4.3功函数和接触电势差 固体物理研究生课程讲义

A)
上式说明两块金属的接触电势差来源于两块金属的脱出功 不同，而脱出功表示真空能级和金属费米能级之差，所以接触 电势差来源于两块金属的费米能级不一样高。
理论推导上式。
设两块金属的温度都是T，当他们接触时，每秒内从金属A
和金属B的单位表面积所溢出的电子数分别为：
I Ａ＝
4πm h3
(kBT )2 e A
第三节 功函数和接触电势差
本节主要内容: 4.3.1 功函数 4.3.2 接触电势差
+ V+ A+ -V-B-
A +
+
++++
--- Ｂ -- -
接触电势差
接触电势:两块不同的金属A和Ｂ相接触，或用导 线连接起来，两块金属就会彼此带电产生不同的电势 VA和VB，这称为接触电势。
§4.3 功函数和接触电势差
此对vy，vz积分得：
j
e 2(
m h
) 3
e d v
mv
2 y
2 k BT
y
e
mv
2 z
2 k BT d v z
v e d v
(
EF
1 2
mv
2 x
)
kBT
( 2 E 0 / m )1 / 2 x
x
利用公式 e x2 dx π， 得 －
e dv mv2y 2kBT
当达到平衡时，
I
' A
I
' B
,
Ａ＋eVA B＋eVB ,
接触电势差：
VA
VB
1 e
( B
A)
kBT
I
B＝
4π h
m
3
(kBT )2 eB
kBT
若B> A，则VA>0, VB<0，两块金属中的电子分别具有附
加的静电势-eVA和-eVＢ，这时两块金属发射的电子数分别为：
IA
4πm h3
(kBT )2 e(A eVA
)
kBT
I B
4πm h3
( k BT )2 e ( B eVB )
kBT
(kBT )2 e
kBT
AT2e kBT
---里查孙－德西曼公式
4.3.2 接触电势差
+ V+ A+ -V-B-
A +
+
++++
--- Ｂ -- -
０ EF
A
B ０
EF
接触电势差
金属的能级和功函数
B A，VA VB
由图可得电势差和功函数的关系式：
eVB (eVA )B A
VA
VB
1 e
( B
间的电子状态数:
2( m )3 dv h
(2)单位体积 v ~ v dv 间的电子数
dn
2( m )3 h
1
e(
1 2
mv
2
E
F
)
kBT
dvxdv ydvz 1
(3)可到达金属表面的电子数
由于发射电子的能量
1 2
2
mv
必须满足：
1 2
mv2
EF
E0
EF
而>>kBT，
dn
2(
m
)3
e(EF
1 mv 2
j ev xdn
v为电子运动速度，dn 为单位体积中速度在 v ~ v dv
之间的电子数。
j ev x d n
dv 中电
子数
d k 中电
子状态数
可到达金属表 面的电子数
1 2
mv
2 x
E0
d v中电子
状态数
分布函 数f(E)
电流密 度
可到达金属表 面的电子数
k ~ k dk 间的状态数：
j
4 πem 2kBT h3
e EF
kBT
e v dv
mv
2 x
2 k BT
( 2 E0 m )1 2
xx
e v dv
mvx2 2kBT
(2E0 m)1 2
xx
1
2kBT
e
mv
2 x
2kBT
2 m
2 E0 m 1 2
kBT eE0 kBT m
j＝
4 π e百度文库 h3
( E0EF )
y
2kBT π m
e dv mvz2 2kBT
z
2kBT π m
j e 2( m )3 2kBTπ
hm
v e dv
(
EF
1 2
mv
2 x
)
kBT
( 2 E0 / m )1 / 2 x
x
4πem 2kBT h3
e EF
kBT
e v dv
mv
2 x
2 kBT
( 2 E0 m )1 2
xx
电子速度
v(k )
1
k
VC
2π3
E
dk
k m
VC
2π3
, E(k)
dkxdk ydk y
1 mv 2 2
kx
m
vx
ky
m
vy
kz
m
vz
v ~ v dv
间的状态数：
VC
2π3
m
3
dv
x
dv
ydv
y
v ~ v dv 间的电子状态数:
2VC
m 2π
3
dv
xdv
ydv
y
单位体积中在 v ~ v dv
S
j dI dq dS dtdS
v
vt
设金属中电子运动速度的平均值为 v 。单位体积内自由
电子数为n，电子电量为-e，可以证明电流密度：
j nev
选取横截面为S，长度为 vt 的小圆柱， S
t时间内通过S截面的电量为：
v
q ne v St
vt
电流密度 j nev
按照索末菲自由电子论如何求热电子发射电流密度呢？
2
)
h
kBT dv xdv ydv z
dn
2(
m
)3
(
e
EF
1 2
mv
2
)
h
kBTdvxdv ydvz
j ev x d n
e
2(
m h
)3
v
e(EF
x
1 mv 2
2
)
kBT dv xdv ydv z
设ox轴垂直金属表面，电子沿x方向离开金属，这就要求沿
x方向的动能
１ mv
2
2 x
必须大于E0，而vy，vz的数值是任意的，因
j AT 2e kBT ---里查孙－德西曼公式
根据实验数据作 ln( j / T 2 ) ~ 1 / T 图，则得到一条直线。由
此可确定金属的脱出功。
经典理论求电流密度。
电流密度：某点电流密度大小等于通过与该点场强方向垂 直的单位截面积的电流强度。
电流强度：等于单位时间内通过导体某一横截面的电量。
4.3.1 功函数
1.功函数
电子在深度为E0的势阱内， 要使费米面上的电子逃离金属，
至少使之获得=E0－ＥＦ的能 量，称为脱出功又称为功函
数。脱出功越小，电子脱离金
E0
ＥＦ
金属中电子的势阱和脱出功
属越容易。
2.里查孙－德西曼公式 热电子发射：电子从外界获得热能逸出金属的现象称为热 电子发射。 发射电流密度：