物理-量子态的描述 波函数 量子态叠加原理

U
从另一方面看，在某一特定方位只能 接收到特定动量的电子
p
G
p (r , t)
i ( pr Et )
Ae
(r , t) c( p, t) p (r , t)
p
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3
A
ai ei a1i a2 j a3k
i 1
§2.3 量子态的叠加原理
推广上面的结果，得到 状态叠加原理：量子力学的第二条基本假设：
P PP1 PP21 P干2 涉项 (?)
§2.3 量子态的叠加原理
C1 1 C2 2 P1 | C1 1 |2 ,
双缝同时打开时，电子的几率分布为：
P2 | C2 2 |2
P | 2 |
P | C1 |2 1* 1 | C2 |2 2* 2 C1*C2 1* 2 C1C2* 2* 1
(r1, r2 ,, rN , t) 2 dV1dV2 ,, dVN
t 时刻，粒子1出现在 r1 点附近体积元 dV1中，
同时粒子2出现在 r2 点附近体积元 dV2中，
同时粒子N出现在 rN 点附近体积元 dVN中的几率。
归一化条件：
(r1, r2 , , rN , t) 2 dV1dV2 , , dVN 1
(r , t ) 2 dV＝C (r , t ) 2 dV
C---是个实常数——描述相对几率。
二、量子力学的第一条假设：
2. 波函数的归一化条件：
在非相对论量子力学中，不考虑粒子产生或消灭，粒子数
守恒。即：
2
C (r , t ) dV 1
总可以选择适当的C，并把 C 归入 中，使新的 满足
2
(r , t ) dV 1 ——波函数的归一化条件
对归一化的波函数, (r , t) 2 dV
r 粒子时刻 t，出现在坐标 点附近体积元dV内的几率
(r , t ) 2 ——几率密度
量子力学用几率幅描述微观粒子运动状态。
三、多粒子波函数
N个粒子系统的状态 (r1 , r2 , , rN , t )
Ψ (r , t)
Ae
i
(
Et
P
r
)
——A为待定常数
| |2 | A |2 const.
即严格限制了粒子的动量
p const .
各处概率相等------
位置完全不确定了!
波函数统计诠释涉及对世界本质的认识争论至今未息
哥本哈根学派-------爱因斯坦 著名论战
玻尔、波恩、海森伯、费曼 等
(r1 , r2 , , rN , t ) ——几率幅
四、波函数必须满足的标准化条件：
（1）单值
(r , t ) 2 ——几率密度
(r
,
t)
2
必须单值，通常要求
(r , t)单值。
（2）平方可积：
r,t 2 dV 1 ( 全空间)
除个别孤立奇点外， (r , t) 必须有界。
（3）连续可微 波函数必须满足空间坐标的二阶微分方程，要求波函 数及一阶导数连续。
to do."
二、量子力学的第一条假设：
推广自由粒子情况，有:任意微观粒子的状态由波函数
(r ,
t
)
描写。
1. 波函数的意义：
波函数 (r , t) 描述粒子坐标取值的几率分布。 由于几率非负，量子力学把t 时刻粒子在坐标r 附近体积
元 dV 内出现的几率与
(r ,
t)
2
dV
联系起来，规定t 时刻粒子在 dV 内出现的几率
§2.3 量子态的叠加原理
用电子双缝干涉说明量子力学中态的叠加导致了在叠加 态下观测结果的不确定性。
电子枪 1
P1
P1 P2
2
P2
Ψ C1Ψ1 C2Ψ2
单开缝1：电子处于1态；
电子的概率分布P P1P1 ΨP122
单开缝2：电子处于2态；
电子的概率分布 P2 Ψ2 2
同开双缝: P ? 2
一、单个自由粒子的波函数
考虑一个自由粒子,能量一定，动量一定。对应的德布罗意波具有频率和
波长。
利用 h
p hn k
自由粒子的波函数是频率和波长都确定的平面波，由单色平面波函数形式：
(r , t ) Ae i (kr t )
i ( pr Et )
(r , t ) Ae
自由粒子波函数
描述的相对几率分布是完全相同的。
经典波的波幅如增加一倍，则相应的波动能量将为原来的四 倍，代表了不同的波动状态。
粒子状态波函数不代表实在的物理量的波动， 而是刻画粒子在空间的概率分布的概率波。
右图是计算机根据波函数 计算并绘制的原子内部图 象，其中原子核被放大了 。
经典的“轨道”已无意义!
再看自由粒子：
波函数不仅把粒子与波统一起来，同时以几率幅（几率密度幅）的形 式描述粒子的量子运动状态。
注意
玻恩提出的波函数与经典的波函数的意义完全不 同的：
经典的波函数意味着有某种实在的物理量的空间分布做周期性 的变化，是可测量的。
玻恩提出的波函数一般是不可测量的。可测量的，一般是 2 。它的含义是几率。
对几率分布来说，重要的是相对几率分布。故 和 c
c1 1 c2 2 不是一个新态；
§2.3 量子态的叠加原理
用电子双缝干涉说明量子力学中态的叠加导致了在叠加 态下观测结果的不确定性。
电子枪 1 2
P1
P1 P2
P2
单开缝1：电子处于1态；
电子在屏上的分布： P1 Ψ1 2
单开缝2：电子处于2态；
电子在屏上的分布： P2 Ψ2 2
同开双缝: P ? P P1 P2 (?)
大量粒子系统的研究采用统计法，概率的概念进入物理学的研究领域。这是研究高 度复杂系统退而求其次所采用的一种有效方法。
对于微观系统，根据海森伯不确定性关系，粒子的坐标和动量不可能同时确定，粒 子运动的描述不可能是决定论的，而且也不能同时用粒子的坐标和动量来描述粒子的 运动。
对微观粒子来说，经典描述方法失效。在量子力学中如何描述微 观粒子状态?
回顾：不确定关系式
W.K. Heisenberg
任意两个共轭物理量存在不确定性
x px 2 y py 2 z pz 2
E t
2
（不能同时准确确定!）
§2.2 量子态的描述 波函数
经典物理描述的特征是连续性和决定论。一切物理量都是连续变化的，物理量的连 续变化都受到物理定律的严格制约，由系统的现在状态可以完全确定将来。
x b / 2, x b / 2 b / 2 x b / 2
W ( x, t ) | ( x, t ) |2 0
W ( x, t) | ( x, t) |2 2 cos2 ( x )
b
b
( x b / 2, x b / 2)
(b / 2 x b / 2)
如图所示，在区间
| ( x, t) |2
一般情况下，粒子不是自由的，受到随时间变化或随空间变化的力场的作 用，如原子核周围的电子受核的库仑场作用。
描述粒子状态的波函数一般地表示为 (r , t) 。 (x, y, z, t)
波函数的统计解释
1926年，德国物理学玻恩（Born）提出了波函数的统计解释，认为波 函数体现了发现粒子的概率（几率），这是每个粒子在它所处环境中所具 有的性质。
|
(x, t)
|2
dx
b/ 2 | ( x, t) |2 dx
| ( x, t) |2 dx 1
b / 2
b/2
即：
A2 b/2 cos2 ( x )dx 1
b/2
b
A 2 b
A2 b 1 2
( x, t ) 0,
归一化波函
数
( x, t)
2
iE t
e
cos(
x ),
b
b
几率密度为：
还有薛定谔、狄拉克、德布 罗意等
波函数的概率解释是自然 界的终极实质。
量子力学背后隐藏着还没有被揭示的 更基本的规律，这个规律对量子力学 有新的解释。上帝不会掷骰子！
Einstein "I can't believe that God play
dice,"
Bohr answered, "Einstein, stop telling God what
例1：将波函数 ( x) e2x2 / 2 归一化
解：设归一化因子为C，则归一化的波函数为
( x) Ce2x2 /2
由归一化条件： ( x) 2 dx 1
计算积分得
| C |2 e 2x2 dx | C |2
C 2=
C (
1
) 2 e i
取 ＝0，则归一化的波函数为
(x) (
P1
P2
C1*C2 1* 2
C1C
2*
1
* 2
干涉项：
C1*C2 1* 2
C1C2*
1
* 2
电子双缝干涉实验表明描述电子运动的波函数满足叠加原理。或 者说叠加原理导致了叠加态下观测结果的不确定性，出现了干涉图 样。
它是由微观粒子波粒二象性所决定的。
§2.3 量子态的叠加原理
量子态叠加与经典波叠加联系 量子态叠加在数学形式上与经典波叠加完全相同，但含意截然不同， 差异来源于量子态与经典波物理内涵不同。但它们有相同的表现，相干 叠加会出现干涉或者衍射现象。
牛 顿
运动方程 +初始条件
确定的轨迹
力
因果律、决定论是物理规律的本质！
学
波函数不给出粒子的运动轨迹，只给出 到达某点的概率，且在已知的条件下不可能 精确预知结果，只能预言某些可能结果的概率。
几率性（统计规律）是物理规律的本质！
量子力学
§2.3 量子态的叠加原理 1935年，薛定谔：“薛定谔猫”
哥本哈根学派：没观察时，猫的确是又死又活的。
（b/2, b/2)以外找
不到粒子。在x=0
处找到粒子的几率
最大。
-b/2
o
b/2
(x, t)
x
§2.3 量子态的叠加原理
波具有叠加性，用波函数表示量子态，蕴含着量子力学的另一条 原理——态叠加原理。
一、电子通过金属多晶模的衍射实验
单电子波函数： (r , t )
衍射电子的分布： (r , t ) 2
1
) e2 2 x2 /2
例2. 设粒子在一维空间运动，其状态可用波函数描述为：
( x, t) 0
( x b / 2, x b / 2)
( x, t)
iE t
Ae
cos(
x)
(b / 2 x b / 2)
b
其中A为任意常数，E和b均为确定的常数。
求：归一化的波函数；几率密度W？
b/ 2
若量子力学系统可以处在一系列互异的态 1, 2， 则
c11 c22 也是可能的态。 c1, c2 , 是复常
数，称为叠加系数。
1.量子力学体系所有可能的态张起一个矢量空间：
1, 2 , 态矢量 态矢空间或Hibert空间
2.量子态叠加原理不同于经典物理中的叠加原理：
在量子力学中，若 1 2
波函数 (r , t) 一般是空间坐标和 时间的复值函数。波函数模的 平方 | (r , t) |2 代表 t 时刻，在 r 处粒子出现的几率密度。
时刻t粒子出现在r附近 dV体积内的几率为：
| (r , t ) |2 dV
由此，| (r , t) |2 代表单位体积内发现一个粒子的几率，因而称为几率密度。