最优潮流
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线性规划法（linear Programming, LP） 混合规划法 内点算法 人工智能方法
非线性规划法
有约束非线性规划方法的基本思想是利用拉 格朗日乘子法和罚函数法建立增广目标函 数，使有约束非线性规划问题转化为无约束 的非线性规划问题，然后利用不用的数学方 法优化求解。
第一个成功的最优潮流算法是Ｄｏｍｍｅｌ 和Ｔｉｎｎｅｒｙ于１９６８年提出的简化 梯度算法。
5 计算互补间隙Gap，如果 Gap < ε ，输出最优
解，停止计算，如果 Gap> 0 ，转步骤6；
6 计算扰动因子μ
7 求解修正方程，求出 Δx, Δy, Δl, Δu, Δz, Δw 8 计算 αp 和 αd
9 更新原始变量及拉格朗日乘子
10 判断k<Kmax, 如果是，返回步骤5，如果 否，输出“计算不收敛”，结束程序。
αp 和 α d 为步长：
αp
=
0.9995
⎧min
min⎨ ⎩
i
⎜⎜⎝⎛
− li Δli
, Δli
<
0;
− ui Δui
, Δui
<
0 ⎟⎟⎠⎞,1⎭⎬⎫
⎫ ⎪ ⎪⎬(i = 1,2,", r)
αd
=
0.9995
⎧min
min⎨ ⎩
i
⎜⎜⎝⎛
− zi Δzi
, Δzi
<
0; − wi Δwi
, Δwi
2.只将越界的不等式约束通过罚函数引入目标函 数，保留等式约束方程，再用拉格朗日乘子将等 式约束引入目标函数
3.迭代过程中某不等式约束越界，则将其固定在 限制值上，然后视为等式约束处理。再用乘子将 违限的约束引入到目标函数。
(4) 最优潮流问题特点
迭代算法及收敛性
¾ 最优潮流求解过程是一个迭代过程，因此，存 在迭代是否收敛问题
g(
x
)(
z
+
w)
Δx
+
∇ xh( x)Δy
+ ∇ x g( x)(Δz
+
Δw)
=
Lx
∇ xh( x)T Δx = −Ly
∇ x g( x)T Δx − Δl = −Lz
∇ x g( x)T Δx + Δu = −Lw
ZΔl + LΔz = −Lμl
WΔu + UΔw = −Lμu
写成矩阵形式为
⎡ H ∇ xh( x) ∇ x g( x) ∇ x g( x) 0
拉格朗日乘子。该问题极小值存在的必要条件是拉 格朗日函数对所有变量及乘子的偏导数为0：
Lx
=
∂L ∂x
≡ ∇x
f
( x) − ∇xh( x) y
− ∇x g( x)(z
+ w)
=
0
Ly
=
∂L ∂y
≡
h( x)
=
0
Lz
=
∂L ∂z
≡
g(x) − l
−
g
=
0
Lw
=
∂L ∂w
≡
g(x) +
u
−
g
=
0
Ll
优化问题的拉格朗日函数为
[ ] L = f ( x) − yTh(x) − zT g( x) − l − g
∑ ∑ − wT [g( x) − l − g]− μ r log(lr ) − μ r log(ur )
j =1
j =1
其中，y = [y1,", ym ], z = [z1,", zm ], w = [w1,", wm ] 均为
⎥ ⎥
⎢⎣ 0
0
0
U
0 W ⎥⎦⎢⎣ Δu ⎥⎦ ⎢⎣− Lx ⎥⎦
求解方程的得到第k次迭代的修正量，最优解的 一个新的近似为
x (k +1) = x (k ) + a p Δ x l (k +1) = l (k ) + a p Δ l u (k +1) = u (k ) + a p Δ u y (k +1) = y (k ) + a d Δ y z (k +1) = z (k ) + a d Δ z w (k +1) = w (k ) + a d Δ w
μ = lT z − uT w
2r
Gap = lT z − uT w
如果参数 μ 按上式取值时，算法的收敛性较
差，所以建议采用
μ = σ Gap
2r
σ ∈ (0,1) 为中心参数，一般取0.1，在大多数
场合可获得较好的收敛效果。
线性化的方程为
[ ] −
∇
2 x
f
(
x
)
−
∇
2 x
h(
x)
y
−
∇
2 x
u为控制变量， x为控制类变量的因变量，包括待求
的节点电压
不等式约束包括：
各发电机有功出力上下界约束 各发电机/同步补偿机无功出力上下界约束 并联电抗器/电容器容量约束 移相器抽头位置约束 各节点电压幅值上下界约束 各支路传输功率约束
处理约束的不同方法
1.把等式和不等式约束都用罚函数引入目标函数
u > 0, l > 0
（2）改造目标函数为障碍函数
r
r
obj. min. f ( x) − μ∑ log(lr ) − μ∑ log(ur )
j =1
j =1
s.t. h( x) = 0
g(x) + u = g
g(x) − l = g
其中μ>0为扰动因子（障碍常数）。
把含不等式约束的优化问题A转化为优化问题 B，可以用拉格朗日乘子法来求解。
⎢⎢∇
T x
h(
x
)
0
0
0
0
0 ⎤⎡ Δx ⎤ ⎡ Lx ⎤
0
⎥ ⎥
⎢ ⎢
Δy
⎥ ⎥
⎢ ⎢
−
Ly
⎥ ⎥
⎢∇ ⎢⎢∇
T x
T x
g( g(
x) x)
0 0
0 0
0 0
−I 0
0 I
⎥⎢ Δz ⎥
⎥ ⎥
⎢⎢Δw
⎥ ⎥
=
⎢− ⎢⎢−
Lz Lw
⎥ ⎥ ⎥
⎢0 ⎢
0
L
0
Z
0 ⎥⎢ Δl ⎥ ⎥⎢ ⎥
⎢− ⎢
Lx
最优Biblioteka Baidu流的经济目标
发电费用最小
NG
∑ c= ci(PGi) i=1
网损最小
N
∑ Ploss = (PGi − PDi ) + PGs − PDs i=1 i≠s
f ( x ) 目标函数是一个非线性函数 h ( x ) 为非线性等式约束条件 g ( x ) 为非线性不等式约束
g 和 g 为约束的上限和下限
（1）将不等式转化为等式约束
g(x) + u = g g(x) − l = g
其中松弛变量 l =[l1,",lr ]T ,u =[u1,",ur ]T
obj. min . f ( x) s.t. h( x) = 0 g(x) + u = g g(x) − l = g
最优潮流
最优潮流问题概述
(1) 最优潮流概念
最优潮流(optimal power flow, OPF)就是当系统 的结构参数及负荷情况给定时，通过控制变 量的优选，所找到的能满足所有指定的约束 条件，并使系统的某一个性能指标或目标函 数达到最优时的潮流分布。
(2)最优潮流与潮流计算的区别
¾ 基本潮流计算时控制变量是事先给定的。而最优潮流中 的控制变量则是可变而待优选的变量。
=
∂L ∂l
≡
z
−
μL−1e
⇒
Lμl
=
LZe
− μe
=
0
Lu
=
∂L ∂u
≡
−w
−
μU −1e
⇒
Lμu
=
UWe
+
μe
=
0
式中： L = diag (l1," , lr ), U = diag (u1," , ur ), L = diag ( z1," , zr ), W = diag (w1," , wr )
最优解的多值性和存在性
¾ 最优潮流问题是典型的非线性规划问题，从数 学观点看，应该有多组解
¾ 由于最优潮流考虑的约束（包括运行约束和安 全约束）比较多，在某些情况会出现无解的情 况
最优潮流的算法
非线性规划法（Non-Linear Programming, NLP)
二次规划法（Quadratic Programming, QP）
<
0 ⎟⎟⎠⎞,1⎭⎬⎫⎪⎪⎭
最优潮流内点算法的流程
1 设置松弛变量l, u,保证[l,u]T>0, 2 设置拉格朗日乘子z,w,y,满足z>0,w<0,y≠0. 3 设置优化问题各变量的初值。
4 取中心参数 σ ∈(0,1)，给定计算精
度ε = 10−6，迭代次数初始值k=0,最大迭代
次数Kmax=50.
牛顿法（利用了目标函数在搜索点的梯度， 还利用了目标函数的二届导数，考虑了梯度 变化的趋势，具有二阶收敛性，速度更快）
拟牛顿法
二次规划法（quadratic programming, QP）
仅适用于目标函数为二次形式，约束条件为 线性表达式的问题。
二次规划发的优点：比较精确可靠，但其计 算时间随变量和约束条件数目的增加 而急 剧延长，而且在求临界可行问题时会导致不 收敛。
线性规划法（Linear Programming, LP）
通常把整个问题分解为有功功率和无功功率 两个子优化问题，他们或者进行交替迭代求 解，或者分别求解。在求解方法上，大都采 用分段线性或逐次线性化逼近非线性规划问 题，然后利用线性规划方法求解。
混合规划法
针对OPF问题中有功优化子问题与无功优化 子问题呈现不同的特性而选择两种或几种方 法联合求解。
¾ 最优潮流计算除了满足潮流方程这一等式约束条件之 外，还必须满足与运行限制有关的大量不等式约束条 件。
¾ 进行基本潮流计算是求解非线性代数方程组；而最优潮 流计算由于其模型从数学上讲是一个非线性规划问题， 因此需要采用最优化方法来求解。
¾ 基本潮流计算所完成的仅仅是一种计算功能；而最优潮 流计算则能够根据特定目标函数并在满足相应约束条件 的情况下，自动优选控制变量，具有指导系统进行优化 调整的决策功能。
(3) 最优潮流问题的数学模型
⎧ min f (u, x) ⎪⎨s.t. g(u, x) = 0 ⎪⎩ h(u, x) ≤ 0
其中： f (u, x) 为目标函数，最常用的形式 （1）系统运行 成本最小； （2）有功传输损耗最小
g(u, x) = 0 为节点平衡方程式
h(u, x) ≤ 0为不等式约束条件
内点算法
最有发展潜力的是路径跟踪法，又称为跟踪 中心轨迹法。该方法收敛迅速，鲁棒性强， 对初值的选择不敏感。
人工智能方法
模拟进化规划方法 模糊集理论 模拟退火算法
跟踪中心轨迹内点法 潮流问题模型简化为一般非线性优化模型
obj. min . f ( x) s.t. h( x) = 0 g ≤ g(x) ≤ g
非线性规划法
有约束非线性规划方法的基本思想是利用拉 格朗日乘子法和罚函数法建立增广目标函 数，使有约束非线性规划问题转化为无约束 的非线性规划问题，然后利用不用的数学方 法优化求解。
第一个成功的最优潮流算法是Ｄｏｍｍｅｌ 和Ｔｉｎｎｅｒｙ于１９６８年提出的简化 梯度算法。
5 计算互补间隙Gap，如果 Gap < ε ，输出最优
解，停止计算，如果 Gap> 0 ，转步骤6；
6 计算扰动因子μ
7 求解修正方程，求出 Δx, Δy, Δl, Δu, Δz, Δw 8 计算 αp 和 αd
9 更新原始变量及拉格朗日乘子
10 判断k<Kmax, 如果是，返回步骤5，如果 否，输出“计算不收敛”，结束程序。
αp 和 α d 为步长：
αp
=
0.9995
⎧min
min⎨ ⎩
i
⎜⎜⎝⎛
− li Δli
, Δli
<
0;
− ui Δui
, Δui
<
0 ⎟⎟⎠⎞,1⎭⎬⎫
⎫ ⎪ ⎪⎬(i = 1,2,", r)
αd
=
0.9995
⎧min
min⎨ ⎩
i
⎜⎜⎝⎛
− zi Δzi
, Δzi
<
0; − wi Δwi
, Δwi
2.只将越界的不等式约束通过罚函数引入目标函 数，保留等式约束方程，再用拉格朗日乘子将等 式约束引入目标函数
3.迭代过程中某不等式约束越界，则将其固定在 限制值上，然后视为等式约束处理。再用乘子将 违限的约束引入到目标函数。
(4) 最优潮流问题特点
迭代算法及收敛性
¾ 最优潮流求解过程是一个迭代过程，因此，存 在迭代是否收敛问题
g(
x
)(
z
+
w)
Δx
+
∇ xh( x)Δy
+ ∇ x g( x)(Δz
+
Δw)
=
Lx
∇ xh( x)T Δx = −Ly
∇ x g( x)T Δx − Δl = −Lz
∇ x g( x)T Δx + Δu = −Lw
ZΔl + LΔz = −Lμl
WΔu + UΔw = −Lμu
写成矩阵形式为
⎡ H ∇ xh( x) ∇ x g( x) ∇ x g( x) 0
拉格朗日乘子。该问题极小值存在的必要条件是拉 格朗日函数对所有变量及乘子的偏导数为0：
Lx
=
∂L ∂x
≡ ∇x
f
( x) − ∇xh( x) y
− ∇x g( x)(z
+ w)
=
0
Ly
=
∂L ∂y
≡
h( x)
=
0
Lz
=
∂L ∂z
≡
g(x) − l
−
g
=
0
Lw
=
∂L ∂w
≡
g(x) +
u
−
g
=
0
Ll
优化问题的拉格朗日函数为
[ ] L = f ( x) − yTh(x) − zT g( x) − l − g
∑ ∑ − wT [g( x) − l − g]− μ r log(lr ) − μ r log(ur )
j =1
j =1
其中，y = [y1,", ym ], z = [z1,", zm ], w = [w1,", wm ] 均为
⎥ ⎥
⎢⎣ 0
0
0
U
0 W ⎥⎦⎢⎣ Δu ⎥⎦ ⎢⎣− Lx ⎥⎦
求解方程的得到第k次迭代的修正量，最优解的 一个新的近似为
x (k +1) = x (k ) + a p Δ x l (k +1) = l (k ) + a p Δ l u (k +1) = u (k ) + a p Δ u y (k +1) = y (k ) + a d Δ y z (k +1) = z (k ) + a d Δ z w (k +1) = w (k ) + a d Δ w
μ = lT z − uT w
2r
Gap = lT z − uT w
如果参数 μ 按上式取值时，算法的收敛性较
差，所以建议采用
μ = σ Gap
2r
σ ∈ (0,1) 为中心参数，一般取0.1，在大多数
场合可获得较好的收敛效果。
线性化的方程为
[ ] −
∇
2 x
f
(
x
)
−
∇
2 x
h(
x)
y
−
∇
2 x
u为控制变量， x为控制类变量的因变量，包括待求
的节点电压
不等式约束包括：
各发电机有功出力上下界约束 各发电机/同步补偿机无功出力上下界约束 并联电抗器/电容器容量约束 移相器抽头位置约束 各节点电压幅值上下界约束 各支路传输功率约束
处理约束的不同方法
1.把等式和不等式约束都用罚函数引入目标函数
u > 0, l > 0
（2）改造目标函数为障碍函数
r
r
obj. min. f ( x) − μ∑ log(lr ) − μ∑ log(ur )
j =1
j =1
s.t. h( x) = 0
g(x) + u = g
g(x) − l = g
其中μ>0为扰动因子（障碍常数）。
把含不等式约束的优化问题A转化为优化问题 B，可以用拉格朗日乘子法来求解。
⎢⎢∇
T x
h(
x
)
0
0
0
0
0 ⎤⎡ Δx ⎤ ⎡ Lx ⎤
0
⎥ ⎥
⎢ ⎢
Δy
⎥ ⎥
⎢ ⎢
−
Ly
⎥ ⎥
⎢∇ ⎢⎢∇
T x
T x
g( g(
x) x)
0 0
0 0
0 0
−I 0
0 I
⎥⎢ Δz ⎥
⎥ ⎥
⎢⎢Δw
⎥ ⎥
=
⎢− ⎢⎢−
Lz Lw
⎥ ⎥ ⎥
⎢0 ⎢
0
L
0
Z
0 ⎥⎢ Δl ⎥ ⎥⎢ ⎥
⎢− ⎢
Lx
最优Biblioteka Baidu流的经济目标
发电费用最小
NG
∑ c= ci(PGi) i=1
网损最小
N
∑ Ploss = (PGi − PDi ) + PGs − PDs i=1 i≠s
f ( x ) 目标函数是一个非线性函数 h ( x ) 为非线性等式约束条件 g ( x ) 为非线性不等式约束
g 和 g 为约束的上限和下限
（1）将不等式转化为等式约束
g(x) + u = g g(x) − l = g
其中松弛变量 l =[l1,",lr ]T ,u =[u1,",ur ]T
obj. min . f ( x) s.t. h( x) = 0 g(x) + u = g g(x) − l = g
最优潮流
最优潮流问题概述
(1) 最优潮流概念
最优潮流(optimal power flow, OPF)就是当系统 的结构参数及负荷情况给定时，通过控制变 量的优选，所找到的能满足所有指定的约束 条件，并使系统的某一个性能指标或目标函 数达到最优时的潮流分布。
(2)最优潮流与潮流计算的区别
¾ 基本潮流计算时控制变量是事先给定的。而最优潮流中 的控制变量则是可变而待优选的变量。
=
∂L ∂l
≡
z
−
μL−1e
⇒
Lμl
=
LZe
− μe
=
0
Lu
=
∂L ∂u
≡
−w
−
μU −1e
⇒
Lμu
=
UWe
+
μe
=
0
式中： L = diag (l1," , lr ), U = diag (u1," , ur ), L = diag ( z1," , zr ), W = diag (w1," , wr )
最优解的多值性和存在性
¾ 最优潮流问题是典型的非线性规划问题，从数 学观点看，应该有多组解
¾ 由于最优潮流考虑的约束（包括运行约束和安 全约束）比较多，在某些情况会出现无解的情 况
最优潮流的算法
非线性规划法（Non-Linear Programming, NLP)
二次规划法（Quadratic Programming, QP）
<
0 ⎟⎟⎠⎞,1⎭⎬⎫⎪⎪⎭
最优潮流内点算法的流程
1 设置松弛变量l, u,保证[l,u]T>0, 2 设置拉格朗日乘子z,w,y,满足z>0,w<0,y≠0. 3 设置优化问题各变量的初值。
4 取中心参数 σ ∈(0,1)，给定计算精
度ε = 10−6，迭代次数初始值k=0,最大迭代
次数Kmax=50.
牛顿法（利用了目标函数在搜索点的梯度， 还利用了目标函数的二届导数，考虑了梯度 变化的趋势，具有二阶收敛性，速度更快）
拟牛顿法
二次规划法（quadratic programming, QP）
仅适用于目标函数为二次形式，约束条件为 线性表达式的问题。
二次规划发的优点：比较精确可靠，但其计 算时间随变量和约束条件数目的增加 而急 剧延长，而且在求临界可行问题时会导致不 收敛。
线性规划法（Linear Programming, LP）
通常把整个问题分解为有功功率和无功功率 两个子优化问题，他们或者进行交替迭代求 解，或者分别求解。在求解方法上，大都采 用分段线性或逐次线性化逼近非线性规划问 题，然后利用线性规划方法求解。
混合规划法
针对OPF问题中有功优化子问题与无功优化 子问题呈现不同的特性而选择两种或几种方 法联合求解。
¾ 最优潮流计算除了满足潮流方程这一等式约束条件之 外，还必须满足与运行限制有关的大量不等式约束条 件。
¾ 进行基本潮流计算是求解非线性代数方程组；而最优潮 流计算由于其模型从数学上讲是一个非线性规划问题， 因此需要采用最优化方法来求解。
¾ 基本潮流计算所完成的仅仅是一种计算功能；而最优潮 流计算则能够根据特定目标函数并在满足相应约束条件 的情况下，自动优选控制变量，具有指导系统进行优化 调整的决策功能。
(3) 最优潮流问题的数学模型
⎧ min f (u, x) ⎪⎨s.t. g(u, x) = 0 ⎪⎩ h(u, x) ≤ 0
其中： f (u, x) 为目标函数，最常用的形式 （1）系统运行 成本最小； （2）有功传输损耗最小
g(u, x) = 0 为节点平衡方程式
h(u, x) ≤ 0为不等式约束条件
内点算法
最有发展潜力的是路径跟踪法，又称为跟踪 中心轨迹法。该方法收敛迅速，鲁棒性强， 对初值的选择不敏感。
人工智能方法
模拟进化规划方法 模糊集理论 模拟退火算法
跟踪中心轨迹内点法 潮流问题模型简化为一般非线性优化模型
obj. min . f ( x) s.t. h( x) = 0 g ≤ g(x) ≤ g