关于一元一次不等式和一元二次不等式恒成立问题的专题讲座

g(m)在m [2, 2] 上单调递增 只需 g(2) 2(x2 x 1) 6 0
1 x 2
故 x 的取值范围为(1, 2)
【探究提高】 类型2：利用二次函数的单调性
1、讨论形如 ax2 bx c 0的恒成立问题时必须对 a 0, a 0分类讨论，否则会漏解.
2、已知不等式恒成立求参数范围的问题，涉及函数、方程、不等式，综合性强，常利
a 1或a 3.
综上： 2 a 6
典型例题讲解
例题2.当a为何值时，不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1<0的解集为R?
解 ①当 a2－1＝0 时，a＝1 或－1. 若 a＝1，则原不等式为－1<0，恒成立． 若 a＝－1，则原不等式为 2x－1<0 即 x<12，不合题意，舍去． ②当 a2－1≠0 时，即 a≠±1 时，原不等式的解集为 R 的条件 是aΔ2＝－[1－<0a，－1]2＋4a2－1<0. 解得－35<a<1. 综上 a 的取值范围是－35，1.
∴g(x)max＝g(1)＝m－6<0，得 m<6， ∴m<0. 综上所述：m<67. 法二 当 x∈[1,3]时，f(x)<－m＋5 恒成立， 即当 x∈[1,3]时，m(x2－x＋1)－6<0 恒成立． ∵x2－x＋1＝x－122＋34>0， 又 m(x2－x＋1)－6<0，∴m<x2－6x＋1.
a 0 b2 4ac 0
试求a的取值范围.
解：由题意知： ①当a -2=0，即a =2时，不等式化为
1 ≥ 0，它恒成立，满足条件.
②当a -2≠0，即a ≠2时，原题等价于
a 2 0 (a 2)2 4(a 2) 0
即(aa22)(a 6) 0
即2a
2 a
6
所以2 a 6
典型例题讲解
【例3】 (2011·抚顺六校联考)设函数f(x)＝mx2－mx－1. (1)若对于一切实数x，f(x)<0恒成立，求m的取值范围． (2)对于x∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范围． [思路探索] 解答本题的关键是根据题目条件，构造恰当的 函数，将不等式问题转化为函数问题来处理． 解 (1)要使 mx2－mx－1<0 恒成立，若 m＝0，显然－1<0. 若 m≠0，mΔ＝<0m，2＋4m<0 ⇒－4<m<0.
解：令f(x)＝ x2 2ax a2 2a 2 则f(x)>0在x∈[-1,1]上恒成立，等
价于： 4a2 4(a2 2a 2) 0
或
a
f
1 (1)
a2
4a
3
0
或
a
f
1 (1)
a2
3
0
或
1 a 1
f
(a)
2a
2
0
解得：a 1或a 3或a 1或 1 a 1.
用以下结论会起到事倍功半的效果.
① ax2 bx c 0恒成立
a
0 0
或
a b 0 c 0
ax2 bx c 0
恒成立
a 0 0
或
a b 0 c 0
② f (x) ax2 bx c 0(a 0) 在区间 [m, n]上恒成立， b2 4ac 0
或
b m 2a
∴－4<m≤0.
(2)法一 要使 f(x)<－m＋5 在 x∈[1,3]上恒成立． 就要使 mx－122＋43m－6<0 在 x∈[1,3]上恒成立． 令 g(x)＝mx－212＋43m－6，x∈[1,3]． 当 m>0 时，g(x)是增函数， ∴g(x)max＝g(3)⇒7m－6<0， ∴0<m<67； 当 m＝0 时，－6<0 恒成立； 当 m<0 时，g(x)是减函数，
关于一元一次不等式和一元二次不等式 恒成立问题的专题讲座
湖南省衡阳市衡南县衡云中学高中部 高中数学教师欧阳文丰教师
确定不等式恒成立的参数的取值范围， 是中学数学教学的难点，也是高考的热 点。解答这类问题主要有四种方法：
其一，利用一次函数的单调性；
其二，利用二次函数的单调性；
其三，分离参数，转化为求函数的最值；
(a-2)x2 + (a-2)x +1 ≥ 0恒成立，
a 0 b2 4ac 0 （2）二次不等式a x2 +bx +c < 0恒成立
a 0 b2 4ac 0 （3）二次不等式a x2 +bx +c ≥ 0恒成立
a 0 b2 4ac 0 （4）二次不等式a x2 +bx +c ≤ 0恒成立
Baidu Nhomakorabea
a 0
f
(
x)
min
0或af
0 (x) min
0
即
a
f
0 (m)
0或af
0 (n)
0
类型1：利用一次函数的单调性
设一次函数f(x)=ax+b (a≠0),当a > 0时f(x)在R上是增 函数;当a < 0时f(x)在R上是减函数.所以关于不等式 恒成立问题,若能将不等式化为关于主元(或参数)的 一次函数,则可用一次函数的单调性求解.
当0
a
1
1时, a 3
b
1;
a
当a
1时,
1
b
1
a3.
a
【变式训练】
练习2. 设函数 f (x) mx 2 mx 1
若 m [2,2] ，对于 f (x) m 5 恒成立，求 x 的取值范围。
解：将 f (x) m 5 变换成关于 m的不等式 m(x2 x 1) 6 0
则命题等价于m [2, 2] 时，g(m) m(x2 x 1) 6 0 x2 x 1 0
其四，利用数形结合法。
类型1：利用一次函数的单调性
设一次函数f(x)=ax+b (a≠0),当a > 0时f(x)在R上是增 函数;当a < 0时f(x)在R上是减函数.所以关于不等式 恒成立问题,若能将不等式化为关于主元(或参数)的 一次函数,则可用一次函数的单调性求解.
x [m, n]时, f (x) 0恒成立
∵函数 y＝x2－6x＋1＝x－1262＋43在[1,3]上的最小值为67， ∴只需 m<67即可．
【例4】
当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立．则m的取值范 围是________． [思路分析] 记f(x)＝x2＋mx＋4，x∈[1,2]，只要f(x)max≤0即 可，问题转化为求二次函数f(x)＝x2＋mx＋4，x∈[1,2]的 最值问题． 解析 构造函数f(x)＝x2＋mx＋4，x∈[1,2]，则f(x)在[1,2] 上的最大值为f(1)或f(2)． 由于当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立．
f1≤0 1＋m＋4≤0
m≤－5
则有
⇔
⇔
⇔m≤－5.
f2≤0 4＋2m＋4≤0 m≤－4
【例5】
若不等式x2 2ax a2 2a 2 0
在 1 x 1上恒成立，求实数a的取值范围。
[思路分析] 记f(x)＝ x2 2ax a2 2a 2 ， x∈[-1,1]，只要
f(x)min>0即可，问题转化为求二次函数f(x)＝ x2 2ax a2 2a 2 ，x∈[-1,1]的最值问题．属于轴动区间定问题，采用分类讨论。
或
f (m) 0
b n 2a f (n) 0
m x n
或
f
(
b 2a
)
0
③
f
(x)
ax2
bx
c
0(a
0)
在区间
[m,
n]
上恒成立，
f f
(m) 0 (n) 0
类型2：利用二次函数的单调性
知识概要
（1）二次不等式a x2 +bx +c > 0恒成立
例题1：已知关于x的不等式：
x2 px 1 2x p恒成立,求实数x 的取值范围.
{x x 3或x 1}
变式练习：
练习1.已知
p (log2 x 1)(loga b)2 6 log2 x loga b log2 x 1 (其中a为正常数).若当x在区间[1, 2]内任意取值时,
p的值恒为正, 求b的取值范围.
或x [m, n]时, f (x) 0恒成立
f (m) 0
f
(n)
0
x [m, n]时, f (x) 0恒成立
f (m) 0
f
(n)
0
类型1：利用一次函数的单调性
x [m, n]时, f (x) A恒成立
a 0
f
(x) min
A或af
0 (x) min
A
即
a
f
0 (m)
A或af
0 (n)
A
f (m) A
f
(n)
A
典型例题讲解
例1.对于任意的 m 2,函数
f (x) mx2 2x 1 m恒负,则x的 取值范围是 _______________ .
1 7 x 1 3
2
2
换个角度看问题,换个方面去解释,换个方向去思考.
例2.已知p [1 , 4]时,不等式 4