2018届高三一轮复习讲义高考专题突破二

1．(2016·全国甲卷)若将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π

12个单位长度，则平移后图象的对称

轴为( )

A ．x ＝k π2－π

6(k ∈Z )

B ．x ＝k π2＋π

6(k ∈Z )

C ．x ＝k π2－π

12(k ∈Z )

D ．x ＝k π2＋π

12

(k ∈Z )

答案 B

解析 由题意将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π

12个单位长度后得到函数的解析式为y ＝

2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，由2x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )得函数的对称轴为x ＝k π2＋π

6(k ∈Z )，故选B. 2．在△ABC 中，AC ·cos A ＝3BC ·cos B ，且cos C ＝5

5

，则A 等于( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．120°

答案 B

解析 由题意及正弦定理得sin B cos A ＝3sin A cos B ， ∴tan B ＝3tan A ，∴0°＜A <90°，0°

， 故sin C ＝255，∴tan C ＝2，而A ＋B ＋C ＝180°，

∴tan(A ＋B )＝－tan C ＝－2，即tan A ＋tan B

1－tan A tan B ＝－2，

将tan B ＝3tan A 代入，得4tan A

1－3tan 2A ＝－2，

∴tan A ＝1或tan A ＝－1

3，而0°＜A ＜90°，

则A ＝45°，故选B.

3．在直角三角形ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点，则P A 2＋PB 2PC 2

等

于( )

A ．2

B ．4

C ．5

D ．10 答案 D

解析 将△ABC 的各边均赋予向量， 则P A 2＋PB 2PC 2＝P A →2＋PB →

2PC →2

＝(PC →＋CA →)2＋(PC →＋CB →)2PC

→2

＝2PC →2＋2PC →·CA →＋2PC →·CB →＋CA →2＋CB →2PC →2

＝2|PC →|2＋2PC →·(CA →＋CB →)＋|AB →|2|PC →|2

＝2|PC →|2－8|PC →|2＋|AB →|2|PC →|2＝|AB →|2|PC →|2－6

＝42－6＝10.

4．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－m

2在[0，π]上有两个零点，则实数m 的取值范围为( ) A ．[－3，2] B ．[3，2) C ．(3，2] D ． [3，2]

答案 B

解析 如图，画出y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3在[0，π]上的图象，当直线y ＝m 2与其有两个交点时，m

2∈⎣⎡

⎭

⎫

32，1，所以m ∈[3，2)．

5.若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π

2)在一个周期内的图象如图所示，M ，N 分别是这段

图象的最高点和最低点，且OM →·ON →

＝0(O 为坐标原点)，则A ＝________.

答案

712

π 解析 由题意知M (π12，A )，N (7π

12，－A )，

又∵OM →·ON →＝π12×7π

12－A 2＝0，

∴A ＝

712

π.

题型一 三角函数的图象和性质

例1 已知函数f (x )＝sin(ωx ＋π6)＋sin(ωx －π6)－2cos 2ωx

2，x ∈R (其中ω>0)．

(1)求函数f (x )的值域；

(2)若函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝－1的两个相邻交点间的距离均为π

2，求函数y ＝f (x )的单调

增区间． 解 (1)f (x )＝32sin ωx ＋12cos ωx ＋32sin ωx －1

2

cos ωx －(cos ωx ＋1) ＝2(

32sin ωx －12cos ωx )－1＝2sin(ωx －π

6

)－1. 由－1≤sin(ωx －π

6)≤1，

得－3≤2sin(ωx －π

6)－1≤1，

所以函数f (x )的值域为[－3,1]．

(2)由题设条件及三角函数图象和性质可知，y ＝f (x )的周期为π， 所以2π

ω＝π，即ω＝2.

所以f (x )＝2sin(2x －π

6

)－1，

再由2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π

2(k ∈Z )，

解得k π－π6≤x ≤k π＋π

3(k ∈Z )．

所以函数y ＝f (x )的单调增区间为 [k π－π6，k π＋π

3

](k ∈Z )．

思维升华 三角函数的图象与性质是高考考查的重点，通常先将三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋

φ)＋k 的形式，然后将t ＝ωx ＋φ视为一个整体，结合y ＝sin t 的图象求解．

已知函数f (x )＝5sin x cos x －53cos 2x ＋5

2

3(其中x ∈R )，求：

(1)函数f (x )的最小正周期； (2)函数f (x )的单调区间；

(3)函数f (x )图象的对称轴和对称中心． 解 (1)因为f (x )＝52sin 2x －532(1＋cos 2x )＋53

2

＝5(12sin 2x －32cos 2x )＝5sin(2x －π

3)，

所以函数的周期T ＝2π2

＝π.

(2)由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π

2(k ∈Z )，

得k π－π12≤x ≤k π＋5π

12

(k ∈Z )，

所以函数f (x )的单调增区间为[k π－π12，k π＋5π

12](k ∈Z )．

由2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π

2(k ∈Z )，

得k π＋5π12≤x ≤k π＋11π

12

(k ∈Z )，

所以函数f (x )的单调减区间为[k π＋5π12，k π＋11π

12](k ∈Z )．

(3)由2x －π3＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋5π

12(k ∈Z )，

所以函数f (x )的对称轴方程为x ＝k π2＋5π

12(k ∈Z )．

由2x －π3＝k π(k ∈Z )，得x ＝k π2＋π

6(k ∈Z )，

所以函数f (x )的对称中心为(k π2＋π

6，0)(k ∈Z )．

题型二 解三角形

例2 (2016·江苏)在△ABC 中，AC ＝6，cos B ＝45，C ＝π

4.

(1)求AB 的长； (2)求cos ⎝⎛⎭⎫A －π

6的值． 解 (1)由cos B ＝4

5

，0