值会受 到一定的限制，用Dk(Sk)表示第k 阶段、 状态为Sk 时决策变量允许的取值范围，称
为允许决策集合，因而有dk(Sk) Dk(Sk) 。
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阶段指标函数
阶段指标函数是对应某一阶段决 策加的以效表率示度。量，用gk=rk (Sk, dk)来
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过程指标函数
过程指标函数是用来衡量所实现过程优劣的数量
指标，它是定义在全过程（策略）或后续子过程
（子策略）上的数量函数。过程指标函数常用 Rk,,N 来表示，构成动态规划的过程指标函数应具 有可分性并满足递推关系，即Rk,,N 可表示为rk 和 R指k标+1,函N二数者的的关函系数有。如最下常两见种的：过程指标函数与阶段
多阶段决策树例题经典案例
多阶段决策树例题经典案例朋友们！今天咱们来唠唠多阶段决策树这个挺有意思的玩意儿，顺便看看一个经典案例，让你一下子就明白它到底咋回事儿。
想象一下啊，你是一个小老板，打算开一家特色小吃店。
这可就面临着一系列的决策啦，就像走在一个有好多岔路口的路上，每个选择都可能把你带到不同的地方。
这时候，多阶段决策树就派上用场了，它就像是你手里的一张超级地图，帮你看清每个选择后面可能会发生的事儿。
比如说，你首先得决定小吃店开在哪儿。
是选在热闹的商业街，那里人流量大，但租金也高得吓人；还是选在相对安静的居民区，租金便宜，可客源可能就没那么多。
这就是第一个决策阶段。
假设你选了商业街，那接着又面临新问题啦。
你得决定主打什么小吃。
是卖香喷喷的烤串，大家都爱吃，但是竞争也激烈；还是卖独具特色的章鱼小丸子，新奇一点，不过可能需要花时间让大家接受。
这就是第二个决策阶段。
咱接着往下想啊。
假如你决定卖烤串，那又得考虑烤串的口味和定价。
是走高端路线，用最好的食材，卖贵一点；还是走亲民路线，食材普通点，价格实惠，薄利多销。
这又是一个新的决策点。
我们可以把这些决策过程画成一个像树一样的图。
最开始的那个“开在哪儿”的决策就是树干，然后根据不同的选择，长出不同的树枝，每个树枝又代表着下一个决策阶段的各种可能。
比如说选商业街这个树枝，又会分出“卖烤串”“卖章鱼小丸子”等小树枝，再往下又会继续分叉。
那怎么根据这个决策树来做决定呢？这就需要考虑每个选择后面可能带来的收益和风险啦。
比如说在商业街卖烤串走高端路线，可能前期投入成本高，但是如果能吸引到那些对品质有要求的顾客，利润也会很可观；走亲民路线呢，可能一开始顾客会多一些，但是利润相对薄一点。
咱再举个具体点儿的例子算算账哈。
假设在商业街开小吃店，租金一个月1万。
如果卖烤串走高端路线，食材成本高，一串成本5块，卖15块，一天能卖100串，一个月按30天算，毛收入就是45000块，去掉成本和租金，净利润可能有2万左右。
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多阶段决策问题
应用条件应用条件
从起始点到终点最短距离
最优子结构性质：任何最短路径的子路径都是相对于子路径的始点和终点
的最短路径
子问题重叠性质：任何中间节点到终点的距离都被前面的节点多次使用基本思想步骤
常见的实现形式搜索，备忘录，递推
搜索，备忘录，递推搜索，备忘录，递推
搜索，备忘录，递推0-1背包问题（1）
0-1
最长子序列（
最长子序列（最长子序列（最长子序列（邮局问题（
邮局问题（
状态选择
状态选择时间与空间的权衡学习动态规划的方法。