倒立摆设计分析报告 (2)

Matlab程序设计

上交作业要求：

1）电子文档：设计分析报告一份（包括系统建模、系统分析、系统设计思路、程序及其执行结果）。

2）Matlab程序：可执行程序一份（运行程序可显示、输出执行结果）

按班级统一上交。

题目一：

考虑如图所示的倒立摆系统。图中，倒立摆安装在一个小车上。这里仅考虑倒立摆在图面内运动的二维问题。倒立摆系统的参数包括：摆杆的质量（摆杆的质量在摆杆中心）、摆杆的长度、小车的质量、摆杆惯量等。

图倒立摆系统

设计一个控制系统，使得当给定任意初始条件(由干扰引起)时，最大超调量 %≤10%，调节时间ts ≤4s ，使摆返回至垂直位置，并使小车返回至参考位置(x=0)。

要求：1、建立倒立摆系统的数学模型

2、分析系统的性能指标——能控性、能观性、稳定性

3、设计状态反馈阵，使闭环极点能够达到期望的极点，这里所说的期望的极点确定是把系统设

计成具有两个主导极点，两个非主导极点，这样就可以用二阶系统的分析方法进行参数的确定

4、用MATLAB 进行程序设计，得到设计后系统的脉冲响应、阶跃响应，绘出相应状态变量的时

间响应图。

题目二：

根据自身的课题情况，任意选择一个被控对象，按照上题所示步骤进行分析和设计，并给出仿真程序及其执行结果。

假定倒立摆系统的参数如下：

摆杆的质量：m=0.1kg

摆杆的长度：2l=1m

小车的质量：M=1kg

重力加速度：g=10m/s2

摆杆惯量：I=0.003kgm2

摆杆的质量在摆杆的中心。

1.建立数学模型

在忽略了空气阻力和各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，依据经典力学的牛顿定律即可满足要求。如下图所示：

图1.1 一级倒立摆模型

其中：

θ：摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下）

小车的位移为x，作用在小车上的水平方向上的力为F

图1.2是系统中小车和摆杆的受力分析图。其中，N和P为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。

注意：在实际的倒立摆系统中检测和执行装置的正负方向已经完全确定，因而矢量方向定义如图所示，图示方向为矢量正方向。

图1.2 小车及摆杆受力分析

分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程：

Mẍ=F−bẋ−N1-1由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面的等式：

N=m d2

dt2

(x+lsinθ)1-2即：

N=mẍ+mlθc osθ−mlθ2sinθ1-3把这个等式带入式（1-1）中，就得到系统的第一个运动方程：

(M+m)ẍ+bẋ+mlθcosθ−mlθ2sinθ=F1-4为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可得到下面方程：

P−mg=m d2

dt

(lcosθ)1-5

P−mg=−mlθsinθ−mlθ2cosθ1-6力矩平衡方程如下：

−Plsinθ−Nlcosθ=Iθ1-7注意：此方程中力矩的方向，由于θ=π+φ，cosφ=−cosθ，sinφ=−sinθ，故等式前面有负号。

合并这两个方程，约去N和P，得到第二个运动方程：

(I+ml2)θ+mglsinθ=−mlẍc osθ1-8设θ=π+φ（φ是摆杆与垂直向上方向之间的夹角），假设φ与1（单位是弧度）相比很

小，即φ<<1，则可以进行近似处理：cosθ=−1，sinθ=−φ，(dθ

dt )

2

=0。

用μ来代表被控对象的输入力F，线性化后两个运动方程如下：

{(I+ml2)φ−mglφ=mIẍ

(M+m)ẍ+bẋ−mlφ=μ1-9

对式（1-9）进行拉普拉斯变换，得到

{

(I+ml2)Ф(s)s2−mglФ(s)=mIX(s)s2

(M+m)X(s)s2+bX(s)s−mlФ(s)s2=U(s)

1-10

注意：推导传递函数时假设初始条件为0。

由于输出为角度φ，求解方程组的第一个方程，可以得到：

X(s)=[(I+ml2)

ml −g

s2

]Ф(s)1-11

或

Ф(s) X(s)=

mls2

(I+ml2)s2−mgl

如果令v=ẍ，则有：

Ф(s) V(s)=

ml

(I+ml2)s2−mgl

把上式代入方程组的第二个方程，得到：

(M+m)[(I+ml2)

ml

−

g

s

]+b[

(I+ml2)

ml

−

g

s2

]Ф(s)s−mlФ(s)s2= U(s)

整理后，得到传递函数：

Ф(s) U(s)=

ml

q s

2

s4+

b(I+ml2)

q s3−

(M+m)mgl

q s2−

bmgl

q s

其中q=[(M+m)(I+ml2)−(ml)2]

设系统状态空间方程为：

X=AX+Bμ

y=CX+Dμ方程组对ẍ，φ解代数方程，得到解如下：

{

ẋ=ẋ

ẍ=

−(I+ml2)b

I(M+m)+Mml2

ẋ+

m2gl2

I(M+m)+Mml2φ+

(I+ml2)

I(M+m)+Mml2

μ

φ=φ

φ=

−mlb

I(M+m)+Mml2

ẋ+

mgl(M+m)

I(M+m)+Mml2φ+

ml

I(M+m)+Mml2

μ

整理后得到系统状态空间方程：

带入倒立摆系统的参数：

摆杆的质量：m=0.1kg