§1.5因式分解及唯一性定理

p ( x ) 不可约，p ( x ) f 1 ( x ) f 2 ( x ) f s ( x ),
f i ( x ),
则必有某个
使得
p ( x ) f i ( x ).
二、因式分解及唯一性定理
1. Th.
p ( x ) P ( x ),
若 (
f ( x )) 1
，则
f ( x )可
再证唯一性 . 设
f ( x ) p1 ( x ) p 2 ( x ) p s ( x ) q1 ( x )q 2 ( x ) q t ( x )
⑴ 都是不可约
p i ( x ), q j ( x ) i 1, 2 , , s ; j 1, 2 , , t .
多项式. 对 s 作归纳法． 若s
不妨设
q j ( x ) q 1 ( x ),
则
p1 ( x ) q 1 ( x )
q 1 ( x ) c 1 p 1 ( x ),
c1 0
(1)两边消去 q 1 ( x ),
即得
1
p 2 ( x ) p s ( x ) c1 q 2 ( x ) q t ( x )
由归纳假设有
p( x ) P [ x ]
，且Biblioteka Baidu

p x 1 ，若
p( x )
不能表示成数域 P上两个次数比
p ( x ) 低的多项式的
乘积，则称 p ( x ) 为数域P上的不可约多项式.
Remark
① 一个多项式是否不可约依赖于系数域. ② 一次多项式总是不可约多项式.
③ 多项式
p ( x ) ( p ( x )) 1
u1 u2 us
u i m a x ri , l i , i 1, 2 , , s
f ( x ) g ( x ) ri l i ,
i 1, 2 , , s
② 虽然因式分解定理在理论有其基本重要性， 但并未给出一个具体的分解多项式的方法． 实际上，对于一般的情形普通可行的分解多项 式的方法是不存在的．而且在有理数域上，多项 式的可约性的判定都是非常复杂的．
s 1 t 1,

s t.
2. 标准分解式： 对 f ( x )
f ( x ) 总可表成
P [ x ],

f ( x ) 1,
f ( x ) c p1 1 ( x ) p 2 2 ( x ) p s s ( x )
r r
r
其中
c
为
f ( x )的首项系数， p i ( x )为互不相同的，
l l l
ri 0 li 0
s
则有

f ( x ), g ( x ) p 1 ( x ) p 2
1
2
( x ) p s ( x ),
i m in ri , l i , i 1, 2 , , s

f ( x ), g ( x ) p 1 ( x ) p 2 ( x ) p s ( x ),
一、不可约多项式
二、因式分解及唯一性定理
问题的引入
因式分解与多项式系数所在数域有关
如：
x 4
4

2
x 2
2

x 2
2

2
（在有理数域上）

x
2
x
2
2
x
2i
2

2i
（在实数域上）

x
x
x
x

（在复数域上）
一、不可约多项式
Def. 设
f ( x )不是不可约多项式，则存在 f 1 ( x ), f 2 ( x ),
f i ( x )) n , i 1, 2
且(
使
f ( x ) f1 ( x ) f 2 ( x )
由归纳假设
f 1 ( x ), f 2 ( x ) 皆可分解成不可约多项式的积.

f ( x ) 可分解为一些不可约多项式的积. f ( x ) 有两个分解式
的标准
分解式中出现的不可约多项式方幂的乘积，所带 方幂指数等于它在 中较小的一个．
f ( x ), g ( x )
中所带的方幂指数
E. g.
f 若 ( x ),
r
g( x)
r
的标准分解式分别为
r
f ( x ) a p 1 1 ( x ) p 2 2 ( x ) p s s ( x ), g ( x ) b p 1 1 ( x ) p 2 2 ( x ) p s s ( x ),
d(x) a 0
或 或
d ( x ) c p ( x ), c 0 d ( x ) cp( x )
p( x ) f (x)
即
d ( x ) 1,
( p ( x ), f ( x )) 1
Th. 5
p( x )
不可约. 则
f ( x ), g ( x ) P [ x ]
不可约
p ( x ) 的因式只有非零常数及其自身的非零常数倍.
④ 多项式
p ( x ) 不可约，对 f ( x ) P [ x ]
有
p( x ) f ( x )
或
p ( x ), f ( x ) 1 .
证：设 ( p ( x ),
f ( x )) d ( x ),
则
d ( x ) p( x )
唯一地分解成数域 P上一些不可约多项式的乘积. 所谓唯一性是说，若有两个分解式
f ( x ) p1 ( x ) p 2 ( x ) p s ( x ) q 1 ( x )q 2 ( x ) q t ( x )
则
s t ，且适当排列因式的次序后，有
pi ( x ) ciqi ( x )
1,
则必有
s t 1,
f ( x ) p1 ( x ) q 1 ( x )
假设不可约多项式个数为 由(１)
s 1 时唯一性已证.
p1 ( x ) q 1 ( x )q 2 ( x ) q t ( x )
q j ( x ),
使得
p1 ( x ) q j ( x ) .
，若
p( x ) f ( x ) g ( x ) ,
p( x ) f ( x )
或
p( x ) g ( x ) .
证：若
p( x ) f ( x ) ,
结论成立 .
若 p ( x ) 不整除
Th4
f ( x ) ，则 ( p ( x ), f ( x )) 1

p( x ) g( x ) .
Cor.

首项系数为1的不可约多项式，ri Z . 的标准分解式.
称之为
f (x)
Remark
① 若已知两个多项式 则可直接写出
f ( x ), g ( x ) 的标准分解式,
f ( x ), g ( x ) .

f ( x ), g ( x )
就是那些同时在
f ( x ), g ( x )
其中
c i ( i 1, 2 , , s ) 是一些非零常数．
证：对
1 2

f ( x ) 的次数作数学归纳.
( f ( x )) 1
（一次多项式都不可约） 时，结论成立．

设对次数低于n的多项式结论成立．

下证

f ( x ) n
的情形. 结论显然成立．
若
若
f ( x )是不可约多项式.