第六章(Chapter 6)容斥原理及其应用
第6章 容斥原理
6.1 容斥原理
●容斥原理是组合数学中的一个重要 原理,它在计数问题中占有很重要地位.
●容斥原理所研究的问题是与若干有 限集的交、并或差有关的计数.
●在实际工作中, 有时要计算具有某种 性质的元素个数.
例: 某单位举办一个外语培训班, 开设 英语, 法语两门课.
●设U为该单位所有人集合, A,B分别为 学英语, 法语人的集合, 如图所示.
Qn | A1 A2 An |
n! | A1 A2 An | (6.5)
n!r1 (n 1)!r2 (n 2)!
(1)n1 rn1 1!(1)n rn 0!
由此可见, 计算禁位排列的关键问题是 计算ri(i=1,2,…,n).
其中ri为有i个棋子落入禁区的方案数.
证. 设Ai为第i个棋子落入禁区的排列的 集合, i=1,2,…,n
如果一个棋子落入禁区的方案数目为
r1, 那么剩下的n-1个棋子可任意排列, 所以: ∑|Ai|=r1(n-1)!. 如果两个棋子落入禁区的方案数目为
r2, 那么剩下的n-2个棋子可任意排列, 所以: ∑|Ai∩ Aj |=r2(n-2)!. 依次类推. 由容斥原理, 可以得到:
Q5 | A1 A2 A3 A4 |
5! | A1 | | A2 | | A3 | | A4 | | Ai Aj |
| Ai Aj Ak | | A1 A2 A3 A4 |
容易计算出:
|Ai|=4!, i=1,2,3,4. |A1A2|中排列含有模式123, 其中排列的 总数={123,4,5}排列总数. 所以,
些绅士没人能拿到他们来时所戴的帽子
● V-8发动机的8个火花塞从气缸中取出清洗。
容斥原理的基本应用
容斥原理的基本应用什么是容斥原理容斥原理，又称为容错原理、排容原理，是组合数学中一种常用的计数原理。
容斥原理用于解决计数问题，特别是解决两个或多个集合的并、交、差等计数问题。
它通过将复杂的集合拆分成简单的部分，并根据不同情况逐步计算得到最终的结果。
容斥原理有助于简化计数问题的解决过程，使得问题的求解更加简洁明了。
容斥原理的应用场景容斥原理在组合数学、概率论、计算机科学等领域有广泛的应用。
它可以解决一些复杂的计数问题，包括排列组合问题、概率计算问题、鸽巢原理问题等。
容斥原理在解决这些问题时，可以极大地简化计算的复杂度，提高解题效率。
以下是容斥原理的基本应用场景：1.列表中元素的多重选择问题2.集合的并、交、差运算问题3.满足多个条件的计数问题4.重复计算问题容斥原理的基本原理容斥原理的基本原理可以通过一个简单的示例来说明。
假设有A、B两个集合，记其元素个数分别为|A|和|B|。
那么A和B的并集的元素个数可以通过以下公式计算得到：|A∪B| = |A| + |B| - |A∩B|其中，|A∩B|表示A和B集合的交集中的元素个数。
上述公式中的两次求并集都将交集的元素计算了两次，所以需要将交集的元素个数减去一次，以避免重复计算。
这就是容斥原理的基本思想。
容斥原理的基本应用举例列表中元素的多重选择问题假设有一个列表，其中有苹果、橙子、香蕉、草莓这四种水果。
现在需要从这个列表中选择1种、2种、3种甚至全部4种水果的可能性有多少种？根据容斥原理，我们可以通过以下步骤进行计算：1.计算只选择1种水果的情况，共有4种可能性。
2.计算只选择2种水果的情况，共有C(4,2) = 6种可能性。
3.计算只选择3种水果的情况，共有C(4,3) = 4种可能性。
4.计算选择全部4种水果的情况，共有1种可能性。
根据容斥原理，计算总的可能性的公式为：总可能性 = 只选择1种水果的数量 - 只选择2种水果的数量 + 只选择3种水果的数量 - 选择全部4种水果的数量带入上述计算结果，得到总可能性为4 - 6 + 4 - 1 = 1种。
容斥原理的应用实例
容斥原理的应用实例1. 容斥原理简介容斥原理是组合数学中一种重要的计数方法，常用于解决涉及多个事件的计数问题。
通过容斥原理，我们可以解决包含并集和交集的复杂计数问题，并得到准确的计数结果。
2. 容斥原理的基本思想容斥原理的基本思想是通过计算集合的交集和并集来确定计数问题的结果，并通过减去交集来消除重复计数。
具体来说，对于两个集合A和B，它们的并集记为A∪B，交集记为A∩B。
容斥原理可以表示为：|A∪B| = |A| + |B| - |A∩B|同样地，对于三个集合A、B和C，它们的并集记为A∪B∪C，容斥原理可以表示为：|A∪B∪C| = |A| + |B| + |C| - |A∩B| - |A∩C| - |B∩C| + |A∩B∩C|3. 容斥原理的应用实例3.1. 二进制字符串问题假设我们有一个长度为n的二进制字符串，其中1的数量不能超过m个，我们需要计算满足条件的二进制字符串的个数。
解题思路如下：1.首先考虑只有一个限制条件的情况。
假设只有一个限制条件，限制字符串中1的数量不能超过k个。
我们可以用以下公式计算满足条件的字符串的个数：|A1|=C(n,0)+C(n,1)+C(n,2)+...+C(n,k)其中C(n,k)表示从n个元素中选取k个元素的组合数。
2.接下来考虑多个限制条件的情况。
假设有m个限制条件，分别为A1,A2, …, Am。
我们可以用容斥原理计算满足这些限制条件的二进制字符串的个数。
根据容斥原理，我们有以下公式：|A1∪A2∪...∪A m|=|A1|+|A2|+...+|A m|−|A1∩A2|−|A1∩A3|−...−|A m−1∩A m|+|A1∩A2∩...∩A m|3.最后，我们通过计算得到所有可能的组合数，即可得到满足条件的二进制字符串的个数。
3.2. 集合的排列问题假设我们有n个元素，分别属于集合A和集合B。
我们需要计算将这些元素排列成一行，使得集合A中的元素都在集合B中的元素前面的排列方式的个数。
容斥原理在物理的应用
容斥原理在物理的应用1. 什么是容斥原理容斥原理是概率论和组合数学中的一种基本计数原理。
它被用于解决计算两个或多个事件的交集、并集以及补集的问题。
容斥原理描述了如何通过相互排斥和互不相交的子集来计算总集合的大小。
2. 容斥原理在物理的应用容斥原理在物理中被广泛应用，特别是在求解概率和计数问题时。
以下是容斥原理在一些物理问题中的具体应用。
2.1. 电路中的电阻组合在电路中，当多个电阻串联或并联时，可以使用容斥原理来计算总电阻。
例如，当两个电阻R1和R2串联时，总电阻可以通过以下公式计算：R total=R1+R2当两个电阻R1和R2并联时，总电阻可以通过以下公式计算：$$ \\frac{1}{R_{total}} = \\frac{1}{R1} + \\frac{1}{R2} $$2.2. 碰撞中的能量守恒在物理碰撞问题中，容斥原理可以用来计算碰撞前后的能量守恒。
例如，在完全弹性碰撞中，两个物体A和B相互碰撞后，它们的总动能应该保持不变。
根据容斥原理，可以得到以下方程：$$ \\frac{1}{2}m_Av_A^2 + \\frac{1}{2}m_Bv_B^2 = \\frac{1}{2}m_Av_A'^2 + \\frac{1}{2}m_Bv_B'^2 $$其中，m是物体的质量，v是物体的速度。
通过解这个方程，可以计算出碰撞后物体的速度。
2.3. 统计学中的互斥事件在统计学中，容斥原理可以用于计算互斥事件的概率。
例如，在一个有三个骰子的游戏中，我们想计算总得分为奇数的概率。
我们可以定义事件A为第一个骰子得到奇数，事件B为第二个骰子得到奇数，事件C为第三个骰子得到奇数。
根据容斥原理，我们可以计算出总得分为奇数的概率为：$$ P(A \\cup B \\cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A \\cap B) - P(A \\cap C) - P(B \\cap C) + P(A \\cap B \\cap C) $$其中，P(A)代表事件A发生的概率。
容斥原理实际的应用
容斥原理实际的应用容斥原理是数学中的一种重要的计数方法，可以用来解决包含多个事件的复合概率问题。
它的应用非常广泛，涉及到很多领域，如组合数学、概率论、数论等。
下面将介绍容斥原理在实际中的几个应用。
1.组合计数问题容斥原理可以用来解决组合计数问题，即求解满足一定条件的组合个数。
例如，假设有n个物品，每个物品有m种属性，问满足其中至少k种属性的物品组合个数。
可以使用容斥原理进行求解。
首先，使用Inclusion-Exclusion原理计算至少满足1个属性的组合个数。
假设A[i]表示满足第i个属性的物品组合个数，那么根据容斥原理，至少满足1个属性的组合个数为：S[1]=A[1]+A[2]+...+A[m]-A[1,2]-A[1,3]-...-A[m-1,m]+A[1,2,3]+...+(-1)^(m-1)*A[1,2,...,m]然后，使用同样的方法计算至少满足2个属性的组合个数，得到：S[2]=A[1,2]+A[1,3]+...+A[m-1,m]-A[1,2,3]-...依此类推，可以得到至少满足k个属性的组合个数：S[k]=A[1,2,...,k]+...最后，将所有S[i]相加，即可得到满足其中至少k种属性的物品组合个数。
2.概率问题容斥原理可以用来解决概率问题，特别是多事件的复合概率问题。
例如，假设有n个独立事件A1,A2,...,An，我们想求它们的联合概率P(A1∩A2∩...∩An)。
根据容斥原理，可以得到：P(A1∩A2∩...∩An)=P(A1)+P(A2)+...+P(An)-P(A1∪A2)-P(A1∪A3)-...-P(An-1∪An)+P(A1∪A2∪A3)+...其中，P(A1)表示事件A1发生的概率，P(A1∪A2)表示事件A1和A2至少有一个发生的概率，以此类推。
通过使用容斥原理，可以将复杂的联合概率问题转化为简单的单事件概率问题，并求得最终的结果。
3.整数划分问题容斥原理还可以用来解决整数划分问题，即将一个整数分成多个部分的划分方式个数。
容斥原理及其应用
容斥原理及其应用１ 序言数学知识是人类社会文明的一个重要组成部分．在当今世界，数学已不仅是一门单一的科学，而是一种普适性的技术，正广泛地渗透到物质世界的每一个领域内，对科学技术和社会的发展起着日益突出的作用，但随着社会的向前推进，时代的进步，数学科学的思想、方法与内容伴随着远古时期的结绳记事，屈指记数到现在的办公自动化而日趋完善．人类的现实生活需要数学，而国家的经济发展，科学技术的进步更与数学知识息息相关．具备一些必要的数学知识和一定数学思想方法，是现代人才基本素质的重要组成部分．早期的组合数学是带着数学趣味性和益智魅力的问题，逐渐与数论、概率统计，以及后来新兴的拓扑学、线性规划等学科相互交织在一起，在二十世纪下半叶与电子计算机相结合足以显示了数学的用途．容斥原理是组合数学中解决计数问题的一个重要工具，是离散数学的一个重要组成部分，容斥原理在排列、组合、概率计算中有着广泛的应用．随着近代科学技术的发展，特别是计算机科学的长足进步，给与计算机密切相关的组合数学和离散数学注入了新的活力和生机，使它们与其他基础数学学科的联系更加紧密，让应用数学的适用范围进一步扩大，在现代科学技术中发挥出极为重要的作用．２ 容斥原理定理2.1 设S 是有限集，P 表示某种性质，令A 表示S 中具有性质P 的元素的集合，则S 中不具有性质P 的元素的个数为： A S A =-．定理2.2 设S 是有限集，12,P P 表示某种性质，令,A B 表示S 中具有性质12,P P 的元素的集合，则S 中不具有性质12,P P 的元素的个数为：A B S A B A B =--+I I ．定理2.3 设S 是有限集，123,,P P P 表示某种性质，令,,A B C 表示S 中具有性质123,,P P P 的元素的集合，则S 中不具有性质123,,P P P 的元素的个数为：A B C S A B C A B A C B C A B C =---+++-I I I I I I I定理2.4 设S 是有限集，()1,2,,i P i n =L 表示某种性质，令()1,2,,i A i n =L 表示S 中具有性质()1,2,,i P i n =L 的元素的集合，则S 中至少具有某一性质()1,2,,i P i n =L 的元素的个数为 1121121211n i i i i ni i nA A A A A A ≤≤≤<≤=-++∑∑U UL U I L()()12121112111k k k n i i i n i i i nA A A A A A --≤<<<≤-++-∑L I I L I L I I L I()12121111k k n k i i i k i i i nA A A -=≤<<<≤=-∑∑L I I L I ．现给出这个公式的证明． 证明[]()145P 当2n =时， 121212A A A A A A =+-U I因为 12112A A A A A -=-I ，12A A A ⊆I ，所以 12112112A A A A A A A A -=-=-I I ，所以 当2n =时，结论成立．假设当()2n s s =≥时结论成立，则当1n s =+时，111111111n s n ss i i i s is i s i i i i i A A AA A A ++++=====⎛⎫⎛⎫A =A ==+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U I U U U U U ()1111ssis i s i i AA A A ++===+-I U U()11212111211kk sk i i i i i s k i i i sA A A A -≤≤+=≤<<<≤=+-∑∑∑L I I L I ()()1212111211111k s ksi i s s s k i i i sA A A A A A A -++=≤<<<≤+-+-∑∑L I I L I I I L I I 111i i s A ≤≤+=∑()()1212112121111211111k k k k s s k k i i i i i i s k i i i s k i i i s A A A A A A A ----+=≤<<<≤=≤<<<≤⎡⎤+-+-⎢⎥⎣⎦∑∑∑∑L L I I L I I I L I I ()1211ss A A A ++-I I L I ()()1121211211121111k k sk si i i i s i s k i i i s A A A A A A A -+≤≤+=≤<<<≤+=+-+-∑∑∑L I I L I I I L I ()1212112111kk s k i i i k i i i s A A A +-=≤<<<≤+=-∑∑L I I L I()12121211k k nk i i i k i i i nA A A -=≤<<<≤=-∑∑L I I L I所以 当1n s =+时，结论成立．由数学归纳法可知，对任意的自然数()2n n ≥结论成立．S 中不具有性质()1,2,,i P i n =L 的元素的个数为： ()121212111k k nkn i i i k i i i nA A A S A A A =≤<<<≤=+-∑∑L I I L I I I L I ．３ 应用举例３.１ 容斥原理的一些简单应用例３.1.1 由1至300的整数中, 有多少个整数能被7整除且能被2或5整除?解 设所求为N , 令{}1,2,,300S =L , A ={能被7214⨯=整除的整数}，B ={能被7535⨯=整除的整数}，A B I ={能被72570⨯⨯=整除的整数}，则N A B A B A B ==+-U I 3003003007275725⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⨯⨯⨯⨯⎣⎦⎣⎦⎣⎦218425=+-= 例 3.１.2 有2008盏亮着的电灯，各有一个拉线开关控制着，现将其顺序编号为1,2,3,,2008L ．将编号为2的倍数的灯线拉一下，再将编号为3的倍数的灯线拉一下，最后将编号为5的倍数的灯线拉一下，拉完后还有几盏灯是亮的？解 令A ={不大于2008的2的倍数},B ={不大于2008的3的倍数}, C ={不大于2008的5的倍数}, 则200810042A ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦, 20086693B ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦, 20084015C ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦． 又 A B I ={不大于2008的236⨯=的倍数}，A C I ={不大于2008的2510⨯=的倍数}，BC I ={不大于2008的3515⨯=的倍数}, A B C I I ={不大于2008的23530⨯⨯=的倍数},200833423A B ⎡⎤==⎢⎥⨯⎣⎦I , 200820025A C ⎡⎤==⎢⎥⨯⎣⎦I , 200813335B C ⎡⎤==⎢⎥⨯⎣⎦I , 200866235A B C ⎡⎤==⎢⎥⨯⨯⎣⎦I I ,所以拉过开关的灯的只数为：A B C A B C A B A C B C A B C =++---+I I I I I I I 1004669401334200133661473=++---+= (只)所以没拉开关的灯的只数为：20081473535-=（只） 只拉两次的开关的灯的只数为：3A B A C B C A B C ++-I I I I I 334200133366469=++-⨯=（只）所以最后亮着的灯的只数为：5354691004+=（只）3.2 容斥原理在重排问题中的应用 例3.2.1[]()21P 4只小鸟飞入四个不同的笼子里，每只小鸟都有自己的一个笼子（不同的笼子，笼子也不同）,每个笼子只能飞进一只小鸟，若都不飞进自己的笼子，应有多少种不同的飞法？分析 设4只小鸟是甲、乙、丙、丁，相对应的笼子分别是1号、2号、3号、4号，由题意可推算出有9种不同的飞法，分别是乙甲丁丙；乙丙丁甲；乙丁甲丙；丙甲丁乙；丙甲丁乙；丙丁乙甲；丙丁甲乙；丁甲乙丙；丁丙甲乙；丁丙乙甲。
容斥原理及其应用
容斥原理及其应用容斥原理是组合数学中一种重要的计数技巧，被广泛运用于排列组合、概率统计等领域。
它的核心思想是通过求出多个集合的交集和并集来计算所需的数量，从而避免重复计数，确保准确性和全面性。
本文将介绍容斥原理的基本概念、推导过程以及其在实际问题中的应用。
一、容斥原理的基本概念容斥原理是根据集合的性质和运算规则推导出的一种计数方法。
在给定一组集合时，容斥原理可以帮助我们计算这些集合的交集和并集的元素个数。
在具体运用中，我们将问题转化成求解几个集合的元素个数之和的问题。
容斥原理表达式如下：∣A1∪A2∪⋯∪An∣=∣A1∣+∣A2∣+⋯+∣An∣−∣A1∩A2∣−∣A1∩A3∣−⋯−∣An−1∩An∣+⋯+（−1）^n−1∣An−1∩An∣其中，∣A∣表示集合A的元素个数，∪表示集合的并集，∩表示集合的交集，n表示集合的数量。
二、容斥原理的推导过程容斥原理的推导过程可以通过数学归纳法来实现，下面简要介绍：首先，我们给定两个集合A和B，我们用∣A∣表示集合A的元素个数，用∣B∣表示集合B的元素个数。
如果我们要计算A和B的并集∣A∪B∣，那么可以采取如下步骤：1. 首先，我们直接将∣A∣和∣B∣相加，得到∣A∣+∣B∣。
2. 然后，我们需要减去重复计算的部分，即集合A和B的交集∣A∩B∣。
因为∣A∩B∣这部分元素已经在∣A∣和∣B∣中被计算了一次，所以需要减去∣A∩B∣。
通过以上步骤，我们得到了∣A∪B∣=∣A∣+∣B∣−∣A∩B∣。
这就是容斥原理的基本推导过程。
接下来，我们将容斥原理推广到更多集合的情况。
假设我们有三个集合A、B和C，我们想要计算它们的并集∣A∪B∪C∣，我们可以按照以下步骤进行：1. 首先，我们将∣A∣、∣B∣和∣C∣相加，得到∣A∣+∣B∣+∣C∣。
2. 然后，我们需要减去两两集合的交集部分，即∣A∩B∣、∣A∩C∣和∣B∩C∣。
这是因为这些部分元素在∣A∣、∣B∣和∣C∣中都被计算了一次，所以需要减去。
容斥原理的实际应用
容斥原理的实际应用什么是容斥原理？容斥原理是组合数学中的一种计数技巧，用于解决涉及多个集合的计数问题。
它给出了一种计算两个或多个集合并的大小的方法。
容斥原理可以用于解决排列组合、概率和几何等领域的问题。
容斥原理的公式如果有n个集合A1，A2，…，An，那么这些集合的并是多少呢？容斥原理给出了以下公式：|A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An| = |A1| + |A2| + ... + |An| - |A1 ∩ A2| - |A1∩ A3| - ... + (-1)^(n-1) |An-1 ∩ An| + (-1)^n |A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An|其中，|A| 表示集合 A 的元素个数，A1 ∩ A2 表示集合 A1 和 A2 的交集，A1 ∩ A2 ∩ … ∩ An 表示集合 A1、A2、…、An 的交集。
容斥原理的实际应用容斥原理可以应用在很多实际问题中，例如计算两个或多个事件同时发生的概率、计算满足一些条件的排列或组合的个数等。
下面我们通过几个实际问题来演示容斥原理的应用。
示例一：计算多个事件同时发生的概率假设有三个事件 A、B 和 C，它们的概率分别为 P(A)，P(B) 和 P(C)。
我们想要计算同时发生事件 A、B 和 C 的概率。
根据容斥原理的公式，有：P(A ∩ B ∩ C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A ∩ B) - P(A ∩ C) - P(B ∩ C) + P(A ∩ B ∩ C)在这个公式中，P(A ∩ B) 表示事件 A 和事件 B 同时发生的概率，P(A ∩ C) 和P(B ∩ C) 分别表示事件 A、C 和事件 B、C 同时发生的概率，P(A ∩ B ∩ C) 表示事件A、B 和事件 C 同时发生的概率。
通过这个公式，我们可以计算出多个事件同时发生的概率，从而更好地理解概率的运算。
示例二：计算满足一些条件的排列的个数假设有四个人 A、B、C 和 D，我们想要计算满足以下条件的排列的个数：A 和B 不能相邻，C 和 D 不能相邻。
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应用实例 例6.1.3:某工厂装配三十辆汽车,可供选择 6.1.3:某工厂装配三十辆汽车,可供选择 的设备是收音机,空气调节器和对讲机.已知 其中15辆汽车有收音机,8 其中15辆汽车有收音机,8辆汽车有空气调节 器,6辆汽车有对讲机,而且其中3 器,6辆汽车有对讲机,而且其中3辆汽车这三 样设备都有.我们希望知道至少有多少辆汽车 没有提供任何设备? 解:
一枚棋子有两种布局方案:
◎ ◎
但不存在两枚棋子的布局方案,故
r1(
)=1 ,r1(
r2(
)=2,r1( =2,
)=2, =2, )=1
)=0, r2( =0,
这里,为了形象化起见,括号( )内的图 像便是棋盘的形状.比如,在约定布棋规则的前 提下,
r2(
)=0表示在形如 =0表示在形如
的棋盘里布两枚
6.3错排问题——容斥原理的一种应用 6.3错排问题 错排问题——容斥原理的一种应用
请大家课后自己阅读,整理并提交本节 请大家课后自己阅读, 的课程讲义, 的课程讲义,利用本节所介绍的方法解决 教材P120页第 题 页第15 教材P120页第15题 . [注]:错排问题也可利用递推关系导出其 结果,在教材第七章给与了介绍. 结果,在教材第七章给与了介绍.
1
◎ ◎ ◎ ◎ ◎
1 2 3 4 5
2
3
4
5
图6.4.1:棋盘的一种布局 6.4.1:棋盘的一种布局
2,棋盘多项式 设有棋盘C 设有棋盘C,令 rk (C ) 表示k枚棋子布到棋盘C 表示k枚棋子布到棋盘C 上的不同布局方案数. 布局的规则是:当一枚棋子布到棋盘的某一 布局的规则是:当一枚棋子布到棋盘的某一 格子时,这个格子所在的行和列上的其他格子不 再允许布别的棋子. 例如,对于如下的2 例如,对于如下的2×1的棋盘:
例6.1.9:从0至99999有多少含数字2,5和8 6.1.9:从0 99999有多少含数字2 的整数? 解: [思考题/练习题]: 思考题/练习题] 1,试求1到1000之间不能被5,6和8中任何一 ,试求1 1000之间不能被5 个整除的整数的个数. (答案:600个) (答案:600个) 2,教材P119页第1,2,3题. ,教材P119页第1
1 2 n
∪
i =1
1
2
n
3,设A,B是全集U的两个子集,则: ,设A,B是全集U
| A ∪ B |=| A | + | B | | A ∩ B |
三,容斥原理的两个基本公式: 容斥原理的两个基本公式: 定理6.1.1:设A,B,C是全集U 定理6.1.1:设A,B,C是全集U的三个子集,则 A ∪ B ∪ C 的大小为 :
棋子是不可能的;
r2 (
)=1表示在形如 =1表示在形如
◎ ◎
的棋盘上布
两枚棋子的方案是唯一的,即
现引入一个多项式: R(C)= ∑ rk (C ) x k
k =0 n
………(6.4.1) ………(6.4.1)
称之为棋盘多项式 称之为棋盘多项式. 棋盘多项式.
6.2 具有重复的组合
在第三章中,我们已经证明了如下两个结论: ⑴n个不同元素的集合S的r-组合的数目为: 个不同元素的集合S
C =C
r n nr n
⑵具有k种不同类型元素且每种元素都有无限重 具有k 复数(或至少重复数大于r)的多重集合S 复数(或至少重复数大于r)的多重集合S的r-组 合的个数等于:
二,棋盘多项式 1,棋盘的布局与排列的对应关系模型 n个元素的某一排列可以看作是n枚棋子在的 个元素的某一排列可以看作是n 棋盘上的一种布局. 棋盘上的一种布局.当一枚棋子置于棋盘的某一 格子时, 格子时,这一格子所在的行和列都不能再布任何 其它棋子.( .(棋盘的每一个布局每行每列有且仅 其它棋子.(棋盘的每一个布局每行每列有且仅 有一枚棋子).如下图6.4.1所示 ).如下 所示, 有一枚棋子).如下图6.4.1所示,该图棋子的 布局对应一个排列41352( 布局对应一个排列41352(行标号表示排列的 位置,列标号表示排列每个位置上的值). 位置,列标号表示排列每个位置上的值). [注]:这种对应关系可以扩展到任意形状的棋盘, 这种对应关系可以扩展到任意形状的棋盘, 从而引入棋盘多项式的概念. 从而引入棋盘多项式的概念.
| A ∪ B ∪ C |=| A | + | B | + | C | | A ∩ B | | A ∩ C | | B ∩ C | + | A ∩ B ∩ C |
证明:
应用实例 例6.1.2:设一个学校只开设3门课程:数学, 6.1.2:设一个学校只开设3 语文和外语,所有的学生必须修读一门以上课程. 已知修读这3门课的学生分别有:170,130和 已知修读这3门课的学生分别有:170,130和 120人;同时修读数学,语文两门课的学生有45 120人;同时修读数学,语文两门课的学生有45 人;同时修读数学,外语的学生有20人;同时 人;同时修读数学,外语的学生有20人;同时 修读语文,外语的学生有22人;同时修读三门 修读语文,外语的学生有22人;同时修读三门 课程的学生有3 课程的学生有3人.试问这个学校共有多少学生? 解:
比如,多重集合S={3a,∞b,6c,10 ∞ 比如,多重集合S={3a,∞b,6c,10d, ∞e} 的8组合的个数与多重集合T={3a,8b,6c,8d, 组合的个数与多重集合T={3a,8b,6c,8 8e}的8组合的个数是相同的. e}的 总而言之,也就是说,我们已经得到多重 集合S={ 集合S={n1 a1 ,n2 a 2 ,…,nk a k}在⑴ n1=n2 =…=nk =1 =… 和⑵ n1= n2 =…= n k=r两种极端情况下的r-组合个 =… =r两种极端情况下的r 数的计算结论,现通过实例 数的计算结论,现通过实例解释如何应用容斥原 通过实例解释如何应用容斥原 理得到处在这两者之间的情况下的解.
m i =1 i
| A1 ∩ A2 ∩ ∩ Am | = | S | - | A1 ∪ A2 ∪ ∪ Am |
= | S | - ∑ | A | + ∑∑ | Ai ∩ A j | - ∑∑∑ | Ai ∩ A j ∩ Ak |
i =1 i
mHale Waihona Puke mmi =1 j>i
i =1 j>i k>j
+…+
(1) m | Ai ∩ A j ∩ ∩ A m |
6.4棋盘多项式和有限制条件的排列 6.4棋盘多项式和有限制条件的排列
一,有限制条件的排列:顾名思义是指带有给定 有限制条件的排列: 限制条件的排列.( .(错排问题就是一种带限制条 限制条件的排列.(错排问题就是一种带限制条 件的排列).一般地, ).一般地 件的排列).一般地,带限制条件的排列问题可 以利用容斥原理进行计数. 以利用容斥原理进行计数. 6.4.1: 的全排列( 例6.4.1:在4个x,3个y,2个z的全排列(线 性排列) 求不出现xxxx,yyy,zz字样的排 性排列)中,求不出现xxxx,yyy,zz字样的排 列数. 列数. 解:
定理6.1.2:设 定理6.1.2:设 A1 , A2 , Am 是全集S的m个有限子 是全集S 集,则 m m | A1 ∪ A2 ∪ ∪ Am |=∑ | A | - ∑∑ | Ai ∩ A j | + ∑∑∑ | Ai ∩ A j ∩ Ak | i =1 j>i i =1 j>i k>j m 1 -…+ (1) | Ai ∩ A j ∩ ∩ A m | (公式6.1.1) (公式6.1.1) 证明略(可采用数学归纳法) [注]:由于 | A |=| S | | A | ,即全集S中不属于子集A ,即全集S中不属于子集A 的元素的个数等于全集S 的元素的个数等于全集S的的元素个数减去属于 集合A 集合A的元素个数,所以也有:
(公式6.1.2) (公式6.1.2)
所谓的容斥原理就是指公式6.1.1和公式6.1.2 所谓的容斥原理就是指公式6.1.1和公式6.1.2 .
四,容斥原理的应用实例: 容斥原理的应用实例: 6.1.4: a,b,c,d,e,f这六个字母的全排列 例6.1.4:求a,b,c,d,e,f这六个字母的全排列 中不允许出现ace和df图像的排列数 图像的排列数. 中不允许出现ace和df图像的排列数. 解: 6.1.5: S={1, 500}, 例6.1.5:设S={1,2,…,500},求S中能 除尽的数的个数. 解: 被2,3,5除尽的数的个数. 6.1.6:求由a,b,c,d这 个字符构成的n 例6.1.6:求由a,b,c,d这4个字符构成的n位符 号串中,a,b,c至少出现一次的符号串的数目. 号串中,a,b,c至少出现一次的符号串的数目. 解: 6.1.7:求不超过120的素数的个数. 例6.1.7:求不超过120的素数的个数. 解: 6.1.8: 26个英文字母做不允许重复的全排 例6.1.8:用26个英文字母做不允许重复的全排 列,要求排除:dog,god,gum,depth,thing字 列,要求排除:dog,god,gum,depth,thing字 样的出现,求满足这些条件的排列数. 解:
例6.2.1:试确定多重集T={3a,4b,5c }的 6.2.1:试确定多重集T={3a,4b,5 }的 10-组合的个数. 10解: 6.2.2: 例6.2.2:确定方程: x1 + x2 + x3 + x4 = 18 满足条件: 1 ≤ x1 ≤ 5 , 2 ≤ x2 ≤ 4 , 0 ≤ x3 ≤ 5 ,3 ≤ x4 ≤ 9 的整数解的个数. 解: [思考题/练习题]: 思考题/练习题] 1,试列出这6个排列. ,试列出这6 2,教材P120页第4,5,6题. ,教材P120页第4 3,教材P120页第7,8,9题. ,教材P120页第7
本章将讨论集合间具有元素重叠且没有限制的 条件下,给出集合间的并集的成员的计数公式— 条件下,给出集合间的并集的成员的计数公式— —容斥原理及其应用. 容斥原理及其应用. 一,引例 6.1.1:求不超过20的正整数中为2 例6.1.1:求不超过20的正整数中为2或3的倍 数的数的个数. 解: