2019-2020学年上海市实验学校高一下学期期末考试数学试题(有答案)

2019-2020学年上海市实验学校高一下学期期末考试

数学试题 2020.07

一．填空题

1．57lim 57n n

n

n

n →∞-=+________． 2．函数()2

2cos

31y x π=-的最小正周期为________．

3．已知在ABC 中，a 、b 、c 分别为A ∠、B ∠、C ∠

所对的边，若2

2

2

b c a +-=，

则A ∠=________．

4．若数列{}n a 的前n 项和23n

n S =+，则其通项公式为________．

5．求和：111112123

123n

+

+++

=++++++

+ ________．

6．已知数列{}n a 的前n 项和4n

n S t =+，若{}n a 为等比数列，则t =________．

7．设无穷数列{}n a 的公比为q ，若()245lim n n a a a a →∞

=++

+，则q =________．

8．若{}n a 为等比数列，0n a >，且2018a =

，则20172019

12

a a +的最小值为________．

9．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，2a =，2sin sin A C =，若B 为钝角，1

cos 24

C =-

，则ABC 的面积为________． 10．已知函数()()5sin 2f x x θ=-，0,2πθ⎛⎤

∈ ⎥⎝

⎦

，[]0,5x π∈，若函数()()3F x f x =-的所有零点依次记为123,,,

,n x x x x ，且1231n n x x x x x -<<<

<<，*n N ∈，若

1232183

22222

n n n x x x x x x π--+++

+++=

，则θ=________． 二．选择题

11．已知函数()()sin f x x ωϕ=+（0ω>，ϕπ<）的图像如图所示，则ϕ的值为（ ）

A ．

4π B ．2

π

C ．2π-

D ．3π-

12．用数学归纳法证明()*111111

12324

n n N n n n n ++++≥+++∈+时，由n k =到

1n k =+时，不等式左边应添加的项是（ ）

A ．

121k + B ．11211k k -++ C ．11

2122k k +++ D ．11

2122

k k -++ 13．将函数sin 23y x π⎛

⎫

=-

⎪⎝

⎭

图像上的点,4P t π⎛⎫

⎪⎝⎭

向左平移()0s s >个单位长度得到点P '，若P '位于函数sin 2y x =的图像上，则（ ）

A ．12t =

，s 的最小值为6π B ．32t =，s 的最小值为6π

C ．12t =

，s 的最小值为3π D ．3t =，s 的最小值为3

π

14．对于数列12,,

x x ，若使得0n m x ->对一切*

n N ∈成立的m 的最小值存在，则称该

最小值为此数列的“准最大项”，设函数()()sin f x x x x R =+∈及数列12,,

y y ，且

()1006y y y R =∈，若()()1

11*

22n n n n n n n n y N f

y y y n f y y y ππ-+-⎧⎪

=⎨

⎛⎫+-< ∈⎪

⎝

⎭≥⎪⎩

，则当0

1y

=时，下列

结论正确的应为（ ） A ．数列12,,y y 的“准最大项”存在，且为2π B ．数列12,,y y 的“准最大项”存在，且为3π C ．数列12,,y y 的“准最大项”存在，且为4π D ．数列12,,y y 的“准最大项”不存在

三．解答题

15．如图，在梯形ABCD 中，AB a =，BC b =，1

2

CD a =-

，G 为对角线AC 、BD 的交点，E 、F 分别是腰AD 、BC 的中点，求向量EF 和AG （结果用向量a 、b 表示）．

16．已知递增的等差数列{}n a 的首项11a =，且1a 、2a 、4a 成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）设数列{}n c 对任意*

n N ∈，都有

12

12

222n

n n

c c c a ++++

=成立，求122012c c c +++的

值．

17．某旅游区每年各个月份接待游客的人数近似地满足周期性规律，因而第n 个月从事旅游服务工作的人数()f n 可近似地用函数()()cos f n A wn k θ=++来刻画，其中正整数n 表示月份且[]1,12n ∈，例如1n =表示1月份，A 和k 是正整数，0w >，()0,θπ∈． 统计发现，该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数有以下规律： ①每年相同的月份，该地区从事旅游服务工作的人数基本相同；

②该地区从事旅游服务工作的人数最多的8月份和最少的2月份相差400人；

③2月份该地区从事旅游服务工作的人数为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多； （1）试根据已知信息，求()f n 的表达式；

（2）一般地，当该地区从事旅游服务工作的人数在400或400以上时，该地区也进入了一年中的旅游“旺季”，那么，一年中哪几个月是该地区的旅游“旺季”？请说明理由． 18．对于任意*

n N ∈，若数列{}n x 满足11n n x x +->，则称这个数列为“K 数列”．

（1）已知数列：1，1m +，2

m 是“K 数列”，求实数m 的取值范围；

（2）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，当首项1a 与公差d 满足什么条件时，数列n S 是“K 数列”？

（3）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且11232n n S S a +-=，*

n N ∈，设

()11n

n n n c a a λ+=+-，是否存在实数λ，使得数列{}n c 为“K 数列”

，若存在，求实数λ的