飞行力学第九章

计算公式
a1 = Zα ( X V + M q + M α )
a2 = ZV ( Xα + g) XV ( Zα Mq Mα ) Mα Mq Zα
a3 = XV ( Z α M q + Mα ) gZV ( M q + Mα ) X α ( ZV M q + MV )
a4 = g( Zα MV ZV Mα )
λ
展开可得特征方程: Δ(λ ) = λ4 + a1λ3 + a2λ2 + a3λ + a4 = 0 式中： a1 = Zα ( X V + M q + M α )
a2 = ZV ( Xα + g) XV ( Zα Mq Mα ) Mα Mq Zα
a3 = XV ( Z α M q + Mα ) gZV ( M q + Mα ) X α ( ZV M q + MV )
即 λ = a —特征方程及特征值
通解取决于 λ + a = 0 通解
x ( t ) = Ce
λt
故 x ( t ) = x (0)e λ t
取决于初值，
无论初值 如何，
C = x (0) (1) 当 λ < 0
(2) 当 λ = 0 (3) 当 λ > 0
x(∞ ) = 0 x ( t ) = x (0) x (∞ ) → ∞
T
ΔV Δα = Δq MV Δθ
XV ZV M α ZV 0
Xα + g Zα M α M α Zα 0
0 1 M q + Mα 1
g ΔV 0 Δα 0 Δq 0 Δθ
x = Ax
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特征行列式
λ XV
( X α + g ) 0 g ZV λ + Zα 1 0 Δ (λ ) = =0 ( MV Mα ZV ) ( Mα Mα Zα ) λ ( M q + Mα ) 0 0 0 1
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分析步骤
飞 机 原 始 特 性 数 据
等 效 气 动 导 数 计 算
特 征 方 程 系 数 计 算
特 征 根 计 算
小 扰 动 运 动 解 析 计 算
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1. 飞机原始特性数据
初始状态参数 Ma* = 0.158 构造参数 W = 12224(N)
H =0 ρ = 1.225(kg/m 3 ) c = 340(m/s)
+ Ai2 e η 2 t sin(ω 2 t + φ i2 ) +
其中 λ1
η 1 ± iω 1
λ r为r个实根；
η s ± iω s 为s对复根；
A 系数 C ij 、 ik 及 φ ik 与初始条件有关
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(2) 典型模态
典型模态：每个实特征根或每对复特征根代表一种简单运动， 称为典型模态。飞机总运动由各典型模态迭加。 不同类型特征根对应的模态运动： 实型特征根
计算结果
a1 = 5.0753 a3 = 0.6770
a2 = 13.3126 a4 = 0.59816
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5. Routh-Hurwitz稳定性判别
判据
1) a1, a2 , a3 , a4 > 0
2 2 2) R = a1a2a3 a1 a4 a3 > 0
计算结果
a1 , a2 , a3 , a4 > 0 R = 29.88 > 0
在操纵作用下，研究飞机从一个飞行状态改变到另一 个飞行状态的动态特性。
研究方法
以动力学方程为基础，通常简化为小扰动线化方程。
x = f ( x , u, t )
x = Ax + Bu
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定常线性常微分系统分析方法
一元线性自由系统——齐次微分方程
形式
dx + ax = 0 dt
或记为 x + ax = 0
主要呈现短周期模态特点 主要呈现长周期模态特点
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9-3 实例分析——扰动运动特性
成因 受扰后，外力、外力矩平衡均破坏，由于飞 机转动容易、平动难，初始时刻角加速度大于线 加速度。 举例
T
d Δα + ZV ΔV + Zα Δα Δq = 0 dt d Δq ( MV M α ZV )ΔV ( M α M α Zα )Δα ( M q + M α )Δq = 0 dt d Δθ (Δγ = Δθ Δα )
dt
Δq = 0
= ( Δ x1 d ΔV X V Δ V ( X α + g )Δ α + g Δ θ = 0 dt
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2. 等效气动导数计算
等效气动导数计算结果
Dα qsC Dα 1 (qsC D ) Xα = = = m m α m 1 Zα == qsC Lα mV*
m s2
1s
Mα 1 Mα = = qscC mα Iy Iy
1 s2
…………………………
3. 系统矩阵
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4. 特征方程系数计算
结论：x随时间的变化过程取决于特征根，且x的终值取 决于特征值的符号。
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多元线性自由系统——齐次微分方程组
(1) 形式
x1 + a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn = 0 x2 + a21 x1 + a22 x2 + + a2 n xn = 0 xn + an1 x1 + an 2 x2 + + ann xn = 0
2 2 2) R = a1a2a3 a1 a4 a3 > 0
Routh-Hurwitz判据 当a4=0，一实根临界； 当R=0，一对复根临界。
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9-3 实例分析——扰动运动特性 学习内容
典型模态特性 纵向小扰动运动 稳定特性 物理成因
实例分析（P294例题）
对于常规布局飞机，其模特特性呈现一定的规律。
xi ( t1 2 ) xi (0) λ
λj
j
=e
λ j t1 2
=ห้องสมุดไป่ตู้ 2
λj
t1 2
=
ln 2
总之，实根 λ j 或共轭复根 η k ± iω k对应的半衰时／倍幅时为
t1/ 2或t 2 = 0.693
λj
=
0.693
λj
λj
或
0.693
ηk
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(2) 周期T或频率N T：振动一次所需时间 N：单位时间振动次数
y=e
λjt
t
0
t
0
t
0
λ j < 0 单调衰减
λ j > 0 单调发散
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λ j = 0 等值
复型特征根 η k ± iω k
y = eη k t sin(ω k t ± φ )
0
t
0
t
0
t
η k < 0 阻尼振荡
η k > 0 发散振荡
η k = 0 等幅振荡
结 1. 初始状态非零时， 当且仅当所有 λ j或 η k ± iω k具有负实部时，xi ( ∞ ) → 0 论 若某一特征值具有正实部时, xi ( ∞ ) → ∞
S = 17.1(m 2 ) I y = 4067.5(kg m 2 )
C D* = 0.05 C Lq = 3.8 C mα = 4.36 C mq = 9.96
c = 1.74(m)
气动参数
C L* = 0.41 C La = 4.44(1/rad) C Dα = 0.33(1/rad) C mα = 0.683(1/rad)
幅值和相位的大小与初始条件和特征向量有关。
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运 动 现 象
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运 动 现 象
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9-3 实例分析——扰动运动特性
典型模态及其物理成因
典型模态 短周期模态 纵向小扰动运动 长周期模态 -- 速度、航迹爬 升角 -- 迎角、角速度
转动参数：α，q 平动参数：V，γ
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8. 运动参数解析计算
所有纵向运动参数的解析解由两个模态的运动 迭加而成：
xi ( t ) = A1i e sin(ω1 t + φ1i ) + A2 i e
其中
η1 t
η2 t
sin(ω 2 t + φ2 i )
Δq Δθ )
x i = ( x1
x2
x3
x4 ) = ( Δ V
Δα
t1 2 = 0.275 s T = 2.42 s N 1 2 = 0.11次
短周期模态
特点：周期短，频率高，阻尼大(衰减快)的振荡运动 模态2： λ3,4 = η 2 ± ω 2 i = 0.017 ± 0.213i
t 1 2 = 40.31 s
T = 29.5 s
N 1 2 = 1.37次
长周期模态 特点：周期长，频率低，阻尼小(衰减慢)的振荡运动
2. 每一模态对各个状态参数 xi 的影响体现在其幅值和相位； 这与特征值对应的特征向量有关。
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模态参数
(1) 半衰期或倍幅时 ( t1 2或t 2 ) t1 2 : 阻尼振荡振幅包线或单调衰减运动幅度减至初始一半 所需时间。
t 2 : 发散振荡振幅包线或单调发散运动幅度增至初始二倍
所需时间。 若 λ = λ j 为负实根：
a1n a2 n =0
通解取决于特征行列式 λ + a11 a12 a21 λ + a22
a n1 an 2
λ + ann
展开后为关于λ的n次实系数代数方程，存在n个根。
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无重根时的通解形式：
x i ( t ) = C i1 e λ1 t + C i2 e λ 2 t + + C ir e λ r t + Ai1 e η1 t sin(ω 1 t + φ i1 ) + Ai s e η s t sin(ω s t + φ i s )
Mα =
Mα 1 = qscC mα Iy Iy
1 s2
引入符号
Mα 1 c2 Mα = = qsC mα Iy I y V*
1s
Mq =
Mq Iy
1 c2 = qsC mq I y V*
1s
上述符号俗称“大导数”
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方程重新整理得
Δx = ( ΔV
Δα Δx2
Δq Δx3
Δθ ) Δ x4 )
纵向运动具有动稳定性。
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6. 特征根计算
计算结果
λ1,2 = 2.520 ± 2.597i
λ3,4 = 0.017 ± 0.213i
分析 一对模值较大的共轭复根；一对模值较小的共轭复根。
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7. 模态特性分析
模态1： λ1,2 = η1 ± ω1 i = 2.52 ± 2.597 i
第九章
纵向动稳定性和动操纵性
内容
引言 纵向扰动运动方程和特征方程 稳定性判别准则 实例分析—扰动运动特性 短周期扰动运动的简化分析 飞机的纵向操纵反应 飞机纵向自动器 纵向动态飞行品质要求 小结
9-0 概述 动稳定性
引言
研究飞机受到扰动后，最终能否恢复到原来的飞行状 态，及恢复过程的动态特性。
动操纵性
1s
m s2
1s
ZV
LV C L 1 (qsC L ) qs (2C L + Ma ) = = = 2 mV* mV* V mV* Ma
1m 1 ms
MV C m 1 q* sc C m 1 q* sc MV = = (2C m + Ma ) = ( ) Iy I y V* Ma I y a Ma
T=
N=
2π
1 T
ωk
反映振荡时阻尼 和频率间关系
(3) 半衰时或倍增时内振荡次数 ( N 1 2或N 2 )
ωk 0.693 ω k N1 2 = = ≈ 0.11 T 2π ηk ηk ωk t2 N 2 = ≈ 0.11 T ηk
t1 2
ωk N 1/ 2或N 2 = 0.11 ηk
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dt
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引入符号
TV DV C D qs 1 T 1 (qsC D ) 1 XV = = = TV (2C D + Ma ) m m V m V m mV* Ma Dα qsC Dα 1 (qsC D ) Xα = = = m m α m Lα 1 Zα = qsC Lα = mV* mV*
a4 = g( Zα MV ZV Mα )
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9-2 稳定性判别准则
对于四次特征方程，当且仅当下列行列式及其各阶主子式为 正时，飞机存在动稳定性（特征根具有负实部）：
a1 a3 0 0 1 a2 a4 0 0 a1 a3 0 0 1 a2 a4
1) a1, a2 , a3 , a4 > 0
9-1 纵向扰动运动方程和特征方程
基准运动为无侧滑、无滚转的定直平飞，并且 α * + ≈ 0 cos(α * + ) ≈ 1 即 sin(α * + ) ≈ 0 根据纵向小扰动方程，握杆时 ( Δδ e = 0)纵向扰动运动满足
d ΔV = (TV DV ) Δ V Dα Δ α W Δ θ m dt d Δθ d Δα ( Lα >> T* ) ) = LV ΔV + Lα Δα mV0 ( dt dt d Δq Iy = MV ΔV + M α Δα + M α Δα + M q Δ q dt d Δθ Δq = Δ γ = Δ θ Δα