哈工大理论力学第五章 点的运动学

dt dt dt
代入
d d ds v n dt ds dt
则
a
dv
dt
v2
n
at
ann
at
dv dt
d2s dt 2
an
v2
1 (ds)2
dt
——切向加速度 ——法向加速度
aa2t a2n
曲线匀速运动
a t 0 , v v 0 常数 , s s 0 v 0 t
曲线匀变速运动 a t 常数 ,v v 0 a tt,s s 0 v 0 t 1 2 a tt2
v
l 2 a2 2al cos 2t
加速度
ax vx x l a 2 cost
ay vy y l a 2 sint a ax2 ay2 l a2 4 cos2 t (l a）2 4 sin2 t
2 l 2 a2 2al cos 2t
cos(a, i ) ax
例5-4
已知：列车沿半径为R=800m的圆弧轨道作匀加速 运动。如初速度为零，经过2min后，速度到达 54km/h。 求：列车起点和未点的加速度。
解： 列车作曲线加速运动，取弧坐标如上图。 由 a t 常数 ,v 0 0 有 v att
at v t1 1m 5 20 /s 0s.12m 52/s
故 v2 2.5m
an
例5-6
已知：半径为r的轮子沿直线轨道无滑动地滚动（称
为纯滚动），设轮子转角 为 常t值(），如图所示。
求用直角坐标和弧坐标表示的轮缘上任一点M的运动 方程，并求该点的速度、切向加速度及法向加速度。
点的三维变速曲线运动
§5-1 矢量法
运动方程 r r t
速度
dr v r
dt
单位 m/s
加速度
dv d 2 r
a
v r
dt dt 2
单位 m/s2
提问：如何确定速度和加速度的方向？
矢端曲线
速度 矢径矢端曲线切线
加速度 速度矢端曲线切线
§5-2 直角坐标法
运动方程
x x(t) y y(t) z z(t)
vy y (l a) cost v vx2 vy2 (l a)2 2 sin2 t (l a)2 2 cos2 t
l2 a2 2al cos 2t
cos(v, i ) vx
(l a) sin t
v
l 2 a2 2al cos 2t
cos(v, j ) vy
(l a) cost
求：① M 点的运动方程；
② 轨迹； ③ 速度； ④ 加速度。
解： 点M作曲线运动，取坐标系Oxy如图所示。 运动方程
x (OC CM )cos (l a)cost
y AM sin (l a)sin t
消去t, 得轨迹
(l
x2 a）2
(l
y2 a)2
1
速度
vx x l a sint
v v0
0
v ln
v0
kt,
v v0ekt
由
v
dx dt
v0ekt
得
x
dx
x0
t 0
v0e
kt
dt
x
x0
v0 k
1 ekt
外啮合齿轮
分析齿轮上一点的运动
§ 5-3 自然法
自然法：利用点的运动轨迹建立弧坐标和自然轴系，利用它们 描述和分析点的运动的方法。
1.弧坐标 s f (t)
f 1 频率 T
例5-3 已知：如图所示，当液压减振器工作时，它的活塞在套
筒内作直线往复运动。设活塞的加速度 a kv
（ v 为活塞的速度， 为k比例常数)，初速度为 。v 0
求：活塞的运动规律。
解： 活塞作直线运动，取坐标轴Ox如图所示
由 a dv kv dt
得
v dv
t
k dt
求：点A和B的运动方程及点B的速度和加速度。
解： A，B点都作直线运动，取Ox轴如图所示。
运动方程
xA b r sin b r sin(t )
xB r sin r sin(t )
B点的速度和加速度
vB xB r cost
aB xB r2 sin t 2xB
周期运动 x(t T ) x t
(l a) cost
a
l 2 a2 2al cos 2t
cos(a, j ) ay
(l a) sin t
a
l 2 a2 2al cos 2t
例5-2
已知：正弦机构如图所示。曲柄OM长为r，绕O轴匀速转动，
它与水平线间的夹角为 t ,其中 为t = 0时的夹角， 为
一常数。动杆上A，B两点间距离为b。
ax
dvx dt
d2x dt 2
ay
dvy dt
d2 y dt 2
az
dvz dt
d2z dt 2
例 5-1
已知：椭圆规的曲柄OC 可绕定轴O 转动，其端点C 与规尺 AB 的中点以铰链相连接，而规尺A，B 两端分别在相互垂
直的滑槽中运动， O A C B C l , M C a , C ωt
直角坐标与矢径坐标之间的关系
r (t) x t i y(t) j z(t)k
速度
dr dx dy dz
v
dt
i dt
dt
j k dt
vxi
vy j vzk
vx
dxHale Waihona Puke dtvydy dt
vz
dz dt
加速度
a dv dt
dvx dt
i
dvy dt
j dvz dt
k
axi
ay j azk
2.自然轴系
切向单位矢量 主法线单位矢量 n
副法线单位矢量 b n
曲线在P点的密切面形成
自然坐标轴的几何性质
?
因为
d d d d 1 ds d ds ds
方向同 n
所以 n d
ds
3.速度
v dr dr ds ds v
dt ds dt dt
4.加速度
a dv dv v d
① t 0, an 0 aat 0.12 m 52/s
② t 2min 120s
anv R 2(1 8m 5 02 0 / sm 0).28 m1 2/s a a 2 t a 2 n 0 .3m 02 8 /s
例5-5
已知点的运动方程为x=2sin 4t m，y=2cos 4t m，
z=4t m。求：点运动轨迹的曲率半径 。
解： 由点M的运动方程，得
vx x 8cos 4t, ax x 32sin 4t
vy y 8sin 4t, ay y 32cos4t
vz
z
4,
a z
z
0
从而 v vx2 vy2 vz2 80m s , a ax2 ay2 az2 32m s2
at d dv t 0,ana3m 2 2 /s