相似三角形的判定(1)

25.4 相似三角形的判定

河北省任丘市北汉中学李莉

一、教材分析

相似图形是对两个图形间的关系的进一步研究．全等图形研究的是两个完全重合的图形，既要考虑图形的形状，又要考虑图形的大小．而相似图形只考虑图形的形状，而不考虑图形的大小．因此，全等图形是特殊的相似图形，相似图形是全等图形的进一步“推广”．因此，探究相似三角形的判定定理的方式，可采用类比全等三角形的判定，获得猜想，再进行验证、证明．本节课只探究相似三角形的第一个判定定理——两角相等的两个三角形相似．

二、教学目标

知识与技能：掌握两角对应相等的两个三角形相似的判定方法.

过程与方法：经历从三角形全等的判定出发探索相似三角形判定定理的过程，培养学生“发现、提出问题，分析、解决问题”的能力．

情感态度与价值观：在探究过程中培养学生合作交流的能力.

问题解决：运用类比思想解决问题.

三、教学重点

判定定理——“两角对应相等的两个三角形相似”的获得．

四、教学难点

两角相等的两个三角形相似的发现与证明．

五、教学过程

教学

环节

师生活动设计意图

复习提问

教师提问：

1. 什么叫作相似三角形？怎样判定相似三角形？

2．全等三角形是相似三角形吗？如果是，相似比是多

少？如何判定全等三角形？

学生思考并回答：

教师对全等三角形的判定可以表示为：

两角及一边对应相等A A'

∠=∠，B B'

∠=∠，1

AB

A B

=

''

复习相似三角

形的有关内容，作为

判定相似三角形的

依据．复习全等三角

形的判定，为获得相

似三角形的判定作

好铺垫，并引出课

两边及夹角对应相等1

AB AC

A B A C

==

''''

，A A'

∠=∠

三边对应相等1

AB BC AC

A B B C A C

===

''''''

题．

提出

问题

类比

猜想

教师提出问题，导入新课．

两个三角形具备哪些条件才能相似呢？

活动1：

请你类比全等三角形的判定，猜想一下相似三角形的判

定条件．

学生根据全等三角形的判定，可猜想相似三角形判定

为：

两角对应相等A A'

∠=∠，B B'

∠=∠

两边对应成比例，夹角相等

AB AC

A B A C

=

''''

，A A'

∠=∠

三边对应成比例

AB BC AC

A B B C A C

==

''''''

类比是获得猜

想的重要手段之一，

全等三角形是相似

比为1的相似三角

形，因此，通过学生

类比全等三角形的

条件，获得相似三角

形的条件．

观察

思考

检验

猜想

教师：我们的猜想正确吗？需要进行检验、验证、证

明．我们先来验证第一个猜想的正确性．能举出例子说明这

个猜想是正确的吗？

活动2：

1．如图，这两个等腰直角三角形相似吗？并说明理由．

2．如图，这两个直角三角形相似吗？并说明理由．

3．有两组对应角相等的两个三角形吗？

让学生用两个

特殊的三角形对猜

想的正确性进行初

步的检验．

动手

操作

验证

猜想

教师：有两组对应角相等的两个三角形吗？仅从两个特

例的检验是不够的，还需对一般的三角形进行验证．如何进

行验证呢？

活动3：

已知∠α，∠β，如图．

（1）分别以∠α，∠β为两个内角，任意画出一个三角

形，与同桌所画的三角形对比，直观感受两个三角形是否相

似；

对一般的三角

形无法精确计算边

的比，但可用合情推

理进行验证．虽然这

种验证是不可靠的，

但让学生经历这样

的过程对猜想的正

确性得到了进一步

的确认．

αβ

运用定理巩固提高

证明：∵DE∥BC，

∴∠ADE＝∠B，

又∵DF∥AC，

∴∠A＝∠BDF．

∴△ADE∽△DBF．

活动6:

已知：如图，点D在△ABC 的边AB上，过点D作直

线截△ABC，使截得的三角形与原三角形相似，你认为满足

条件的直线有几条？能把这些直线画出来吗？

这是一道开放性很强的题目，应

放手让学生去做，教师组织交流、总

结．

如何把这些直线都找到，可以引

导学生进行分析：

过D点截△ABC的边，可以截边

AC，也可以截边BC．对于截边AC的

情况，∠A公用，只需再有一角相

等．于是∠ADE=∠B，或

∠ADF=∠C．对于截边BC的情况，

类似地有∠BDG=∠A，或

∠BDH=∠C．这样满足条件的直线有

4条．

练习1，2．

进一步理解相

似三角形判定定理

的“两角对应相等”，

灵活运用判定定理

进行判定．

小结与作业

1.小结

本节课通过类比全等三角形的条件，获得了相似三角形

判定的三个条件，并经历验证、证明了第一个猜想的正确性，

将作为相似三角形的一个判定定理，这个判定定理的条件和

结论分别是什么？

另外两个猜想是否正确呢？有待于我们进一步的验证、

证明．

2.作业

教科书第75页习题A组和B组1题，B组2题选作．

及时对获得定

理的过程及定理进

行反思，进一步感悟

思想方法，帮助积累

活动经验，加深对定

理的理解．

巩固用判定定

理对相似三角形进

行判定．

D

C

B

A

E

F

H

G

E

D

C

B

A

F

D

C

B

A