薄板弯曲问题

z
y
x
将x、y、xy的表达式代入得：
zx Ez ( 3w 3w ) Ez 2w z 1 2 x3 xy2 1 2 x
zy
z

1
Ez

2
(
3w y3

3w yx2
)

1
Ez

2
2w y
2020年3月10日星期二
2020年3月10日星期二
专题：薄板弯曲问题
12
最后得
z


Et3
6(1 2 )
(1 2

z )2 (1 t
z )4w t
边界条件： z t q 板上面 2
将z的表达式代入此边界条件，得：
Et 3
12(1
2
)
4w

q
or或写成： D4w q
其中：D

Et 3
2
二、薄板弯曲的基本假定 （1）薄板弯曲时,中面为曲面,称为弹性曲面或中曲面, 中面内各点在垂直方向的位移称为挠度.
（2）小挠度弯曲：挠度t，（本节讨论） 大挠度弯曲：挠度=t 薄膜问题 ：挠度t
（3）薄板弯曲的基本假定：（Kirchhoff-Love假定）
a、假定应变分量z=0，xz=0，yz=0
19
六、边界条件
求薄板的小挠度弯曲问题，就是在满足板边的边界条件
下，由方程
D4w q
求出挠度w
下面以矩形板为例：
O
如图所示矩形板，OA边固定
a
x C
，OC边简支,AB、BC边是自由 b
边
OA边 w 0 x0
w 0 A x x0
B
OC边 w 0 y0
y
注：静力边界
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专题：薄板弯曲问题
一、薄板的特点： （1）由两个平行平面和垂直于这两个平行面的柱面或 棱柱面所围成的图形，称为板。两平行面称为板面，柱 面称为板边，板面之间的垂直距离称为板厚，平分板厚 的平面称为板的中面.
（2）若板厚t最小
o
x
板边，称为薄板，否
则称为厚板，根据板
t/2
的形状，可分为矩形 y z
r
2w
Q
D 1 r


2w
其中：
2r
w r

1 r2
2w
2
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专题：薄板弯曲问题
25
应力分量的表达式：
r

12M r t3
z

12M t3
z
r
12M r t3
z
rz

6Qr t3
t2 (
x
r r
w sin w cos w
y
r r
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专题：薄板弯曲问题
21
2w x 2
cos2
2w r 2

2sin cos
r
2w
r
sin 2 w 2sin cos w sin 2 2w
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专题：薄板弯曲问题
24
Mr

D[
2w r 2


(1 r
w r
1 r2
2w
2 )]
M
D[(1 r
w r
1 r2
2w) 2
2w] r 2
M r
D(1 )(1
r
2w
r

1 r2
w )

Qr

D
y

E
1 2
( y

x )


1
Ez

2
2w ( y2

2w x2 )
xy
Ez
1 2
2w xy
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专题：薄板弯曲问题
8
四、推导弹性曲面的微分方程
在这里，不存在纵向体积力：Ｘ＝Ｙ＝０
x yx zx 0
x
1、用w表示应力，应变和位移
u w z x
v w z y
v


w y
z

f1 ( x,
y)
u


w x
z

f2 (x,
y)
又 u 0 v 0
z0
z0
f1(x, y) f2 (x, y) 0
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6
v w z y
u w z x
应变分量：
x

u x


2w x 2
z
y

v y


2w y 2
z
xy

2 2w xy
z
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7
应力分量：
x

E
1 2
( x

y )


1
Ez

2
2w ( x2


2w y2 )
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专题：薄板弯曲问题
23
八、圆形薄板的轴对称弯曲
如果圆形薄板所受的荷载是绕z 轴对称，（q只是r的函数）， 则薄板的弹性曲面也将是绕z 轴对称（w只是r 的函数），此时， 弹性曲面的微分方程简化为：
d 2 1 d d 2w 1 dw
D( dr2
r
dr )( dr2

r
)q dr
不计,即
u 0 v 0 w w(x, y)
z0
z0
z0
说明中面无伸缩和剪切变形，中面的位移w（x，y）称为 挠度函数
以上假定在许多工程实际问题的分析中，已得到广泛应用
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专题：薄板弯曲问题
5
三、弹性曲面的微分方程
薄板的小挠度弯曲问题，采用按位移求解，所以，取 薄板挠度w为基本未知量
zx

Ez 2
2(1 2 )
(z2

t2 4
)
x
2w
zy

Ez 2
2(1 2 )
(z2

t2 4
)
y
2w
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专题：薄板弯曲问题
11
由平衡方程中的第三式： z xz yz Z 0
z x y 取Z=0，或Z不为零时，将其转化为面力
y
z
y xy zy 0
y
x
z
z xz yz Z 0
z x y
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9
由平衡方程中的前两式：
zx x yx
z
x
y
zy y xy
z
z
xz
x

yz
y

z
z

E t2
2(1 2 ) ( 4
z2 )4w
积分得： z

E
t2
2(1 2 ) ( 4
z

z3 )4w 3
f3 (x,
y)
根据边界条件求f3（x，y）
边界条件： z z t 0 板下面 2
求出f3（x，y）
t
q Z z t
Z zt

2 t
Zdz
2
2
2
这样处理只会对次要应力z引起误差，对其他的应力分 量无影响
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专题：薄板弯曲问题
14
五、横截面上的内力
t
M x
2 t

x
zdz
2
t
M y
2 t

y
zdz
2
t
M xy
2 t

xy
zdz
专题：薄板弯曲问题
20
七、圆形薄板的弯曲 求解圆形薄板的弯曲问题，用极坐标比较方便，我
们把挠度w和荷载q 看作是极坐标r 和 的函数，即
w w(x, y) q q(x, y)
因为w和q既是r、 的函数，又是x、y的函数，利用极
坐标与直角坐标之间的关系，可以得出下列变换式：
w cos w sin w
12M y t3
z
xy
yx
Ez
1 2
2w xy
12M xy t3
z
xz

6FSx t3
t2 (
4
z2)
yz

6FSy t3
t2 (
4
z2)
z

2q( 1 2

z )2 (1 t
z) t
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18
各应力最大值
sin 2
r
2w
r
sin cos
r
w r

cos2 sin 2
r2
w


sin
cos
r2

2w
2
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专题：薄板弯曲问题
22
2w
2w r 2

1 r
w r

1 r2
2w
2
弹性曲面的微分方程可以变换为：
t/2
板，圆形板等.
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专题：薄板弯曲问题
1
（3）板上的荷载一般都分解为：平行于板面的荷载；垂 直于板面的荷载。
（4）平行于板面的荷载沿板厚不变，按平面问题计算； 垂直于板面的荷载引起弯曲，按薄板弯曲理论计算。
o
x
t/2 t/2
yz
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2 1 1 2 2w 1 w 1 2w
D( r 2
r
r
r2
2 )( r 2
r
r
r2
2 ) q
圆形薄板的边界条件：（坐标原点取在薄板的中心）
a、在r=a处固定
(w)ra 0
w ( r )ra

0
b、在r=a处简支 (w)ra 0 注：静力边界
4

z2)
z

6Q t3
(t2 4
z2)
z

2q( 1 2

z )(1 t
z) t
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专题：薄板弯曲问题
26
此常微分方程的解答是：
w C1 ln r C2r2 ln r C3r2 C4 w1
其中，w1是任意一个特解，可根据荷载q来选择，C1、 C2、C3、C4是任意常数，根据边界条件来确定.
说明任意根法线上,
z
w 0 w w(x, y) z
薄板全厚的所有各点 具有相同的挠度
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专题：薄板弯曲问题
3
xz

w x

u z
0

yz

w y

v z

0
结论：
u w z x
v w z y
弯曲变形前垂直于中面的法线，变形后仍为直线，且 长度不变，称为直法线假定，它和梁弯曲的平面假定 类似。
2
t
M xy
2 t

xy
zdz
2
t
t
FSx
2 t

xz
dz
2
FSy
2 t

yz
dz
2
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15
薄板横截面上的内力可写为：
Mx

2w D( x2


2w y2 )
Qx

D
x
2w
My


D(
2w y 2


2w x2
r r
r2
r 2 2
2w y 2
sin 2
2w r 2

2 sin cos
r
2w
r
cos2 w 2 sin cos w cos2 2w


r r
r2


r2
2
2w xy
sin
cos
2w cos2
r 2
专题：薄板弯曲问题
10
将上两式积分得： zx

Ez 2
2(1 2 )
x
2w
F1 ( x,
y)
zy

Ez 2
2(1 2 )
y
2w
F2 (x,
y)
由边界条件确定Ｆ１（x，y），Ｆ２（x，y）
zy z t 0 2
zx z t 0 2
最后得：
)
Qy

D
y
2w
M xy

M yx

D(1 )
2w xy
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内力的正负号规定：
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应力分量的表达式：
x

Ez
1 2
2w ( x2

2w y2 )

12M x t3
z
y
例如，受均布荷载q0作用的薄板，特解w1可以取为：
w1 mr4
其中m为常数，将w1代入方程：
D( d 2 1 d )( d 2w 1 dw) q dr 2 r dr dr 2 r dr
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专题：薄板弯曲问题
求得：
m q0 64D
b、薄板弯曲时，垂直于板面的应力分量z很小，可以 忽略不计，纵向间无挤压，所以物理方程与平面问题
的物理方程完全一样。
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4
x

1 E
( x
y )
y

1 E
( y
x )
xy

1 G

xy
c、中面内各点的水平位移u、v和w相比很小，可以忽略
12(1 2
)
称为薄板的弯曲刚度， 量纲为：力·长度
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专题：薄板弯曲问题
13
方程 D4w q 称为薄板的弹性曲面微分方程或挠
曲微分方程，它是薄板弯曲的基本微分方程。求解时，
按薄板侧面的边界条件，由此方程求w，然后按前述公
式求应力分量.
若体力Z不为零，我们把每单位面积内的体力和面力都 归入薄板上面的面力，用q表示
x , y , xy
xz , yz
( x )z t 2


6M t2
x
( y )z t 2


6M y t2
( xy )z t 2