线面垂直练习题及答案

线面垂直练习题及答案

线面垂直的证明中的找线技巧

通过计算，运用勾股定理寻求线线垂直

M为CC1 的中点，AC交BD于点O，求证：1 如图1，在正方体ABCD?A1BC11D1中，AO?平面MBD． 1

A1M，∵DB⊥A1A，DB⊥AC，A1A?AC?A，

∴DB⊥平面A?平面A1ACC1 ∴DB⊥AO1ACC1，而AO1． 1 323222

设正方体棱长为a，则A1O?a，MO?a．

2492222

AM?a．∵AO 在Rt△AC中，，∴AOM?OM?MO2?AM111111 4

∩DB=O，∴ AO1⊥平面MBD．

证明：连结MO，

?

．∵OM

评注：在证明垂直关系时，有时可以利用棱长、角度大小等数据，通过计算来证明．

利用面面垂直寻求线面垂直

如图2，P是△ABC所在平面外的一点，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC．求证：BC⊥平面PAC．

证明：在平面PAC内作AD⊥PC交PC于D．

因为平面PAC⊥平面PBC，且两平面交于PC，

AD?平面PAC，且AD⊥PC，由面面垂直的性质，得AD⊥平面PBC．又∵BC?平面PBC

，

∴

AD⊥

BC．

∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴PA⊥BC．∵AD∩PA=A，∴BC⊥平面PAC．

．

评注：已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直线垂直，应将两条直线中的一条纳入一个平面中，使另一条直线与该平面垂直，即从线面垂直得到线线垂直．在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到，面面垂直?线面垂直?线线垂直．

判定性质

判定性质

????线面垂直???????面面垂直．这三者一般来说，线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决，其关系为：线线垂直?????

之间的关系非常密切，可以互相转化，从前面推出后面是判定定理，而从后面推出前面是性质定理．同学们应当

学会灵活应用这些定理证明

问题．下面举例说明．

如图１所示，ABCD为正方形，SA⊥平面ABCD，过

A且垂直于SC的平面分别交SB，SC，SD于E，F，G．求证：AE?SB，

AG?SD．

证明：∵SA

?平面ABCD，

∴SA?BC．∵AB?BC，∴BC?平面SAB．又∵AE?平面SAB，∴BC?AEAE?平面SBC．∴AE?SB．同理可证AG?SD．

．∵SC?平面AEFG，∴SC?AE

．∴

评注：本题欲证线线垂直，可转化为证线面垂直，在线线垂直与线面垂直的转化中，平面起到了关键作用，同学们应多注意考虑线和线所在平面的特征，从而顺利实现证明所需要的转化．如图２，在三棱锥Ａ－BCD中，BC＝AC，AD ＝BD，

作BE⊥CD，Ｅ为垂足，作AH⊥BE于Ｈ．求证：AH⊥平面BCD．证明：取AB的中点Ｆ，连结CF，DF．∵AC

?BC，∴CF?AB．

∵AD?BD，∴DF?AB．

又CF?DF?F，∴AB?平面CDF．∵CD?平面CDF，

∴CD?AB．又CD?BE，BE?AB?B，∴CD?平面ABE，CD?AH．∵AH?CD，AH?BE，CD?BE?E，

∴

AH?平面BCD．

评注：本题在运用判定定理证明线面垂直时，将问题转化为证明线线垂直；而证明线线垂直时，又转化为证明线面垂直．如此反复，直到证得结论．

如图３，AB是圆Ｏ的直径，Ｃ是圆周上一点，PA?平面ABC．若AE⊥PC ，Ｅ为垂足，Ｆ是PB上任意一点，求证：平面AEF⊥平面PBC．

证明：∵AB是圆Ｏ的直径，∴AC∵PA∴PA?

?BC．

?平面ABC，BC?平面ABC，

BC．∴BC?平面APC．

∵BC?平面PBC，∴平面APC⊥平面PBC．

∵AE⊥PC，平面APC∩平面PBC＝PC，∴AE⊥平面PBC．∵AE?平面AEF，∴平面AEF⊥平面PBC．

评注：证明两个平面垂直时，一般可先从现有的直线中寻找平面的垂线，已知条件出发寻找线线垂直的关系．

6. 空间四边形ABCD中，若AB⊥CD，BC⊥AD，求证：AC⊥BD

即证线面垂直，而证线面垂直则需从

D证明：过A作AO⊥平面BCD于O

?AB?CD，?CD?BO 同理BC⊥DO ∴O为△ABC的垂心 . 证明：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1C⊥平面BC1D 于是BD?CO?BD?AC

A

C

证明：连结AC

?BD?AC

AC为A1C在平面AC上的射影

?BD?A1C

?

??A1C?平面BC1D

同理可证A1C?BC1?

8. 如图，PA?平面ABCD，ABCD是矩形，M、N分别是AB、PC的中点，求证：MN?AB

C

1

EN//DC

2. 证：取PD中点E，则

C

?EN

?AE/

//AM

/MN

9如图在ΔABC中，AD⊥BC， ED=2AE，过E作FG∥BC，且将ΔAFG沿FG折起，使∠A’ED=60°，求证:A’E⊥平面A’BC

分析：

A’C

弄清折叠前后，图形中各元素之间的数量关系和位置关系。

D

解：G ∵FG∥BC，AD⊥BC

∴A’E⊥FG EAB∴A’E⊥BC

F设A’E=a，则ED=2a

由余弦定理得：

222

A’D=A’E+ED-2?A’E?EDcos60°

2

=3a

222

∴ED=A’D+A’E∴A’D⊥A’E

∴A’E⊥平面A’BC

10如图, 在空间四边形SABC中, SA?平面ABC, ?ABC