解析函数的孤立奇点与留数

lim(z
z z0
z0 )k
f
(z)
,0
k
lim(z
zz0
z0 )m
f
(z)
cm ,
m
c-m为有限复常数;
(3) z0为f(z) 的本性奇点：
lim f (z)不存在也不为
zz0
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二. 零点与极点的关系
(1) 定义: 若解析函数f(z)能表示成 f(z) = (zz0)m(z),
Re s[
f
(z), ]
1
2
i
L
f
(z)dz
C 1
其 中C1为f (z)在R z 内 的Laurent展 式
C n z n中z 1的 系 数
n
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留数计算法：
(1) 若z0为f (z)的可去奇点,则 Res[ f (z), z0 ] 0
(2) 若z0为f (z)的1级极点,则
若c-m 0, 而cn = 0 (n<-m), 则称z0为f(z)的m级极点,
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2
3).若有无穷多个负幂项, 则称z0为f(z)的本性奇点。
判别： (1)如果z0为f(z)的可去奇点,
(2) z0为f(z)的极点 z0为f(z)的m级极点
lim
zz0
f (z)
c0 ,
lim f (z) ; zz0
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三. 函数在无穷远点的性态
(1) 分类: 若f(z)在z = 的去心邻域R<|z|<+内解析, 则称为f(z)的孤立奇点. 令t = 1/z, 则t = 0是(t) = f(1/t)的孤立奇点. 我们规定: 若t = 0是(t) = f(1/t)的可去奇点 (m级极点, 本性奇点), 则称z=是f(z) 的可去奇点(m级极点, 本性奇点).
其中(z0)0, 且(z)在z0处解析, m为某一正整数, 则称z0为f(z)的m级零点.
(2) 性质 (a) 如果f(z)在z0处解析, 那么z0为f(z)的m级零点
f (n)(z0) = 0 (n = 0, 1, 2, …, m1), f (m)(z0) 0. (b) z0为f(z)的m级极点 z0为
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1 的m级零点. f (z)
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例1 求下列函数的奇点，并指出其类型：
(1) f (z) z 2 (sin 1 )1 z
z 0为非孤立奇点
zk
1
k
为1级 极 点
(2) f (z) (z 1)2 sin z z 2 (z 2 1)2
z 1为2级极点
z 1为可去奇点
z 0为1级极点
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(2) 判定
若f(z)在R<|z|<+内解析, 则在此圆环内有
f (z) cn z n cn z n , (*)
n1
n0
z 为可去奇点
lim
z
f
(z)＝c0
f (z) C n z（ n R z )不含正幂项
n
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z 为极点
f (z) Cn z（ n R z )只含有限个正幂项 n
Res[
f
(z),
z0
]
lim ( z
zz0
z0
)
f
(z)
(3) 若z0为f (z)的m级极点,则
m 1
1
d m1
Res[
f
(z),
z0
]
(m
1)!
lim
zz0
dz m1
(z z0 )m
f (z)
(4)
设f
(z)
P(z) Q(z)
,
P ( z )及Q( z )在z 0 解 析 ， 且P ( z 0
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(3) f (z)
1
z 2 (e z 1)
z 0为f (z)的3级极点,
zk 2ki(k 1,)为f (z)的1级极点
(4) f (z) z cos 1 z
z 0为f (z)的本性奇点
(5)
f
(z)
1 sin z2
(6)
f
(z)
(1
z z 2 )(ez
1)
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i
L
f
( z )dz
为f
(
zΒιβλιοθήκη Baidu
)在z
的
0
留
数
，
记为Res[ f (z), z0 ],即
1
Res[ f (z), z0 ] 2 i L f (z)dz C 1
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无穷远点处的留数
设f (z)在无穷远点z 的去心邻域R z 内解析, L为R z 内任一条逆时针方向的 简单闭曲线，则f (z)在处的留数定义为
解析函数的孤立奇点与留数
留数是区别解析点与孤立奇点的重要标志；留数揭示了孤立奇点与围道积分的内在 联系。
一.孤立奇点及其分类: 1.定义 若f(z)在z0不解析, 但在z0的某一去心邻域0<|zz0|< 内解析, 则称z0为f(z)的孤立 奇点.
由定义可知，若z0为f(z)的孤立奇点，则意味着在z0的某个领域里只有z0一个奇点。
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例2. z = 是
f (z)
1
的可去奇点.
(z 1)( z 2)
z = 是g(z) = (z 1)(z 2) = z2 3z + 2的二级极点.
sin z 1 1 1 z 2
z3
z 2 3! 5!
z 0为f (z)的2级极点, z 为f (z)的本性奇点
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z 为m级极点 Cm 0,Cn 0(n m)
lim f (z) z
z 为本性奇点
f (z) Cn z（ n R z )含无穷多个正幂项 n
lim f (z)不存在且不为 z
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关于无穷远点的孤立奇点的分类可以转化为 原点情况或者利用已知函数的展开式来判定， 当然这个展开式必须是无穷远点去心邻域内 的Laurent展式。
)
0,
Q(z0 ) 0,Q(z0 ) 0,则
Res[ f
(z),
z0 ]
P(z0 ) Q(z0 )
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(5) Res[f
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(z),
并非所有的奇点都孤立，例如：
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1
f (z)
1
sin z
1
2. 分类
由Laurent级数中负幂项的个数来分类
设z0为f(z)的孤立奇点, 则f(z)在0<|zz0|< 内
解析， Laurent展式为 1).若无负幂项, 则称z0为f(z)的可去奇点；
cn(z z0 )n.
n
2).若只有有限个负幂项, 则称z0为f(z)的极点；
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四 .留数
设z0 为f(z) 的孤立奇点,在z0 的去心邻域
0 z z0
内 ， f(z) 的Laurent 展式为:
f (z) C n (z z0 )n
n
L为0 z z0 内包含z0的任一条简单闭曲线，
对 上 式 两 边 积 分 得 L
f
(z)dz
2iC1
称
C 1
1
2