群论的各种应用

群论的应用
关于几何体或其他数学、物理对象的对称概念看起来很明显，但给对称这个概念一个精确的和一般的描述，特别是对称性质的量上的计算，使用一般的数学工具很困难。

为了研究象对称这样的规律，在18世纪末、19世纪初出现了群论。

群论最初主要研究置换问题，随着群论研究的深入。

群论已成为近世数学的一个重要分支，并分裂成许多或多或少的独立科目：群的一般理论、有限群论、连续群论、离散群论、群的表示论、拓扑群等。

19世纪到20世纪，群通过其表示论在自然科学中得到了广泛的应用，例如在几何学、结晶学、原子物理学、结构化学等领域，群的表示经常出现在具有对称性的问题研究中。

如今，群论的方法和概念，不仅是解决对称规律的重要工具，而且是解决其他许多问题的重要工具。

本文主要是简单说明一下群论在机器人、密码学、网络、原子物理中的应用。

1. 群论在机器人中的应用。

在机器人领域，群论最初主要应用在机器人运动学的研究中，随着研究的进一步深入，机器人的装配，标定和控制等都用到群论。

从群论的角度来看，机器人的位置无论是用矢量表示，还是用旋量表示，或以四元数、双四元数等其他形式表示，其运动变换可以看作是群运算。

因为在变换过程中，连杆的内部结构不变，其变换可以看作是欧几里德群的子群，群中的变换包括旋转和平移两种。

在机器人运动学中，若采用群描述机器人的运动、可以使表达更简洁更通用，便于符号推理，利用群论描述机器人运动还便于设计通用的机器人语言。

在机器人操作中，操作物体通常是对称的或具有对称的特性，用一般的数学工具很难描述其相对位置，而用群可以很方便地描述其相对关系。

特别是在装配任务中，当相互匹配的两个零件具有对称性时，它们有很多装配位置，用一般的数学工具比较难描述，用群就可很容易地表示并进行推理。

机器人在许多操作过程中具有非线性和非完整性，常用的线性控制不能满足其控制性能要求，人们开始用非线性系统的几何理论来解决，其状态变换是在流形上进行的，它使用的工具是李群和李代数，李群是连续群中重要的一种。

2.群论在密码学的应用。

自从1984年N.R.Wager 和M.R.Magyarik 提出了第一个用组合群论的理论构造公钥密码体制的方法以来，在密码学家们的共同努力下，利用组合群论的理论已经提出多个公钥密码体制和密钥交换协议。

由于组合群论中的数学工具和以前数论中的内容截然不同，有必要对组合群论中的一些定义和定理加以说明，从而可运用到密码学中去，得到不同的加密算法。

群G 称作是有限生成的，如果G 存在有限个生成元1,2,g g …,n g ，满足G 中任意一个元素都可以表示成生成元和它们的逆的有限乘积。

群G 称作是可以有限表示的，如果在G 中有有限个元素1r ，2r ，…，k r 满足在群G 中，1r e =，2r e =，…，k r e =，其中e 是单位元，那么1r ，2r ，…，k r 称为G 的生成元12,,g g …,n g 的一组定义关系，。

换一种角度，如果把群G 看成是n 个元素X ={12,,a a …,n a }生成的自由群F(X)的商群，即存在F(X)的正规子群N ，使得F(X)G=N 成立，那么G 是可以
有限表示的意思是：如果1r ，2r ，…k r 对应F(X)中的元素1w ，2w …k w ，那么{12,,w w …},k w 是F(X)的正规子群N 的生成元。

可以有限表示的群G 可表示为：G=21,,g g …,n g ；12,,r r …,k r
3.群论在网络中应用
群论在网络理论中主要用于研究网络理论中的双口网络集合，双口变换器集合， 2n 端口变换器集合，用群论的方法找出了它们之间的联系,为网络的设计和分析简化，寻找出有效的途径，同时也是群论的应用的一个新的领域。

网络理论中的基本双口网络，双口变换器和器件、2n 端口变换和器件，表明网络理论中较为分离的变换器和器件在群论的约束下成为相互依赖的变换器与器件，为网络理论器件的设计提供了理论根据。

4.群论在原子材料中的应用
人类对于组成物质世界的基本“单元”的认识是逐步深入的,1869年门捷列夫排出元素周期表。

是首次从原子层次认识物质世界基本“单元”的规律。

到20世纪,先后发现一千多种原子核。

虽其性质各异、但是人们指示出所有原子核均由二种粒子—中子和质子在核内不同的运动与填充可得。

从而建立了原子核的壳层摸型理论、它成功地解释了核物理现象。

这就是人们常说的第二张周期表,它是从原子核层次来沙识所谓“基本单元”的。

基于二次成功的戈现、得到共同经验:微观世界的人识是无窃尽的；微观世界是有严格规律的。

每引入一种深入层次的拉子,意味着向物质本质迈进一步。

当今，面对庞大的基本粒子家族。

有理由议为它们不是杂乱无章的。

那么组成这些基本粒子大厦的“砖块”又是什么呢?它们按何种规律结合的呢?人们好象又遇到了第三张周期表。

“群论”这个工具扮演了重要角色。

大量核物理实验抬出,基本粒子中的介子、强子等家强中具有su(3)群对称性。

根据su(3)理论，令组成基本粒子的“单元”称为“夸克”。

夸克模型成功地解释了大量实验现象。

正确口也预言了六十年代后期发现的Ω粒子。

令人信服之处还在于“夸克”所允许组合得到的粒子,在实验中均能找到，反之亦然。

总之，群论在社会生活和科学技术中都有很多应用。