保险精算学(王晓军等)

a(t )
a 1 (t )
0
K------------------------------ A(t ) -----------------------------1
a 1 (t )
第N期利息
t
I (n) A(n) A(n 1)
I ( n)
利息度量一——计息时刻不同

期末计息——利率

本金在投资期末的积累值
二、利息问题求解原则

本质：任何一个有关利息问题的求解本质都是对 四要素知三求一的问题 工具：现金流图
p1
p2

现金流 p0
pn
时间坐标

0
t1
t2

tn

方法：建立现金流分析方程（求值方程） 原则：在任意时间参照点，求值方程等号两边现 时值相等。
例1.6：求本金

某人为了能在第7年末得到1万元款项，他 愿意在第一年末付出1千元，第3年末付出4 千元，第8年末付出X元，如果以6%的年利 率复利计息，问X=？
2
1
d ( 4) 4
1 1
1 d
d
例1.3
1、确定500元以季度转换8%年利率投资5年 的积累值。 2、如以6%年利，按半年为期预付及转换， 到第6年末支付1000元，求其现时值。 3、确定季度转换的名义利率，使其等于月度 转换6%名义贴现率。
例1.3答案
1、 2、
i (4) P 1 4
例1.8精确答案
i (12 ) 12%时， (1 1%)12 n 2 n i (12 ) 6%时， (1 0.5%)12 n 2 n i (12 ) 2%时， (1 0.17%)12 n 2 n ln 2 34.7 12 ln 1.0017 ln 2 11.6 12 ln 1.005 ln 2 5.8 12 ln 1.01
1
t
例1.5答案
1、e 1t dt
0 n
1
e
ln(1 t )
n 0
1 n
2、 (1 i1 ) 5 (1 i2 ) 5 (1 i3 )5 1000 10001.055 1.0455 1.045 1935 06 . d ( 4) 3、 1 1000 4
（1）某人现在投资4000元，3年后积累到 5700元，问季度计息的名义利率等于多少？ （2）某人现在投资3000元，2年后再投资 6000元，这两笔钱在4年末积累到15000元， 问实质利率=？
例1.7答案
（ （1） 4000 1 j )34 5700 j 3% i ( 4 ) 4 j 12%
i
( 4)
0.06 3 41 1 12 6.0605 %
利息效力

定义：瞬间时刻利率强度
t
A(t ) d ln A(t ) A(t ) dt a(t ) d ln a(t ) a(t ) dt limi ( m ) limd ( m )
3
i ( 4) 1 4
4
i
1 i
名义贴现率

名义贴现率 d (m) m d 1 1 d m
4
(m )
d ( 4) 1 4
d ( 4) 1 4
3
d ( 4) 1 4
例1.10：求积累值

某人现在投资1000元，第3年末再投资 2000元，第5年末再投资2000元。其中前4 年以半年度转换名义利率5%复利计息，后 三年以恒定利息力3%计息，问到第7年末 此人可获得多少积累值？
A(0) 1000, A(1) 1020, A(3) 1050 I1 A(1) A(0) 20 I 2 A(3) A(2) 30 i1 I1 20 2% A(0) 1000 I1 20 d1 1.96% A(1) 1020 I2 30 i2 2.94% A(1) 1020 I2 30 d2 2.86% A(2) 1050
例1.6答案

以第7年末为时间参照点，有
1.066 4 1.064 x 1.06 10 x 3.7435 千元

以第8年末为时间参照点，有
1.067 4 1.065 x 101.06 x 3.7435 千元

以其他时刻为时间参照点（同学们自己练 习）
例1.7：求利率

例1.2

某人存5000元进入银行，若银行分别以2% 的单利计息、复利计息、单贴现计息、复 贴现计息，问此人第5年末分别能得到多少 积累值？
例1.2答案
(1) 2%单利计息 A(5) 5 0 0 0 1 5 2%) 5 5 0 0 ( ( 2) 2%复利计息 A(5) 5 0 0 0 1 2%)5 5 5 2 0 ( (3) 2%单贴现计息 5000 A(5) 5556 1 5 2% ( 4) 2%复贴现计息 5000 A(5) 5531 （ 2% 5 1 ）
例1.9近似答案——rule of 72
原理： (1 i ) n 2 n ln(1 i ) ln 2 ln 2 ln 2 i ln 2 0.08 0.72 n i 0.08 ln(1 i ) i ln(1 i ) i ln 1.08 i 0.72 6 0.12 0.72 (2) i i ( 6 ) 12% n 12 0.06 0.72 (1) i i (12 ) 2% n 36 0.02 (1) i i (12 ) 12% n

参考资料

课程结构

基础
利息理论基础 生命表基础

核心

保费计算 责任准备金计算 多重损失模型 保单的现金价值与红利 特殊年金与保险 寿险定价与负债评估

拓展

第一章
利息理论基础
利息理论要点


利息的度量 利息问题求解的原则 年金 收益率 分期偿还表与偿债基金
第一节
m m
等价公式

一般公式
a(t ) e

0 s ds
t
恒定利息效力场合 ln(1 i) a(n) exp{n } ln v a1 (n) exp{n }
例1.4

确定1000元按如下利息效力投资10年的积 累值
1、 2、
5%

连续变化场合：函数利息力
a(t ) exp{ (s)ds}
0 t
(t )

离散变化场合： t
k 1
i1 ,, it (d1 ,, dt )
t k 1
a(t ) (1 ik ) (1 d k )1
例1.5
1、如果 1 t ，试确定1在n年末的积累值。 2、如果实质利率在头5年为5%，随之5年为4.5%， 最后5年为4%，试确定1000元在15年末的积累 值。 3、假定一笔资金头3年以半年度转换年利率6%计 息，随之2年以季度转换8%的年贴现率计息，若 5年后积累值为1000元，问这笔资金初始投资额 应该为多少？
实质利率与实质贴现率
初始值 利息 积累值
1
v
i d
1 i 1
1 v 1 d 1 i） （
名义利率

(m ) 名义利率 i (m) m i 1 1 i m
1 1
i ( 4) 1 4
i ( 4) 1 4
2
i ( 4) 1 4
（2）
3000 1 i ) 4 6000 1 i ) 2 15000 ( ( (1 i ) 2 1 6 (舍去负根) 由(1 i ) 2 1 6 i 20.4% （i 2.204舍去)
例1.8：求时间

) 假定 i (12 分别为12%、6%、2%，问在这 三种不同的利率场合复利计息，本金翻倍 分别需要几年？
4n
0.08 500 1 742.97 4
2n
20
d ( 2) A0 An 1 2
4
0.06 10001 693.84 2
12
12
i ( 4) d (12 ) 1 1 3、 4 12
一、利息的定义

定义：

利息产生在资金的所有者和使用者不统一的场 合，它的实质是资金的使用者付给资金所有者 的租金，用以补偿所有者在资金租借期内不能 支配该笔资金而蒙受的损失。 本金 利率 时期长度

影响利息大小的三要素：


二、利息的度量
积累函数
a(t )
金额函数 A(t )
贴现函数
1------------------------------
t 0.05(1 t )2
例1.4答案
1、1000 10 1000 100.05 1648 72 e e .
10
2、 1000 0 e
0.05(1t )
2
dt
1000 e
0.05 0 1 t 10
1046 50 .
三、变利息

什么是变利息？ 常见的变利息情况
利息的度量三——利息转换频率不同




实质利率：以一年为一个利息转换期，该利率记 为实质利率，记为 。 i 名义利率：在一年里有m个利息转换期，假如每 (m i为) 这一年的名义利 一期的利率为j，记 率，i ( m) mj 。 利息力：假如连续计息，那么在任意时刻t的瞬 间利率叫作利息力，记为 t。 实质贴现率和名义贴现率的定义与实质利率、名 义利率类似。

第N期实质利率
in I ( n) A( n 1)

期初计息——贴现率

第N期实质贴现率
dn I ( n) A( n)
例1.1 实质利率/贴现率

某人存1000元进入银行，第1年末存款余额 为1020元，第2年存款余额为1050元，求 i1、i2、d1、d 2 分别等于多少？
例1.1答案
保险精算学
中国人民大学统计学院 主讲教师： 王晓军 黄向阳 王 燕
教材

指定教材


Kellison,S.G.，Theory of Interest，2nd Edition,SOA，1991. Bowers,N.L，Actuarial Mathematics，2nd Edition，SOA，1997. 王晓军等，保险精算学，中国人民大学出版社， 1995。
利息度量二——积累方式不同

线形积累


指数积累

单利
a (t ) 1 it i in 1 ( n 1)i
复利
a (t ) (1 i ) t in i

单贴现
a
1

复贴现
a 1 (t ) (1 d ) t dn d
dn
(t ) 1 dt d 1 ( n 1) d
单复利计息之间的相关关系
单利的实质利率逐期递减，复利的实质利率保持恒 定。 单贴现的实质利率逐期递增，复贴现的实质利率保 持恒定。 t 1 时，相同单复利场合，单利计息比复利计息 产生更大的积累值。所以短期业务一般单利计息。 t 1 时，相同单复利场合，复利计息比单利计息 产生更大的积累值。所以长期业务一般复利计息。
42
i ( 2) 1 2
23
1000 0.98)8 (1.03) 6 712.5 (
第二节
利息问题求解原则
一、利息问题求解四要素


原始投资本金 投资时期长度 利率及来自息方式 期初/期末计息：利率/贴现率 积累方式：单利计息、复利计息 利息转换时期：实质利率、名义利率、利息效 力
利息的度量
第一节汉英名词对照




积累值 现实值 实质利率 单利 复利 名义利率 贴现率 利息效力




Accumulated value Present value Effective annual rate Simple interest Compound interest Nominal interest Discount rate Force of interest