曲面积分

第二十二章曲面积分

一．填空题（每题2分）

1.为球面,则=

2. 为球面,则

3. 若是柱面外侧,则

4. 若是球面在第一卦限部分,则曲面积分

其中是常量

5.设是由与所围立体的表面积外侧,则积分

6.记均匀半球面:形状构件的重心为,则

7.设关于面积的曲面积分: ,其中是球面

,其中是曲面,则

8.设数量场,则

9.若是某二元函数的全微分,则

10.是光滑闭曲面的外法向量的方向余弦,又所围的空间闭区域为

,设函数在上具有二阶连续偏导数,则由高斯公式有:

=

答案: 1. 2. 3. 4. 5.

6. 7. 8. 9. 10.

二.选择题(每题2分)

1.设是上半球面,则关于面积的曲面积分

为( )

A. B. C. D.

2.设是锥面被平面截得的部分(包括原点)的外侧,

则当时,( )

A. B. C. D.

3.设是上半球面的上侧,则下面四个二重积分表达式中不等于关于坐标的曲面积分的为( )

A. B.

C. D.

其中分别是球面在平面的投影区域.

4.设,其中是上半球面,

,其中是下半球面的外侧,

则( )

A. B. C. D.

5. 设是平面被圆柱面截出的有限部分,则曲面部分的值()

A. B. C. D.

6.设:,为在第一卦限中的部分,则有( )

A. B.

C. D.

7. 若是平面在第一卦限的部分,方向向上,则曲面积分( )

A. B. C. D.

8. 若是曲线,从轴正向看去,是顺时针方向的,则曲线积分

( )

A. B. C. D.

9. 若是平面上方的抛物面,且,则曲面积分

的物理意义为( )

A.表示面密度为1的曲面的质量

B.表示面密度为1的曲面对轴的转动惯量

C.表示面密度为的曲面对轴的转动惯量

D.表示体密度为1的流体通过曲面指定侧的流量

10. 由分片光滑的封闭曲面所围成立体的体积( )

A. B.

C. D.

答案: ABBCA CDCBA

三.计算题（每题5分）

1.计算曲面积分，其中为球面

解：球面方程为与，上半球面记为，下半球面记为，则根据对面积的曲面积分的性质有＝

对右边的两个积分分别积分，因为，在平面上的投影区域都是，所以＝

＝

因此＝

2.计算，其中为平面在第一卦限的上侧.

解:因为的方程为,在平面上的投影区域都是

:,,,

==

=

3.计算曲面积分.其中是三个坐标面与平面

所围成的四面体表面的外侧.

解:因为

由高斯公式得=

4.计算,为平面被柱面截得的部分.

解:因为,所以,于是

=

5.设球面上的密度等于点到平面的距离,求球面被截下部分曲面的重心.

解:由曲面对称性知,.球面上半部曲面为,

故;截得曲面在平面上投影为故

=

这里是截得曲面中位于上半球面的部分.

==

故

6.计算,其中,是球面

的外侧.

解:设为上单位外法线向量,则,于是

==

7.计算,其中是的外侧.

解:由于曲面关于轴对称,故

又曲面关于平面对称,且是关于的奇函数,所以

8.计算,其中为锥面的外侧

解:令,取上侧,则构成封闭曲面,可用高斯公式.于是

=

=

而

故

9.计算,是从到的螺旋线:

解:将添上直线段构成封闭曲线.因为

所以积分与曲面无关,只与围它的曲面有关.由斯托克斯公式,有

直线段的方程为,所以

10.计算,点在球面上,点在球面

上

解:设

故积分与路径无关,只与起点和终点有关,于是

11.计算,设

(1) 为;

(2) 为不包含原点的光滑闭曲面;

(3) 为包含原点的光滑闭曲面;

解: (1) 因为,所以由高斯公式有

(2) 不包含原点,而

即,于是

(3) 包含原点,需做半径充分小球面.则与之间区域

,根据题(2),有

而根据题(1),有

故

这里取内侧.

12.计算,其中为平面与各坐标面的交线,取逆时针方向为正向

解:应用斯托克斯公式得

=

13.计算,其中为立体的边界曲面;

解:面积由两部分组成,其中,,它们在平面上的投影区域都是,由极坐标变换可得

==

14.计算,其中为柱面被平面所截取的部分

解: =

15.计算,其中是单位球面的外侧

解:

=

第二十二章曲面积分

1.计算曲面积分

,

其中为圆锥曲面被曲面所割下的部分.

2.计算

,

其中是曲面介于两平面之间的部分.

3.计算

,

其中是球面的下半部, 是曲面的法线方向与轴正向的夹角.

4.计算

,

其中是柱面在平面和之间的部分.

5.计算

,

其中是上半球面的上侧.

6.计算

,

其中为球体

的表面, 并取外侧.

7.计算

,

其中为连续函数; 为平行六面体的外表面.