第三章 时变电磁场
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电场的波动方程
H 对 E 两边取旋度，有 t E H t
6.5
则：
E 2 E 2 0 t
en (H1 H2 ) J s 或
H 切向分量的边界条件 E 切向分量的边界条件
H1t H 2t J s （3.20）
•
•
en (B1 B2 ) 0 或 B1n B2n （3.22） • D 法向分量的边界条件 en (D1 D2 ) s 或 D1n D2n s （3.23）
2017/3/27
任意
3
３、法拉第电磁感应定律：
B i C Ei dl S t dS
B E t
(积分形式）
据斯托克斯定理 : 则
B 0 t
（微分形式）
(3.5)
当
时,则 E 0
说明:恒定磁场是独立的,若其中存在电场,也必是 库仑场或恒定电场,为无旋场。
P 热的功率 T 为单位体积中变为焦耳
将上式对任意体积τ积分，并利用高斯散度定理，则有
d S ( E H ) dS dt wd PT d
2017/3/27
坡印廷定理
21
d S ( E H ) dS dt wd PT d
2017/3/27 22
3.4
波动方程
E H J t H E t H 0 E
限定形式的麦克斯韦方程组
全电流定律
法拉第电磁感应定律 磁通连续性原理
高斯通量定理
2017/3/27
23
考虑无源区域的情形： 0, 0, J 0
解： 位移电流密度为： 其幅值为： J dm 其幅值为：
2017/3/27
D JD t
D 0 r E
0 r Em 传导电流密度为： J c E Em cost
0 r Em sin t
J cm Em
9
则位移电流与传导电流幅值之比为：
1 0 2
D2 0
B E 0 t
2017/3/27
B2 0
不考虑对时间 为恒定的分量
H2 0
16
则边界条件可改写为 :
en E1 0
15
上式说明:对于时变场中的理想导体,电场 总是与导体表面垂直,磁场总是与导体表面相 切（电磁场相互垂直）。在导体内部,电场、 磁场均为零。若理想导体表面有自由电荷及 面电流时，面电流的方向与磁场方向垂直。
D H J t
上式说明：变化的电场也能产生磁场。
2017/3/27 8
例：海水的电导率 4 s m ，相对介电常数 r 81， 若设海水中的电场是按余弦变化的， E Em cost 求当 f1 1MHz 和 f 2 1GHz 时，位移电流同 传导电流幅值的比值。
单位时间里， 体积内时变电磁场储 能的增加与转换为焦耳热损耗掉的功率， 等于从 体积的表面 S 流进来的功率。
４、坡印亭矢量 S ：（能流密度矢量） 定义： 坡印亭定理的物理意义：
S EH
电磁场的 传播方向
其大小等于单位时间内穿过与波的传播方向相垂 直的单位面积上的能量,故 S 也叫能流密度矢量.
则分界面的边界条件为：
n (E E ) 0 或 E E 1 2 1 t 2t n (B1 B2 ) 0或B1n B2n n (D1 D2 ) 0或D1n D2n
2017/3/27 18
n (H H ) 0 或 H H 1 2 1 t 2t
2017/3/27 2
2、感应电场 Ei ：
环路积分为感应电动势
i
.
d d i Ei dl B dS C dt dt S
上式说明:感应电场的环路线积分值不恒为
零.即感应电场为有旋场。
感应电场是由于磁场随时间改变而产生的。
推论:闭合回路不是导体回路行不行呢？ 的闭合回路那又行不行呢？
6
3、安培环路定律的修正：
（ J Jd ) 0
于是安培环路定律被修正为:
D H J Jd J t
H J
D H J t
安培环路定律的微分形式
2017/3/27
7
全电流定律（时变场的安培定律）：
10
某种媒质中传导电流与位移电流的比 值的大小是衡量该媒质导电性的分界线。 当该值远远大于１时，媒质为良导体，远 远小于１时为良介质。由于该比值与频率 成反比，则媒质是良导体还是良介质不是 绝对的。在低频下为良导体的媒质在高频 时可能为良介质。
J cm J dm
2017/3/27
?
1
11
3.1.3 麦克斯韦方程 一、麦克斯韦方程组
2017/3/27 17
en H J 1 s en D1 s en B1 0
6.(53) 4.4(6)
1 2
介质 导体
3.2.3 两理想介质分界面上的边界条件： 理想介质：绝缘介质，其 0 ，且分界面上一般 不存在面电流 J s 0 及面电荷 s 0
6.4
麦克斯韦将电场与磁场的环量及通量方程，推 广至时变电磁场中，就成为其方程组。
有旋 有旋
无散 有散
D 1、微分形式： H J t B E t B 0 D
34
时变电场有散有旋，即电力线可以是闭合的（有旋）， 也可以是不闭合的（有散）；时变磁场则是有旋无散的，故 磁力线永远是闭合的。
2017/3/27
或 E1t E2t 0 （3.21） en (E1 E2 ) 0 4.4(11) B 法向分量的边界条件
4.4(9)
15
3.2.2 完纯（理想）导体表面上的边界条件：
媒质“1”为理想介质 1 0 媒质“2”为理想导体 2 有限 在理想导体中: J 2 2 E2 E2 0
2017/3/27 19
3、坡印亭定理：
利用恒等式： ( E H ) H ( E) E ( H ) B B H H E t D t E
D E H J J t t 将其代入恒等式：有 H E (E H ) H E J E t t
第三章
时变电磁场
时变电磁场:随时间变化的电场与磁场。
时变电磁场的特点：
电场和磁场不再独立,而是互相依存、互相转 化。即变化的磁场会产生电场；变化的电场也 能产生磁场。电场和磁场不可分割地成为统一 的电磁现象。 时变电磁场的核心理论是麦克斯韦方程组。
2017/3/27
1
3.1 麦克斯韦方程组 3.1.1 法拉第电磁感应定律 一、法拉第电磁感应定律(实验):
麦克斯韦方程组变为
H E t H t
E H 0 E 0
2017/3/27
24
2 利用矢量恒等式： E ( E) E
以及
E H t E 0
上式说明:变化的磁场能产生电场,且电场不
再是无旋场.那么变化的电场产生磁场吗？
2017/3/27
4
3.1.２ 位移电流 1、安培环路定律：
H J
电流连续性方程
对上式两边取散度,则:
左边
H 0
右边
时变情况下, t
0
J t
缺陷
等式两边取散度后,时变情况,左边不等于右边.
（3.19）
式（3.19）称为媒质的本构关系。
、、
是常数。
各向异性媒质，则
如
2017/3/27
11 12 13 21 22 23 31 32 33
、、
是张量（矩阵）。
14
3.2 •
边界条件
17 13
3.2.1 边界条件的一般形式
2017/3/27 12
2、积分形式：
D CH dl SJ dS S t dS B CE dl S t dS SB dS 0 D dS q
S
15
全电流定律
法拉第电磁感应定律 磁通连续性原理 高斯通量定理
无外源的线性各向同性媒质中： J E
2017/3/27
20
而
则
又 E J E P T
2
H 1 2 H ( H ) (wm ) t t t 2 E 1 2 E ( E ) (we ) t t 2 t 2 ( E H ) ( w ) E t
3.3
坡印廷定理
1、静态场中电场、磁场的能量体密度： 1 1 2 w e D E E 在线性各向 2 2 同性媒质中 1 1 2 w m B H H
2 2
2、时变电磁场的能量体密度：
1 2 1 2 w w e w m E H 2 2
2017/3/27 5
2、位移电流：
而电流连续性方程为 J t 0
电位移矢量
D
D 定义： J d t
2017/3/27
( D) J 0 t D 即 (J ) 0 t
位移电流密度
Βιβλιοθήκη Baidu
当
f1 1MHz 时，
J dm 0 r Em 0 r J cm Em
J dm 0 r 3 1.12510 J cm
当 f 2 1GHz 时，
J dm 0 r 1.125 J cm
2017/3/27
比较运算结果发 现：当频率越高 时，位移电流越 大，即变化的电 场产生的磁场也 越大。这就是为 什么，时变电磁 场在实际应用中 往往使用较高 频率的缘故。
1、数学表示式:
d d i B dS dt dt S
物理意义:通过任意闭合导线回路的磁通发生变化, 回路中就会产生感应电流。感应电流的产生可以 认为是产生了感应电动势 i ,其大小等于回路 中磁通对时间的变化率,方向为感应电流的磁通总 是阻止与回路相交链的原来的磁通的变化.
1、全电流：含传导电流、运流电流、位移电流。其 中传导电流、运流电流称真实电流。 2、全电流定律： 对任意曲面S 积分
D ( H) dS J dS dS S S S t 由斯托克斯定理：则
D CH dl SJ dS S t dS
上面两个方程组适用于所有媒质，包括各向同性 及各向异性媒质。但对于不同的媒质，其本构关系是不同的。
本构关系即 D与 E 、 B与 H 及 J与 E之间的关系。
13
2017/3/27
若媒质是线性、各向同性的，有
D E B H J E
H 对 E 两边取旋度，有 t E H t
6.5
则：
E 2 E 2 0 t
en (H1 H2 ) J s 或
H 切向分量的边界条件 E 切向分量的边界条件
H1t H 2t J s （3.20）
•
•
en (B1 B2 ) 0 或 B1n B2n （3.22） • D 法向分量的边界条件 en (D1 D2 ) s 或 D1n D2n s （3.23）
2017/3/27
任意
3
３、法拉第电磁感应定律：
B i C Ei dl S t dS
B E t
(积分形式）
据斯托克斯定理 : 则
B 0 t
（微分形式）
(3.5)
当
时,则 E 0
说明:恒定磁场是独立的,若其中存在电场,也必是 库仑场或恒定电场,为无旋场。
P 热的功率 T 为单位体积中变为焦耳
将上式对任意体积τ积分，并利用高斯散度定理，则有
d S ( E H ) dS dt wd PT d
2017/3/27
坡印廷定理
21
d S ( E H ) dS dt wd PT d
2017/3/27 22
3.4
波动方程
E H J t H E t H 0 E
限定形式的麦克斯韦方程组
全电流定律
法拉第电磁感应定律 磁通连续性原理
高斯通量定理
2017/3/27
23
考虑无源区域的情形： 0, 0, J 0
解： 位移电流密度为： 其幅值为： J dm 其幅值为：
2017/3/27
D JD t
D 0 r E
0 r Em 传导电流密度为： J c E Em cost
0 r Em sin t
J cm Em
9
则位移电流与传导电流幅值之比为：
1 0 2
D2 0
B E 0 t
2017/3/27
B2 0
不考虑对时间 为恒定的分量
H2 0
16
则边界条件可改写为 :
en E1 0
15
上式说明:对于时变场中的理想导体,电场 总是与导体表面垂直,磁场总是与导体表面相 切（电磁场相互垂直）。在导体内部,电场、 磁场均为零。若理想导体表面有自由电荷及 面电流时，面电流的方向与磁场方向垂直。
D H J t
上式说明：变化的电场也能产生磁场。
2017/3/27 8
例：海水的电导率 4 s m ，相对介电常数 r 81， 若设海水中的电场是按余弦变化的， E Em cost 求当 f1 1MHz 和 f 2 1GHz 时，位移电流同 传导电流幅值的比值。
单位时间里， 体积内时变电磁场储 能的增加与转换为焦耳热损耗掉的功率， 等于从 体积的表面 S 流进来的功率。
４、坡印亭矢量 S ：（能流密度矢量） 定义： 坡印亭定理的物理意义：
S EH
电磁场的 传播方向
其大小等于单位时间内穿过与波的传播方向相垂 直的单位面积上的能量,故 S 也叫能流密度矢量.
则分界面的边界条件为：
n (E E ) 0 或 E E 1 2 1 t 2t n (B1 B2 ) 0或B1n B2n n (D1 D2 ) 0或D1n D2n
2017/3/27 18
n (H H ) 0 或 H H 1 2 1 t 2t
2017/3/27 2
2、感应电场 Ei ：
环路积分为感应电动势
i
.
d d i Ei dl B dS C dt dt S
上式说明:感应电场的环路线积分值不恒为
零.即感应电场为有旋场。
感应电场是由于磁场随时间改变而产生的。
推论:闭合回路不是导体回路行不行呢？ 的闭合回路那又行不行呢？
6
3、安培环路定律的修正：
（ J Jd ) 0
于是安培环路定律被修正为:
D H J Jd J t
H J
D H J t
安培环路定律的微分形式
2017/3/27
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全电流定律（时变场的安培定律）：
10
某种媒质中传导电流与位移电流的比 值的大小是衡量该媒质导电性的分界线。 当该值远远大于１时，媒质为良导体，远 远小于１时为良介质。由于该比值与频率 成反比，则媒质是良导体还是良介质不是 绝对的。在低频下为良导体的媒质在高频 时可能为良介质。
J cm J dm
2017/3/27
?
1
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3.1.3 麦克斯韦方程 一、麦克斯韦方程组
2017/3/27 17
en H J 1 s en D1 s en B1 0
6.(53) 4.4(6)
1 2
介质 导体
3.2.3 两理想介质分界面上的边界条件： 理想介质：绝缘介质，其 0 ，且分界面上一般 不存在面电流 J s 0 及面电荷 s 0
6.4
麦克斯韦将电场与磁场的环量及通量方程，推 广至时变电磁场中，就成为其方程组。
有旋 有旋
无散 有散
D 1、微分形式： H J t B E t B 0 D
34
时变电场有散有旋，即电力线可以是闭合的（有旋）， 也可以是不闭合的（有散）；时变磁场则是有旋无散的，故 磁力线永远是闭合的。
2017/3/27
或 E1t E2t 0 （3.21） en (E1 E2 ) 0 4.4(11) B 法向分量的边界条件
4.4(9)
15
3.2.2 完纯（理想）导体表面上的边界条件：
媒质“1”为理想介质 1 0 媒质“2”为理想导体 2 有限 在理想导体中: J 2 2 E2 E2 0
2017/3/27 19
3、坡印亭定理：
利用恒等式： ( E H ) H ( E) E ( H ) B B H H E t D t E
D E H J J t t 将其代入恒等式：有 H E (E H ) H E J E t t
第三章
时变电磁场
时变电磁场:随时间变化的电场与磁场。
时变电磁场的特点：
电场和磁场不再独立,而是互相依存、互相转 化。即变化的磁场会产生电场；变化的电场也 能产生磁场。电场和磁场不可分割地成为统一 的电磁现象。 时变电磁场的核心理论是麦克斯韦方程组。
2017/3/27
1
3.1 麦克斯韦方程组 3.1.1 法拉第电磁感应定律 一、法拉第电磁感应定律(实验):
麦克斯韦方程组变为
H E t H t
E H 0 E 0
2017/3/27
24
2 利用矢量恒等式： E ( E) E
以及
E H t E 0
上式说明:变化的磁场能产生电场,且电场不
再是无旋场.那么变化的电场产生磁场吗？
2017/3/27
4
3.1.２ 位移电流 1、安培环路定律：
H J
电流连续性方程
对上式两边取散度,则:
左边
H 0
右边
时变情况下, t
0
J t
缺陷
等式两边取散度后,时变情况,左边不等于右边.
（3.19）
式（3.19）称为媒质的本构关系。
、、
是常数。
各向异性媒质，则
如
2017/3/27
11 12 13 21 22 23 31 32 33
、、
是张量（矩阵）。
14
3.2 •
边界条件
17 13
3.2.1 边界条件的一般形式
2017/3/27 12
2、积分形式：
D CH dl SJ dS S t dS B CE dl S t dS SB dS 0 D dS q
S
15
全电流定律
法拉第电磁感应定律 磁通连续性原理 高斯通量定理
无外源的线性各向同性媒质中： J E
2017/3/27
20
而
则
又 E J E P T
2
H 1 2 H ( H ) (wm ) t t t 2 E 1 2 E ( E ) (we ) t t 2 t 2 ( E H ) ( w ) E t
3.3
坡印廷定理
1、静态场中电场、磁场的能量体密度： 1 1 2 w e D E E 在线性各向 2 2 同性媒质中 1 1 2 w m B H H
2 2
2、时变电磁场的能量体密度：
1 2 1 2 w w e w m E H 2 2
2017/3/27 5
2、位移电流：
而电流连续性方程为 J t 0
电位移矢量
D
D 定义： J d t
2017/3/27
( D) J 0 t D 即 (J ) 0 t
位移电流密度
Βιβλιοθήκη Baidu
当
f1 1MHz 时，
J dm 0 r Em 0 r J cm Em
J dm 0 r 3 1.12510 J cm
当 f 2 1GHz 时，
J dm 0 r 1.125 J cm
2017/3/27
比较运算结果发 现：当频率越高 时，位移电流越 大，即变化的电 场产生的磁场也 越大。这就是为 什么，时变电磁 场在实际应用中 往往使用较高 频率的缘故。
1、数学表示式:
d d i B dS dt dt S
物理意义:通过任意闭合导线回路的磁通发生变化, 回路中就会产生感应电流。感应电流的产生可以 认为是产生了感应电动势 i ,其大小等于回路 中磁通对时间的变化率,方向为感应电流的磁通总 是阻止与回路相交链的原来的磁通的变化.
1、全电流：含传导电流、运流电流、位移电流。其 中传导电流、运流电流称真实电流。 2、全电流定律： 对任意曲面S 积分
D ( H) dS J dS dS S S S t 由斯托克斯定理：则
D CH dl SJ dS S t dS
上面两个方程组适用于所有媒质，包括各向同性 及各向异性媒质。但对于不同的媒质，其本构关系是不同的。
本构关系即 D与 E 、 B与 H 及 J与 E之间的关系。
13
2017/3/27
若媒质是线性、各向同性的，有
D E B H J E