第六章(Chapter 6)容斥原理及其应用

(公式6.1.2) (公式6.1.2)
所谓的容斥原理就是指公式6.1.1和公式6.1.2 所谓的容斥原理就是指公式6.1.1和公式6.1.2 .
四,容斥原理的应用实例: 容斥原理的应用实例: 6.1.4: a,b,c,d,e,f这六个字母的全排列 例6.1.4:求a,b,c,d,e,f这六个字母的全排列 中不允许出现ace和df图像的排列数 图像的排列数. 中不允许出现ace和df图像的排列数. 解: 6.1.5: S={1, 500}, 例6.1.5:设S={1,2,…,500},求S中能 除尽的数的个数. 解: 被2,3,5除尽的数的个数. 6.1.6:求由a,b,c,d这 个字符构成的n 例6.1.6:求由a,b,c,d这4个字符构成的n位符 号串中,a,b,c至少出现一次的符号串的数目. 号串中,a,b,c至少出现一次的符号串的数目. 解: 6.1.7:求不超过120的素数的个数. 例6.1.7:求不超过120的素数的个数. 解: 6.1.8: 26个英文字母做不允许重复的全排 例6.1.8:用26个英文字母做不允许重复的全排 列,要求排除:dog,god,gum,depth,thing字 列,要求排除:dog,god,gum,depth,thing字 样的出现,求满足这些条件的排列数. 解:
1 C rr+ k 1 ( = C rk+k 1 )
n! = r!×(n r )!
本节将讨论, 本节将讨论, 如果一个多重集合的元素具有任 意给定的重复数, 意给定的重复数,如何利用公式 C rr+ k 1 (= C rk+k1和容 1 ) 斥原理求解该多重集合的r 组合的个数. 斥原理求解该多重集合的r-组合的个数. 一个前提: 一个前提: 设S是一个多重集合,并设S的某种类型的 是一个多重集合,并设S x 物体(元素)具有大于r的重复数,那么S 物体(元素)具有大于r的重复数,那么S的r-组 合的个数等于将S 合的个数等于将S中元素的重复数改为而得到的 多重集合T 多重集合T的r-组合的个数.(因为S的r-组合重 组合的个数.(因为S 复数显然不会超过r,所以大于r 复数显然不会超过r,所以大于r的任何重复数都 可以用r 可以用r来代替).
6.3错排问题——容斥原理的一种应用 6.3错排问题 错排问题——容斥原理的一种应用
请大家课后自己阅读,整理并提交本节 请大家课后自己阅读, 的课程讲义, 的课程讲义,利用本节所介绍的方法解决 教材P120页第 题 页第15 教材P120页第15题 . [注]:错排问题也可利用递推关系导出其 结果,在教材第七章给与了介绍. 结果,在教材第七章给与了介绍.
1
◎ ◎ ◎ ◎ ◎
1 2 3 4 5
2
3
4
5
图6.4.1:棋盘的一种布局 6.4.1:棋盘的一种布局
2,棋盘多项式 设有棋盘C 设有棋盘C,令 rk (C ) 表示k枚棋子布到棋盘C 表示k枚棋子布到棋盘C 上的不同布局方案数. 布局的规则是:当一枚棋子布到棋盘的某一 布局的规则是:当一枚棋子布到棋盘的某一 格子时,这个格子所在的行和列上的其他格子不 再允许布别的棋子. 例如,对于如下的2 例如,对于如下的2×1的棋盘:
| A ∪ B ∪ C |=| A | + | B | + | C | | A ∩ B | | A ∩ C | | B ∩ C | + | A ∩ B ∩ C |
证明:
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应用实例 例6.1.2:设一个学校只开设3门课程:数学, 6.1.2:设一个学校只开设3 语文和外语,所有的学生必须修读一门以上课程. 已知修读这3门课的学生分别有:170,130和 已知修读这3门课的学生分别有:170,130和 120人;同时修读数学,语文两门课的学生有45 120人;同时修读数学,语文两门课的学生有45 人;同时修读数学,外语的学生有20人;同时 人;同时修读数学,外语的学生有20人;同时 修读语文,外语的学生有22人;同时修读三门 修读语文,外语的学生有22人;同时修读三门 课程的学生有3 课程的学生有3人.试问这个学校共有多少学生? 解:
应用实例 例6.1.3:某工厂装配三十辆汽车,可供选择 6.1.3:某工厂装配三十辆汽车,可供选择 的设备是收音机,空气调节器和对讲机.已知 其中15辆汽车有收音机,8 其中15辆汽车有收音机,8辆汽车有空气调节 器,6辆汽车有对讲机,而且其中3 器,6辆汽车有对讲机,而且其中3辆汽车这三 样设备都有.我们希望知道至少有多少辆汽车 没有提供任何设备? 解:
1 2 n
∪
i =1
1
2
n
3,设A,B是全集U的两个子集,则: ,设A,B是全集U
| A ∪ B |=| A | + | B | | A ∩ B |
三,容斥原理的两个基本公式: 容斥原理的两个基本公式: 定理6.1.1:设A,B,C是全集U 定理6.1.1:设A,B,C是全集U的三个子集,则 A ∪ B ∪ C 的大小为 :
一枚棋子有两种布局方案:
◎ ◎
但不存在两枚棋子的布局方案,故
r1(
)=1 ,r1(
r2(
)=2,r1( =2,
)=2, =2, )=1
)=0, r2( =0,
这里,为了形象化起见,括号( )内的图 像便是棋盘的形状.比如,在约定布棋规则的前 提下,
r2(
)=0表示在形如 =0表示在形如
的棋盘里布两枚
比如,多重集合S={3a,∞b,6c,10 ∞ 比如,多重集合S={3a,∞b,6c,10d, ∞e} 的8组合的个数与多重集合T={3a,8b,6c,8d, 组合的个数与多重集合T={3a,8b,6c,8 8e}的8组合的个数是相同的. e}的 总而言之,也就是说,我们已经得到多重 集合S={ 集合S={n1 a1 ,n2 a 2 ,…,nk a k}在⑴ n1=n2 =…=nk =1 =… 和⑵ n1= n2 =…= n k=r两种极端情况下的r-组合个 =… =r两种极端情况下的r 数的计算结论,现通过实例 数的计算结论,现通过实例解释如何应用容斥原 通过实例解释如何应用容斥原 理得到处在这两者之间的情况下的解.
本章将讨论集合间具有元素重叠且没有限制的 条件下,给出集合间的并集的成员的计数公式— 条件下,给出集合间的并集的成员的计数公式— —容斥原理及其应用. 容斥原理及其应用. 一,引例 6.1.1:求不超过20的正整数中为2 例6.1.1:求不超过20的正整数中为2或3的倍 数的数的个数. 解:
二,相关的集合论基本性质: 相关的集合论基本性质: 1,德摩根律(De Morgan):设A,B是全集U ,德摩根律(De Morgan):设A,B是全集U 的两个子集,则有: ⑴ A∪ B = A∩ B ⑵ A∩ B = A∪ B 证明略. 2,德摩根律(De Morgan)的推广: ,德摩根律(De Morgan)的推广: 设 A1 , A2 , An 是全集U的n个子集,则有: 是全集U n A1 ∪ A2 ∪ ∪ An = ∩ Ai = A1 ∩ A2 ∩ ∩ An ⑴ i =1 n ⑵ A ∩ A ∩ ∩ A = Ai = A ∪ A ∪ ∪ A
m i =1 i
| A1 ∩ A2 ∩ ∩ Am | = | S | - | A1 ∪ A2 ∪ ∪ Am |
= | S | - ∑ | A | + ∑∑ | Ai ∩ A j | - ∑∑∑ | Ai ∩ A j ∩ Ak |
i =1 i
m
m
m
i =1 j>i
i =1 j>i k>j
+…+
(1) m | Ai ∩ A j ∩ ∩ A m |
6.2 具有重复的组合
在第三章中,我们已经证明了如下两个结论: ⑴n个不同元素的集合S的r-组合的数目为: 个不同元素的集合S
C =C
r n nr n
⑵具有k种不同类型元素且每种元素都有无限重 具有k 复数(或至少重复数大于r)的多重集合S 复数(或至少重复数大于r)的多重集合S的r-组 合的个数等于:
例6.1.9:从0至99999有多少含数字2,5和8 6.1.9:从0 99999有多少含数字2 的整数? 解: [思考题/练习题]: 思考题/练习题] 1,试求1到1000之间不能被5,6和8中任何一 ,试求1 1000之间不能被5 个整除的整数的个数. (答案:600个) (答案:600个) 2,教材P119页第1,2,3题. ,教材P119页第1
例6.2.1:试确定多重集T={3a,4b,5c }的 6.2.1:试确定多重集T={3a,4b,5 }的 10-组合的个数. 10解: 6.2.2: 例6.2.2:确定方程: x1 + x2 + x3 + x4 = 18 满足条件: 1 ≤ x1 ≤ 5 , 2 ≤ x2 ≤ 4 , 0 ≤ x3 ≤ 5 ,3 ≤ x4 ≤ 9 的整数解的个数. 解: [思考题/练习题]: 思考题/练习题] 1,试列出这6个排列. ,试列出这6 2,教材P120页第4,5,6题. ,教材P120页第4 3,教材P120页第7,8,9题. ,教材P120页第7
棋子是不可能的;
r2 (
)=1表示在形如 =1表示在形如
◎ ◎
的棋盘上布
两枚棋子的方案是唯一的,即
现引入一个多项式: R(C)= ∑ rk (C ) x k
k =0 n
………(6.4.1) ………(6.4.1)
称之为棋盘多项式 称之为棋盘多项式. 棋盘多项式.
定理6.1.2:设 定理6.1.2:设 A1 , A2 , Am 是全集S的m个有限子 是全集S 集,则 m m | A1 ∪ A2 ∪ ∪ Am |=∑ | A | - ∑∑ | Ai ∩ A j | + ∑∑∑ | Ai ∩ A j ∩ Ak | i =1 j>i i =1 j>i k>j m 1 -…+ (1) | Ai ∩ A j ∩ ∩ A m | (公式6.1.1) (公式6.1.1) 证明略(可采用数学归纳法) [注]:由于 | A |=| S | | A | ,即全集S中不属于子集A ,即全集S中不属于子集A 的元素的个数等于全集S 的元素的个数等于全集S的的元素个数减去属于 集合A 集合A的元素个数,所以也有:
第六章(Chapter 第六章(Chapter 6)
容斥原理及其应用
(The Inclusion-Exclusion Principle Inclusionand Applications) Applications)
6.1容斥原理(The Inclusion-exclusion principle) 6.1容斥原理 Inclusionprinciple)
6.4棋盘多项式和有限制条件的排列 6.4棋盘多项式和有限制条件的排列
一,有限制条件的排列:顾名思义是指带有给定 有限制条件的排列: 限制条件的排列.( .(错排问题就是一种带限制条 限制条件的排列.(错排问题就是一种带限制条 件的排列).一般地, ).一般地 件的排列).一般地,带限制条件的排列问题可 以利用容斥原理进行计数. 以利用容斥原理进行计数. 6.4.1: 的全排列( 例6.4.1:在4个x,3个y,2个z的全排列(线 性排列) 求不出现xxxx,yyy,zz字样的排 性排列)中,求不出现xxxx,yyy,zz字样的排 列数. 列数. 解:
二,棋盘多项式 1,棋盘的布局与排列的对应关系模型 n个元素的某一排列可以看作是n枚棋子在的 个元素的某一排列可以看作是n 棋盘上的一种布局. 棋盘上的一种布局.当一枚棋子置于棋盘的某一 格子时, 格子时,这一格子所在的行和列都不能再布任何 其它棋子.( .(棋盘的每一个布局每行每列有且仅 其它棋子.(棋盘的每一个布局每行每列有且仅 有一枚棋子).如下图6.4.1所示 ).如下 所示, 有一枚棋子).如下图6.4.1所示,该图棋子的 布局对应一个排列41352( 布局对应一个排列41352(行标号表示排列的 位置,列标号表示排列每个位置上的值). 位置,列标号表示排列每个位置上的值). [注]:这种对应关系可以扩展到任意形状的棋盘, 这种对应关系可以扩展到任意形状的棋盘, 从而引入棋盘多项式的概念. 从而引入棋盘多项式的概念.