广西桂林市第十八中学2015届高三上学期第一次月考数学(理)试题

结束
y=log 2x
输出y
y=x 2-1
否是
x >2?输入x
开始
桂林市第十八中学2015届高三上学期第一次月考
理科数学试题
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）
{}{}{}{}
{}
{}
{}
|15,1,2,3,1,2.1,2.1,3.3.1,2,3u U x Z x A C B A B A B C D ∈≤≤==
1.已知全集==,则
2.已知复数z a bi =+(,0)a b R ab ∈≠且，且(12)z i -为实数，则
a
b
= A. 3
B. 2
C.1
2
D. 13
33.1.ln ..3.x
A y x
B y x x
C y
D y x
==+==-
下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的是
4.执行如图所示程序框图，若输出的结果为3，则可输入的实数x 的个数为
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4 24121
5.log 3,log 6,log ,,,7
....a b c a b c A a b c B b a c C c b a D c a b
===>>>>>>>>已知则的大小关系为
()()6.11....p f x q f x x p q A B C D +=已知：是偶函数，：关于直线对称，则是的充分非必要条件 必要非充分条件充要条件 既不充分又不必要条件
7.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A. 64 B. 72 C. 80 D.112
333338.:2,80,.2,80.2,80.2,80
.2,80
p x x p A x x B x x C x x D x x ∀>->⌝∀≤-≤∃>-≤∀>-≤∃≤-≤已知命题那么是 9.函数1
2()2
x f x x -=-的零点的个数为
A ． 1
B ． 2
C ． 3
D ． 4
()()()10.R 03,x f x x f x m f x ≥=+已知函数是定义在上的奇函数，当时，则的大致图像是
11.已知两条直线1l y a =：和218
21
l y a =
+： (其中0a >)，1l 与函数4log y x =的图像从左至右相交于点A ，B ，2l 与函数4log y x =的图像从左至右相交于点C ，D .记线段AC 和BD 在x 轴上
的投影长度分别为,m n .当a 变化时，n
m
的最小值为 A. 4
B. 16
C. 11
2
D. 10
2
()()()()()
2
2
12.2,2,08
....x e e f x x f x xf x f x f x x A B C D '+==>设函数满足：则时，有极大值，无极小值有极小值，无极大值既有极大值，又有极小值
既无极大值，又无极小值
二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）
4313.,3525,351x y x y x y z x y x -≤-⎧⎪
+≤=++⎨⎪≥⎩
已知实数满足约束条件那么的最大值等于
{}3
2330
14.9,3,n a a S x dx q ===
⎰等比数列中，前三项和则公比
()
()()15.sin ,cos 20,1,1,,tan a b a b αααπα=+<<=-⊥=
已知若则
16.已知函数()f x 定义在R 上，对任意的x R ∈， (1001)()1
f x f x +=+已知(11)1f =，
则(2013)=f
三.解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17()10分. 在△ABC 中，已知cos cos cos 3cos 0C A B A B +=错误！未找到引用源。

. (1)求角B 的大小；
(2)若1a c +=，求b 的取值范围.
18（12分）. 数列{}n b 满足()1
11
2,2,.1n n n b b b n n N b -+-==≥∈+，
(1)求数列{}n b 的通项公式;
(2)求数列12n n b +⎧⎫
⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .
19.（12分）2013年第三季度，国家电网决定对城镇居民民用电计费标准做出调整，并根据用电
情况将居民分为三类: 第一类的用电区间在(0,170]，第二类在(170,260]，第三类在(260,)+∞（单位：千瓦时）. 某小区共有1000户居民，现对他们的用电情况进行调查，得到频率分布直方图如图所示.
⑴ 求该小区居民用电量的平均数；
⑵ 利用分层抽样的方法从该小区内选出10位居民代表，若从该10户居民代表中任选两户居民，求这两户居民用电资费属于不同类型的概率；
⑶ 若该小区长期保持着这一用电消耗水平，电力部门为鼓励其节约用电，连续10个月，每个月从该小区居民中随机抽取1户，若取到的是第一类居民，则发放礼品一份，设X 为获奖户数，求X 的数学期望()E X 与方差()D X
.
20（12分）.如图,四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是矩形,PA ⊥底面
ABCD ,1,PA AB AD ===点F 是PB 的中点,点E 在边BC 上移动. (1)点E 为BC 的中点时,试判断EF 与平面PAC 的位置关系,并说明由; (2)求证:无论点E 在BC 边的何处,都有PE AF ⊥;
(3)当BE 为何值时,PA 与平面PDE 所成角的大小为045.
21（12分）.已知两定点(2,0),(2,0),E F -动点P 满足0PE PF ⋅=,由点P 向x 轴作垂线段,PQ 垂足为,Q 点M 满足PM MQ =,点M 的轨迹为C . (1)求曲线C 的方程;
(2)过点(0,2)D -作直线l 与C 交于,A B 两点,点N 满足ON OA OB =+(O 为原点),求四边形OANB
面积的最大值,并求此时的直线l 的方程.
22．（12分）已知函数错误！未找到引用源。

.
（1）讨论函数错误！未找到引用源。

在错误！未找到引用源。

上的单调性； （2）当错误！未找到引用源。

时，曲线错误！未找到引用源。

上总存在相异两点，错误！未找到
引用源。

，错误！未找到引用源。

，使得错误！未找到引用源。

曲线在错误！未找到引用源。

、错误！未找到引用源。

处的切线互相平行，求证：
错误！未找到引用源。

.
桂林市十八中12级高三月考一
数学（理科）答案
一、选择题（60分）
2213. 1
14.12
-
或 15. 1- 16. 1 三.解答题（70分）
18（12分）解: (1) 12b =
∵11
1n n n b b b --=
+,∴1111n n b b -=+,即111
1(2)n n n b b --=≥
∴1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
是首项为1
2,公差为1的等差数列
∴1121
(1)122
n n n b -=+-⋅=
,即2()21n b n N n *=∈-
6分
()()()()()()()()()()()1
232341
23123111
1222,212211232522122123252212222222122222221241222212122326
6n n n n n n n n n n n n n n n n n b n n b T n T n T n T n n n ++++-++=
=-⋅-∴=⋅+⋅+⋅++-⋅=⋅+⋅+⋅++-⋅=++++--⋅∴=--++
++-⋅-=--⋅
+-⋅-=-⋅+则得
分①②
①-②-
19（12分）.解：(1) 平均数为1200.005201400.075201600.020201800.00520⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯
2000.003202200.00220156.8+⨯⨯+⨯⨯=
4分 (2) 由频率分布直方图可知，采用分层抽样抽取10户居民，其中8户为第一类用户，2户为第二类用户，则从该10户居民中抽取2户居民且这两户居民用电资费不属于同一类型的概率为
11822
1016
45
C C C =4分
(3) 由题可知，该小区内第一类用电户占80%，则每月从该小区内随机抽取1户居民，是第一类居民的概率为0.8，则连续10个月抽取，获奖人数X 的数学期望100.88EX np ==⨯=，方差(1)100.80.2 1.6DX np p =-=⨯⨯=4分
20.解：(1)当点E 为BC 的中点时，EF 与平面P AC 平行．
∵在△PBC 中，E 、F 分别为BC 、PB 的中点，∴EF ∥PC . 又EF ⊄平面P AC ，而PC ⊂平面P AC ，
∴EF ∥平面P AC .
2分 (2)证明：建立如图所示空间直角坐标系，则 P (0,0,1)，B (0,1,0)，
F (0，
12，1
2
)，D
，0,0)， 设BE ＝x (0≤x
)，则E (x,1,0)，
PE AF ⋅＝(x,1，－1)·
(0，12，1
2
)＝0，∴PE ⊥AF . 4分
(3)设平面PDE 的法向量为m ＝(p ，q,1)，
由0,0.
m PD m PE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得m ＝
1-1)．
而AP →
＝(0,0,1)，依题意P A 与平面PDE 所成角为45°，
所以sin45°＝22＝|m ·AP →||m ||AP →|，∴113＋(1－x 3)2＋1＝1
2
，
得BE ＝x ＝3－2或BE ＝x ＝3＋2>3(舍)．
故BE ＝3－2时，P A 与平面PDE 所成角为45°6分.
21（12分）解(1)
动点P 满足0PE PF ⋅=,∴点P 的轨迹是以E F 为直径的圆，
∴动点P 的轨迹方程为224x y += …………2分
设M(x,y)是曲线C 上任一点，因为PM ⊥x 轴，PM MQ =，∴点P 的坐标为（x ，2y ）
点P 在圆224x y +=上，∴ 22
(2)4x y += ，
∴曲线C 的方程是2
214
x
y += …………2分
(2)因为OB OA ON +=，所以四边形OANB 为平行四边形， 当直线l 的斜率不存在时显然不符合题意；
当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为2y kx =-，l 与椭圆交于1122(,),(,)A x y B x y 两点，由
22
214
y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得22
1+4k )16120x kx -+=（ …………2分 由222
1648(14)0k k ∆=-+>，得234
k >
121222
1612
,1414k x x x x k k ∴+==++ ………………2分 12121
||||||,
2OAB S OD x x x x ∆=-=-
1222||OANB OAB S S x x ∆∴==-==
==2分 令243k t -=，则243k t =+（由上可知0t >），
2OANB S
==≤=当且仅当4,t =即2
74k =时取等号； ∴
当k =平行四边形OANB 面积的最大值为2 此时直线l
的方程为2y x =-…………2分
22（12分）解：（1）函数错误！未找到引用源。

的定义域为错误！未找到引用源。

． 求导数，得错误！未找到引用源。

，
令错误！未找到引用源。

，解得错误！未找到引用源。

或错误！未找到引用源。

． ∵错误！未找到引用源。

，∴错误！未找到引用源。

，
∴当错误！未找到引用源。

时，错误！未找到引用源。

；当错误！未找到引用源。

时，错误！未找到引用源。

． 故错误！未找到引用源。

在错误！未找到引用源。

上单调递减，在错误！未找到引用源。

上单调递增．………………6分
（2）由题意得，当错误！未找到引用源。

时，错误！未找到引用源。

且错误！未找到引用源。

， 即错误！未找到引用源。

∴错误！未找到引用源。

．
12121212,0(
2
x x x x x x x x +>≠∴<2
且，)恒成立
12122
12121212
1414+0()x x x x a x x x x a x x x x +>>∴+=>++又整理得124
+1x x a a >+
令2222
4
441-()'()011(1a a g a g a a a a a
===<+++（）则） 所以()g a 在[)3,+∞上单调递减，所以()g a 在[)3,+∞上的最大值为6(3)5g = 126+5
x x ∴> …………6分
11.设(,),(,),(,),(,)A A B B C C D D A x y B x y C x y D x y ，
则4a
A x -=，4a
B x =，1821
4
a C x -+=，1821
4
a D x +=，
则1821
18
214444a
a a
a n m
+--+-=-，分子与分母同乘以18
21
4a a ++ 可得183622121
42
a a a a n m
++++==，
又363622*********a a a a +
=++-≥-=++， 当且仅当216a +=，即5
2
a =时，“=”成立， 所以n m
的最小值为112.
()()()()()()()()()()()()()()
()()()()(
)()()
()2
2
20003
03201222,20,20010
00,222,02=22x t t x x t x x
x t x x
x
x t x x
x e x f x x
e e x
f x dt f x dt
t t
x e e dt
t
f x x x e e
g x e dt g x t x
x e
x g x g x g x
g x f x f x x
x e x g x g x g x
e g x e dt e x t
'⎡⎤=⎣⎦∴=⇒=-'∴=
-'=-=
-'∈=<⇒<=>''∴=<⇒-'∈+∞=>⇒>-=-⎰⎰⎰⎰⎰12.解：由已知得设则当时，在上递减
当时，又()()()()()()()()()()()()()23
3
2820
02,202==0
20,f x g x g e f g x f x f x x g x f x f f x ∴>=-=''∴=
>⇒+∞''∴>≥∴+∞在上递增
当时，在上递增故选D。