数列的概念与简单表示法(理)

an＋1 ②用作商比较法，根据 (an＞0或an＜0)与1的大小关系进行判断. an ③结合相应函数的图像直观判断.
(2)解决数列周期性问题的方法 先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性 求值. (3)数列的最值可以利用数列的单调性或求函数最值的思想求解.
2a ，0≤a ≤1， n 3 n 2 a1＝5， 跟踪训练 (1)数列{an}满足 an＋1＝ 1 2an－1，2＜an＜1，
n
解析
答案
思维升华 由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略 (1)常用方法：观察 (观察规律)、比较(比较已知数列 )、归纳、转化( 转化为 特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法. (2)具体策略：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项 后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征；⑤化异为同，对于分式还可 以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；⑥对于符 号交替出现的情况，可用(－1)k或(－1)k＋1，k∈N＋处理. (3)如果是选择题，可采用代入验证的方法.
典例 数列{an}满足an＋1＝
1 1－an
1 ，a8＝2，则a1＝ 2 .
解析
答案
命题点3 数列的最值
n 典例 数列{an}的通项 an＝ 2 ，则数列{an}中的最大项是 n ＋90 A.3 10 B.19 10 D. 60
√
1 C. 19
解析
答案
思维升华 (1)解决数列的单调性问题可用以下三种方法 ①用作差比较法，根据an＋1－an的符号判断数列 {an}是递增数列、递 减数列还是常数列.
跟踪训练 (1)已知数列{an}满足a1＝1，a2＝4，an＋2＋2an＝3an＋1(n∈N＋)， 则数列{an}的通项公式an＝ 3×2n－1－2 . 解析 由an＋2＋2an－3an＋1＝0， 得an＋2－an＋1＝2(an＋1－an)， ∴数列{an＋1－an}是以a2－a1＝3为首项，2为公比的等比数列， ∴an＋1－an＝3×2n－1， ∴当n≥2时，an－an－1＝3×2n－2，…，a3－a2＝3×2，a2－a1＝3， 将以上各式累加，得an－a1＝3×2n－2＋…＋3×2＋3＝3(2n－1－1)， ∴an＝3×2n－1－2(当n＝1时，也满足).
3.数列与函数的关系 数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子 集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值， 就是数列.
基础自测 题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列.( × )
(2)所有数列的第n项都能使用公式表达.( × )
则写成分段函数形式.
跟踪训练 (1)(2017· 河南八校一联)在数列{an}中，Sn是其前n项和，且Sn
＝2an＋1，则数列的通项公式an＝ －2n－1 . 解析 由题意得Sn＋1＝2an＋1＋1，Sn＝2an＋1， 两式相减得Sn＋1－Sn＝2an＋1－2an， 即an＋1＝2an，又S1＝2a1＋1＝a1， 因此a1＝－1，所以数列{an}是以a1＝－1为首项、2为公比的等比数列， 所以an＝－2n－1.
2，n＝1， 故数列的通项公式为 an＝ 6n－5，n≥2，n∈N＋.
解析
答案
2 1 (2)(2017· 南昌模拟)若数列{an}的前 n 项和 Sn＝ an＋ (n∈N＋)，则{an}的 3 3
n－1 ( － 2) 通项公式 an＝ .
2 1 2 1 解析 由 Sn＝ an＋ ，得当 n≥2 时，Sn－1＝ an－1＋ ， 3 3 3 3
【知识拓展】
1.若数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an，
S1，n＝1， 则 an＝ Sn－Sn－1，n≥2，n∈N＋. an≥an－1， 2.在数列{an}中，若 an 最大，则 an≥an＋1. an≤an－1， 若 an 最小，则 an≤an＋1.
(3)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个.( √ )
(4)1,1,1,1，…，不能构成一个数列.( × )
(5)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列.( × )
(6)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对任意n∈N＋，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.
(√ )
1 2 3 4 5 6
题组二 教材改编 －1n 2.在数列{an}中，a1＝1，an＝1＋ (n≥2)，则 a5 等于 an－1 3 A. 2 5 B. 3 8 C. 5
解析
答案
4，n＝1， n－1 n 2· 3 ，n≥2. (2)已知数列{an}的前n项和Sn＝3 ＋1，则数列的通项公式an＝
解析 当n＝1时，a1＝S1＝3＋1＝4， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n＋1－3n－1－1＝2· 3n－1. 显然当n＝1时，不满足上式.
4，n＝1， ∴an＝ n－1 3 ，n≥2. 2·
解析
答案
题型三
由数列的递推关系求通项公式
师生共研
典例 根据下列条件，确定数列{an}的通项公式.
1 (1)a1＝2，an＋1＝an＋ln1＋n ；
解答
(2)a1＝1，an＋1＝2nan；
an 解 ∵an＋1＝2 an，∴ ＝2n－1 (n≥2)， an－1
n
an an－1 a2 ∴an＝ · · …· · a1 a an－1 an－2 1
解析 当n＝1时，a1＝S1＝2，当n≥2时， an＝Sn－Sn－1＝n2＋1－[(n－1)2＋1]＝2n－1，
2，n＝1， 故 an＝ 2n－1，n≥2，n∈N＋.
1
2
3
4
5
6
解析
答案
题型分类
深度剖析
题型一
由数列的前几项求数列的通项公式
自主演练
2 4 6 1.数列 0， ， ， ，…的一个通项公式为 3 5 7 n－1 A.an＝ (n∈N＋) n＋2 2n－1 C.an＝ (n∈N＋) √ 2n－1 n－1 B.an＝ (n∈N＋) 2n＋1 2n D.an＝ (n∈N＋) 2n＋1
解析 注意到分子0,2,4,6都是偶数，对照选项排除即可.
解析
答案
1 (－1) 1 1 1 1 nn＋1 . 2.数列－ ， ，－ ， ，…的一个通项公式 an＝ 1×2 2×3 3×4 4×5
n
解析 这个数列前 4 项的绝对值都等于序号与序号加 1 的积的倒数， 且奇 1 数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式为 an＝(－1) . nn＋1
√
2 D. 3
－12 －13 1 解析 a2＝1＋ ＝2，a3＝1＋ ＝ ， a1 a2 2 －14 －15 2 a4＝1＋ ＝3，a5＝1＋ ＝ . a3 a4 3
1 2 3 4 5 6
解析
答案
3.根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公
式an＝ 5n－4 .
源自文库
1
第六章 数
列
§6.1 数列的概念与简单表示法
内容索引
基础知识 题型分类
自主学习 深度剖析
课时作业
基础知识
自主学习
知识梳理 1.数列的定义 按照 一定顺序 排列的一列数叫作数列，数列中的每一个数叫作这个数 列的 项 .
2.数列的分类
分类原则 类型 有穷数列 无穷数列 递增数列 按项与项间的 大小关系分类 递减数列 常数列 满足条件
2
3
4
5
6
答案
题组三 易错自纠
4.已知an＝n2＋λn，且对于任意的n∈N＋，数列{an}是递增数列，则实数
λ的取值范围是 (－3，＋∞) .
解析 因为{an}是递增数列，所以对任意的n∈N＋，都有an＋1>an， 即(n＋1)2＋λ(n＋1)>n2＋λn，整理， 得2n＋1＋λ>0，即λ>－(2n＋1). 因为n≥1，所以－(2n＋1)≤－3，要使不等式(*)恒成立，只需λ>－3. (*)
题型二
由an与Sn的关系求通项公式
师生共研
典例 (1)已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n＋1(n∈N＋)，则其通项公式
2，n＝1， an＝ 6n－5，n≥2，n∈N＋ . 为
解析 当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2×1＋1＝2； 当n≥2时， an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n＋1－[3(n－1)2－2(n－1)＋1] ＝6n－5，显然当n＝1时，不满足上式.
解析
答案
题型四 命题点1 数列的单调性
数列的性质
多维探究
n－1 典例 已知an＝ ，那么数列{an}是 n＋1
A.递减数列 C.常数列 B.递增数列 √ D.不确定
2 解析 an＝1－ ，将 an 看作关于 n 的函数，n∈N＋，易知{an}是递增 n＋1 数列.
解析 答案
命题点2 数列的周期性
解析 答案
1 (2)在数列{an}中，a1＝3，an＋1＝an＋ nn＋1
1 4 － ，则通项公式an＝ n.
1 1 解析 原递推公式可化为 an＋1＝an＋ － ， n n＋1
1 1 1 1 则 a2＝a1＋ － ，a3＝a2＋ － ， 1 2 2 3
1 1 1 1 1 1 a4＝a3＋ － ，…，an－1＝an－2＋ － ，an＝an－1＋ － ，逐项 3 4 n－2 n－1 n－1 n 1 相加得 an＝a1＋1－ ， n 1 故 an＝4－ . n
按项数分类
有限 项数______ 无限 项数______
an＋1 > an an＋1 < an an＋1＝an 其中n∈N＋
3.数列的表示法 数列有三种表示法，它们分别是 列表法 、 图像法 和 解析法 . 4.数列的通项公式 如果数列{an}的第n项与 序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么 这个公式叫作这个数列的通项公式.
1
2
3
4
5
6
解析
答案
5.数列{an}中，an＝－n2＋11n(n∈N＋)，则此数列最大项的值是 30 .
解析 an＝－n
2
11 121 2 ＋11n＝－n－ 2 ＋ ， 4
∵n∈N＋，∴当n＝5或n＝6时，an取最大值30.
1
2
3
4
5
6
解析
答案
2，n＝1， 2n－1，n≥2，n∈N＋ . 6.已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，则an＝
n－1 a1 1 12 以上(n－1)个式子相乘得 an＝a1·· · …· ＝ ＝ . 23 n n n 1 当 n＝1 时也满足此等式，∴an＝ . n
解析
答案
思维升华 已知数列的递推关系求通项公式的典型方法 (1)当出现an＝an－1＋m时，构造等差数列. (2)当出现an＝xan－1＋y时，构造等比数列. (3)当出现an＝an－1＋f(n)时，用累加法求解. an (4)当出现 ＝f(n)时，用累乘法求解. a n－ 1
1 则数列的第 2 018 项为 5 .
解析
答案
(2)(2017· 安徽名校联考)已知数列{an}的首项为2，且数列{an}满足an＋1＝
an－1 ，数列{an}的前n项的和为Sn，则S2 016等于 an＋1 A.504 B.588
C.－588 √ D.－504
两式相减，整理得an＝－2an－1，
2 1 又当 n＝1 时，S1＝a1＝ a1＋ ， 3 3
∴a1＝1，∴{an}是首项为1，公比为－2的等比数列，故an＝(－2)n－1.
解析 答案
思维升华
已知Sn，求an的步骤
(1)当n＝1时，a1＝S1.
(2)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1.
(3)对n＝1时的情况进行检验，若适合n≥2的通项则可以合并；若不适合
故数列{an＋1}是首项为2，公比为3的等比数列，
∴an＋1＝2· 3n－1，故an＝2· 3n－1－1(n∈N＋).
解答
引申探究
n－1 在本例(2)中，若 an＝ · an－1(n≥2，且 n∈N＋)，其他条件不变，则 an n 1 ＝n . n－1 解析 ∵an＝ a (n≥2)， n n－1 n－2 1 ∴an－1＝ an－2，…，a2＝ a1. 2 n－1
＝2
n－1
· 2
n－2
· …· 2· 1＝2
1＋2＋3＋…＋(n－1)
＝2
n ( n -1) 2
.
又 a1＝1 适合上式，故 an＝ 2
n ( n -1) 2
(n∈N＋).
解答
(3)a1＝1，an＋1＝3an＋2.
解 ∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)，
又a1＝1，∴a1＋1＝2，