博弈论讲义352045

案例2 公共地的悲剧
当草地上羊很少时，增加一只羊也许不会对其
他羊的价值有太大影响，但随着羊的不断增加，
每只羊的价值将急剧下降。
v
v G
0,
2v G 2
0
参与人：农民 战略： 养羊的数量 支付： 利润
Gmax
G
案例2 公共地的悲剧
假设一只羊的价格为c，对于农民i来讲，其利
润函数为：
i (g1,, gi ,, gn ) giv( g j ) gic i 1,, n
g
* i
gi (g1,,
gi1,
gi1 ,
gn ), i
1,, n
因为： 所以：
2 i
gi2
v' (G) v' (G) giv'' (G) 0
2 i
g jgi
v' (G) giv'' (G)
0
2 i
gi g j
g jgi
2 i
0
g
2 i
案例2 公共地的悲剧
第i个农民的最优饲养量随其他农民的饲养量增 加而递减。n个反应函数的交叉点就是纳什均 衡。
纳什均衡应用举例
如果给你两个师的兵力，由你来当“司令”， 任务是攻克“敌人”占据的一座城市，规定双 方的兵力只能整师调动。通往城市的道路只有 甲乙两条，当你发起攻击的时候，你的兵力超 过敌人，你就获胜，你的兵力比敌人的守备兵 力少或者相等，你就失败，那么你将怎样部署 你的攻城方案？
P a (q1 q2 )
最优化的一阶条件是：
1
q1
a
(q1
q2 )
q1
c
0
2
q2
a (q1
q2 ) q2
c
0
q1*
R1(q2 )
1 2
(a
q2
c)
q2*
R2 (q1)
1 2
(a
q1
c)
解反应函数得纳什均衡为：
q1*
q2*
1 3
(a
c)
垄断利润为：
1(q1*,
q2* )
2
(q1*,
五、纳什均衡应用举例
诺贝尔经济学奖获得者 萨缪尔森有一句话：你 可以将一只鹦鹉训练成 一个经济学家，因为它 只需要学习两个词：供 给和需求。
博弈论专家坎多瑞引申 说：要成为现代经济学 家，这只鹦鹉必须再多 学一个词，就是“纳什 均衡”。
纳什均衡应用举例
案例1 库诺特（Cournot）寡头竞争模型 案例2 公共地的悲剧 案例3 普林斯顿大学的一道习题
找出纳什均衡的方法是对每个企业的利润函数求 一阶导数，使其为0。
1
q1
P(q1
q2 )
q1P' (q1
q2 )
C1' (q1)
0
2
q2
P(q1
q2 ) q2 P' (q1
q2 ) C2' (q2 )
0
q1* R1(q2 ) q2* R2 (q1)
案例1 库诺特（Cournot）寡头竞争模型
纳什均衡应用举例
案例1 库诺特（Cournot）寡头竞争模型 案例2 公共地的悲剧 案例3 普林斯顿大学的一道习题
案例2 公共地的悲剧
公共地的悲剧证明：如果一种资源没有排他性 的所有权，就会导致资源的过度使用。
✓ 公海捕鱼 ✓ 小煤窑的过度发展 ✓ ……
案例2 公共地的悲剧
有n个农民的村庄共同拥有一片草地，每个农民都有在
➢每个企业在选择自己 的最优产量时，只考虑 对本企业利润的影响， 而忽视了对另外一个企 业的外部负效应。
m 1 (a c)2 2 (a c)2
4
9
案例1 库诺特（Cournot）寡头竞争模型
练习：
假定有n个库诺特寡头企业，每个企业具有相 同的不变单位成本c，市场逆需求函数p=a-Q， 其中p是市场价格，Q j是qj 总供给量，a是大于0 的常数，企业的战略是选择产量qi最大化利 润 i qi (a ，Q 给c)定其他企业的产量q-i，，求库 诺特-纳什均衡，均衡产量和价格如何随n的变 化而变化？为什么？
i (q1, q2 ) qi P(q1 q2 ) Ci (qi ), i 1,2
案例1 库诺特（Cournot）寡头竞争模型
（q1*，q2*）是纳什均衡意味着：
q1* arg max1(q1, q2* ) q1P(q1 q2* ) C1(q1) q2* arg max 2 (q1*, q2 ) q2 P(q1*, q2 ) C2 (q2 )
q1* R1(q2 )
q1
q2* R2 (q1)
▪每个企业的最优产量是 另一个企业的产量的函
q1*
数。
▪交叉点即纳什均衡点
R1(q2 )
R2 (q1)
q
* 2
q2
案例1 库诺特（Cournot）寡头竞争模型
假定每个企业有不变的单位成本：
C1(q1) q1c C2 (q2 ) q2c
假定需求函数为：
草地上放牧的自由。每年春天，农民要决定自己养多 少只养。
gi：第i个农民饲养的数量，i=1,2,…,n.
n
G gi n个农民饲养的总量 i 1
V: 代表每只羊的平均价值,v是G的函数,v=v(G),
因为每只羊至少要一定数量的草才不至于饿死,有一个最 大的可存活量Gmax,：
当G<Gmax时,v(G)>0; 当G>=G(x)时,v(G)=0。
g*
( g1* ,,
g
* n
)
n
G* gi* i 1
尽管每个农民在决定自己增加饲养量时考虑了对现 有羊价值的影响，但是他考虑的只是对自己羊的影响， 而并不是对所有羊的影响，因此，最优点上的个人边际 成本小于社会边际成本，纳什均衡总饲养量大于社会最
优饲养量。
纳什均衡应用举例
案例1 库诺特（Cournot）寡头竞争模型 案例2 公共地的悲剧 案例3 普林斯顿大学的一道习题
案例1 库诺特（Cournot）寡头竞争模型
企业1
企业2
❖参与人：企业1、企业2 ❖战略： 选择产量 ❖支付： 利润，利润是两个企业产量的函数
案例百度文库 库诺特（Cournot）寡头竞争模型
企业1
企业2
qi ：第i个企业的产量 Ci（qi）代表成本函数 P=P（q1+q2）：价格是两个企业产量的函数 第i个企业的利润函数为：
q2* )
1 9
(a
c)2
案例1 库诺特（Cournot）寡头竞争模型
为什么说库诺特（Cournot）寡头竞争模型是 典型的囚徒困境问题？
垄断企业的问题：
Max Q(a Q c) Q
垄断企业的最优产量：
Q*
1 2
(a
c)
q1*
q2*
2 3
(a
c)
垄断利润为：
➢寡头竞争的总产量大 于垄断产量的原因是：
最优化的一阶条件为：
i
gi
v(G) giv' (G) c 0, i 1,, n
上述一阶条件可以解释为：增加一只羊有正负两 方面的效应，正的效应是这只羊本身的价值v，负的 效应是这只羊使所有之前的羊的价值降低。
案例2 公共地的悲剧
其最优解满足边际收益等于边际成本： 上述n个一阶条件定义了n个反应函数：