相似三角形的判定定理1

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1、 相似三角形的定义
如果一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等，且它们各有的三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形．
如图，DE 是ABC ∆的中位线，那么在ADE ∆与ABC ∆中，
A A ∠=∠， ADE
B ∠=∠，AED
C ∠=∠；
1
2AD DE AE AB BC AC ===．由相似三角形的定义，可知这两个三角形相似．用符号来表示，记作
ADE ∆∽ABC ∆，其中点A 与点A 、点D 与点B 、点E 与点C 分
别是对应顶点；符号“∽”读作“相似于”．
用符号表示两个相似三角形时，通常把对应顶点的字母分别写在三角形记号“∆”后相应的位置上．
根据相似三角形的定义，可以得出：
（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例；两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比（或相似系数）．
（2）如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似． 2、 相似三角形的预备定理
平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似．
如图，已知直线l 与ABC ∆的两边AB 、AC 所在直线分别交于点D 和点E ，则ADE ∆∽ABC ∆．
相似三角形判定定理1
A B
C
D
E
A
B
C D
E
A
B C
D
E
D
A
B
C
E
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A
B
C
A 1
B 1
C 1
3、 相似三角形判定定理1
如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似． 可简述为：两角对应相等，两个三角形相似．
如图，在ABC ∆与111A B C ∆中，如果1A A ∠=∠、1B B ∠=∠，那么ABC ∆∽111A B C ∆．
常见模型如下：
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A
B
C
D
E
F
A
B
C
D E
1
2 3
A
B
C
D
E
【例1】 根据下列条件判定ABC ∆与DEF ∆是否相似，并说明理由；如果相似，那么用符号表示出来．
（1）70A D ∠=∠=︒，60B ∠=︒，50E ∠=︒； （2）40A ∠=︒，80B ∠=︒，80E ∠=︒，60F ∠=︒．
【例2】 如图，E 是平行四边形ABCD 的边BA 延长线上的一点，CE 交AD 于点F ．图中有哪几对
相似三角形？
【例3】 如图，1=2=3∠∠∠，那么图中相似的三角形有哪几对？
【例4】 如图，D 、E 分别是ABC ∆的边AB 、AC 上的点，且AED B ∠=∠．
求证：AE AC AD AB =．
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A B
D C
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E A
B C D
E
【例5】 如图，Rt ABC ∆在中，90C ∠=︒，CD AB ⊥于点D ，且:9:4AD BD =，求:AC BC 的值．
【例6】 如图，ABC ∆中，90BAC ∠=︒，D 是BC 中点，AE AD ⊥交CB 延长线于点E ，则BAE ∆相
似于
．
【例7】 如图，90ACB CED ∠=∠=︒，CD AB ⊥于点D ，3AC =，4BC =，求ED 的长．
【例8】 如图，AB BD ⊥，ED BD ⊥，点C 在线段BD 上运动，1ED =，4BD =，4AB =，若ABC
∆与CDE ∆相似，求BC 的值．
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A
B
C
D E
F
O
A
B
C
D
E
A
B
C P
【例9】 如图，ABC ∆是等边三角形，120DAE ∠=︒，求证AD AE AB DE =．
【例10】 正方形ABCD 中，E 是AD 中点，BM CE ⊥于点M ，6AB =厘米，求BM 的长．
【例11】 如图，在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AD BC ⊥于点D ，点O 是AC 边上一点，联结BO 交
AD 于点F ，OE OB ⊥交BC 边于点E ．
求证：ABF ∆∽COE ∆．
【例12】 如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC BC =，P 是ABC ∆内一点，且135APB APC ∠=∠=︒．
求证：CPA ∆∽APB ∆．
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A B
C
D
E F
M
A
B C
D
E F
G
A
B C
D
E F G
H
【例13】 如图，在梯形ABCD 中，AB //CD ，且2AB CD =，点E 、F 分别是AB 、BC 的中点，EF
与BD 相交于点M ．
（1）求证：EDM ∆∽FBM ∆； （2）若6DB =，求BM ．
【例14】 如图，在ABC ∆中，AB AC =，DE //BC ，点F 在边AC 上，DF 与BE 相交于点G ，且
EDF ABE ∠=∠．
（1）求证：DEF ∆∽BDE ∆； （2）DG DF DB EF =．
【例15】 如图，已知ABC ∆、DEF ∆均为等边三角形，D 、
E 分别在边AB 、BC 上，请找出一个与BDE ∆相似的三角形，并加以证明．
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A
B
C D
E F A
B
C
D
E
F
O
【例16】 如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，OF BD ⊥于点O ，
交CD 于点E ，交BC 的延长线于点F ． 求证：2AO OE OF =．
【例17】 如图，在ABC ∆中，12AB AC ==，6BC =，点D 在边AB 上，点E 在线段CD 上，且
BEC ACB ∠=，BE 的延长线与边AC 相交于点F ．
（1）求证：BE CD BD BC =；
（2）设AD x =，AF y =，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域．。