运筹学 第二章线性规划 第二讲 标准型与单纯形法

2.4 基本概念 Basic Concepts
Chapter 1 线性规划 Linear Programming
显然，只要基本解中的基变量的解满足式(2.3)的非负 要求，那么这个基本解就是基本可行解。 在上例中，对Ｂ１来说，x1, x2是基变量，x3 , x4 ，x5是 非基变量，令x3=x4=x5=0，则式(2.2)为
其中:
a11 a12 a a 21 22 A am1 a m 2 通常X记为：
x1 b1 x b 2 ；b 2 ；C＝(c , c ,, c ) 1 2 n xn bm
,T Ａ为约束方程 )称
2.3 线性规划的标准型 Standard form of LP
Chapter 1 线性规划 Linear Programming
当某个约束是绝对值不等式时，将绝对值不等式化为两个不等
式，再化为等式，例如约束
4 x1 x2 7 x3 9
将其化为两个不等式
4 x1 x2 7 x3 9 4 x1 x2 7 x3 9
反之，可行解不一定是基本可行解，如 1 7 T X (0,0, , ,1) 2 2 满足式(2.2)~(2.3)，但不是任何基矩阵的基本解。
2.4 基本概念 Basic Concepts
Chapter 1 线性规划 Linear Programming
基本最优解: 最优解是基本解称为基本最优解。例如
的系数矩阵，m是约束方程的个数，n是决策变量的个数，一般 情况m≤n，且r(Ａ)＝m。
X＝( x1 , x2 , , xn
Chapter 1 线性规划 Linear Programming
一般形式线性规划模型的标准化准则: （前提 bi ≥0 ）
1. min Z cx

max Z cx
5 x1 x2 3 －10 x1 6 x2 2
5 1 B1 , 10 6
因|B1|≠０，由克莱姆法则知，x1、x2有惟一解x1＝2/5, x2=1, 从而基本解为
X
(1)
2 T ( ,1,0,0,0) 5
Chapter 1 线性规划 Linear Programming
5 1 1 1 0 A 10 6 2 0 1
容易看出r(A)=2，2阶子矩阵有C52=10个，其中第1列与 第3列构成的2阶矩阵不是一个基，基矩阵只有9个，即
5 1 B1 , 10 6
1 B4 6 1 2
5 1 B2 , 10 0
1．目标函数求最大值（或求最小值）
2．约束条件都为等式方程
3．变量xj非负
4．常数bi非负
2.3 线性规划的标准型 Standard form of LP
Chapter 1 线性规划 Linear Programming
max(或min)Z=c1x1+c2x2+…+cnxn
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 22 2 2n n 2 21 1 am1 x1 am 2 x2 amn xn bm x j 0, j 1,2, , n bi 0, i 1,2, , m
5 x1 x2 x3 x4 3 x5 2 10 x1 6 x2 2 x3 x 0, j 1,,5 j
求所有基矩阵。 【解】约束方程的系数矩阵为2×5矩阵
5 1 1 1 0 A 10 6 2 0 1
Chapter 1 线性规划 Linear Programming
max Z x1 x2 3x3 3x3
2 x1 x2 x3 x3 x 4 8 x x x x x 3 1 2 3 3 5 3x1 x2 2( x3 x3) x6 5 x1、x2、x3、x3、x4、x5、x6 0
Chapter 1 线性规划 Linear Programming
2.3 线性规划的标准型 Standard form of LP
2.3 线性规划的标准型 Standard form of LP
Chapter 1 线性规划 Linear Programming
在用单纯法求解线性规划问题时，为了讨论问 题方便，需将线性规划模型化为统一的标准形式。 线性规划问题的标准型为:
2.4 基本概念 Basic Concepts
Chapter 1 线性规划 Linear Programming
基本最优解、最优解、基本可行解、基本解、可行
4. xi无符号要求 xi xi' xi'' , xi' 0 , xi'' 0
5. xj≤0

2.3 线性规划的标准型 Standard form of LP
Chapter 1 线性规划 Linear Programming
【例1】将下列线性规划化为标准型
min Z x1 x2 3x3 (1) 2 x1 x2 x3 8 x x x 3 (2) 1 2 3 3x1 x2 2 x3 5 (3) x1 0、x 2 0、x3无符号要求
2. aij x j bi
j 1
n
n a ij x j x n i bi j 1 x ni 0

3. aij x j bi
j 1
n
n aij x j x n i bi j 1 x ni 0
令xj =－ x'j , x'j ≥0
或Biblioteka Baidu矩阵形式
max Z CX AX b X 0
max Z CX AX b X 0
a1n a2 n ；X amn
2.3 线性规划的标准型 Standard form of LP
Chapter 1 线性规划 Linear Programming
2.3 线性规划的标准型 Standard form of LP
Chapter 1 线性规划 Linear Programming
或写成下列形式：
max Z c j x j
j 1
n
n aij x j bi , i 1,2,, m j 1 x j 0, j 1,2,, n
3 X ( ,0,0,0,8)T 满足式(2.1)~(2.3)是最优解, 又是B3的 5
基本解, 因此它是基本最优解。 可行基: 基可行解对应的基称为可行基；
最优基: 基本最优解对应的基称为最优基；
如上述B3就是最优基，最优基肯定是可行基。 注：当最优解惟一时，最优解亦是基本最优解， 当最优解不惟一时，则最优解不一定是基本最优解。
(2) 第一个约束条件是“≤”号，x x x 8 (1) 2 1 2 3 在“≤”号左端加入松驰变量 x x x 3 (2) 1 2 3 (slack variable) x4，x4≥0, (3) 3x1 x2 2 x3 5 化为等式； x1 0、x 2 0、x3无符号要求 (3)第二个约束条件是“≥”号，在“≥”号左端减去剩余 变量(surplus variable) x5 ，x5≥0，也称松驰变量； (4)第三个约束条件是“≤”号且常数项为负数，因此在 “≤”左边加入松驰变量x6，x6≥0，同时两边乘以－1。
5 1 B2 , 10 0
对B2来说，x1, x4,为基变量，令非变量x2, x3, x5为零，由 1 ，x =4，则基本解为 式(2.2)得 x1 4 5
X
( 2)
1 T ( ,0,0,4,0) 5
在 X (2) 中x1<0, 不是可行解，因此也不是基本可行解。
Chapter 1 线性规划 Linear Programming
可行解(feasible solution): 满足式(2.2)及(2.3)的解X=（x1, x2 …, xn)T 称为可行解； 最优解(optimal solution): 满足式(1.1)的可行解称为最优 解，即使得目标函数达到最大值的可行解就是最优解； 基本解(basic solution) : 对某一确定的基B，令非基变量 等于零，利用式(2.2)解出基变量，则这组解称为基Ｂ 的 基本解。 基本可行解(basic feasible solution): 若基本解是可行解 则称为是基本可行解（也称基可行解）。 非可行解(infeasible solution) 无界解 (unbounded solution)
Chapter 1 线性规划 Linear Programming
当确定某一矩阵为基矩阵时，则基矩阵对应的列向量
称为基向量(basic vector)，其余列向量称为非基向量;
基向量对应的变量称为基变量(basic variable)， 非基向量对应的变量称为非基变量 ；
5 1 B2 10 0
min Z x1 x2 3x3
(5)目标函数是最小值，为了化为求最大值，令Z′=－Z,
得到 max Z′=－Z，即当Z达到最小值时Z′达到最大值。
2.3 线性规划的标准型 Standard form of LP
Chapter 1 线性规划 Linear Programming
综合起来得到下列标准型
5 1 1 1 0 A 10 6 2 0 1
在上例中B2的基向量是A中的第一列和第四列，其余列 向量是非基向量，x1、x4是基变量，x2、x3、x5是非基 变量。基变量、非基变量是针对某一确定基而言的，
不同的基对应的基变量和非基变量也不同。
2.4 基本概念 Basic Concepts
5 0 B3 , 10 1
1 0 B7 , 2 1
1 0 1 , B6 6 1, 0 1 0 1 1 B8 , B9 0 1 2 0
1 B5 6
2.4 基本概念 Basic Concepts
【分析】(１)因为x3无符号要求 ，即x3 可取正值也 可取负值，标准型中要求变量非负，所以令
x3 x3 x3, 其中x3 , x3 0
2.3 线性规划的标准型 Standard form of LP
Chapter 1 线性规划 Linear Programming
再加入松驰变量化为等式。
2.4 线性规划的有关概念
Basic Concepts of LP
2.4 基本概念 Basic Concepts
Chapter 1 线性规划 Linear Programming
设线性规划的标准型
max Z=CX
AX=b X ≥0
(2.1)
(2.2) (2.3)
式中A 是m×n矩阵，m≤n并且r(A)=m，显然A中至少 有一个m×m子矩阵B，使得r(B)=m。 基 (basis)：A中 m×m子矩阵 B 并且有r(B)=m，则称B 是线性规划的一个基(或基矩阵basis matrix )。
注：基矩阵B必为非奇异矩阵即|B|≠0。 当m=n时，基矩阵惟一，当m<n时，基矩阵就可能有多个，但数 目不超过 C m
n
2.4 基本概念 Basic Concepts
Chapter 1 线性规划 Linear Programming
max Z 4 x1 2 x2 x3
【例2】线性规划