冲激函数和阶跃函数傅立叶变换

§ 3.6 冲激函数和阶跃函数的傅里叶变换
• 主要内容
•冲激函数的傅里叶变换 •冲激偶的傅里叶变换 •阶跃函数的傅里叶变换
• 重点：冲激函数和阶跃函数傅里叶变换
• 难点：傅立叶变换的推导
一、冲激函数的傅里叶变换
(t)
（1）冲激函数的傅里叶正变换
(1)
f(t)= d(t)
其傅里叶变换为：
F () 1,
两边求导：
2
d (t) 1 ( jw)e jwt dw
dt
2
得：
d (t) FT jw
dt
推广：
d n (t) FT( jw)n
dt n
tn
FT 2
(
j)n
d
n (w)
dwn
三、阶跃信号的傅里叶变换
阶跃函数：u(t) 1 1 sgn( t) 22
1
F(w) (w)
求f(t)
0
w
直流信号 f(t)=E
f (t)
1 2
其傅里叶变换为：
0
F() 2 E ,
F() 2 E
() 0
t
（正实函数）
求解直流信号的傅里叶变换 解：采用宽度为的矩形脉冲
f
(t)

E
u

t

2


u

t

2

频谱变化
F ()

E
Sa

2

0
t
的极限而求得。
f (t)
E
0
t
2
0 2
w
(w)
(2E)
0
w
当 时，矩形脉冲成为直流信号f(t)=E,其
傅氏变换为：
F[w] lim E Sa( w )

冲激偶函数： f (t) '(t)
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f (t) '(t)
1
其傅里叶变换为：
F () j,
F ()

( )


22,
,
0 0
（纯虚函数）
0
t
1
F (w)
0
w
(w)
2
0
w
2
推导：
解： IFT : (t) 1 e jwtdw
F () 1 () 0
（正实函数）
0 F (w)
t
1
0
w
单位冲激函数的频谱等于常数，即：在整个频率范 围内频谱是均匀分布的。
在时域中变化异常剧烈的冲激函数包含幅度相等的 所有频率分量。
称此频谱为“均匀谱”或“白色谱”。
（2）冲激函数的傅里叶反变换
冲激函数的频谱等于常数。
反过来，直流信号的频谱是冲激函数。 (w)
2
[] lim k Sa(kw)



Sa(
w
2
)

sin( w
2
w
)




2
k
若令 k 比较上两式可得到：
2
F[w] 2E (w)
当E=1时， F[w] 2(w)
(t) FT1 1FT2(w)
二、冲激偶信号的傅里叶变换
阶跃函数u(t)不满足绝 对可积条件，但它仍 存在傅里叶变换。
F () 1 ,
j
（复函数）

F ()


2
2



1
2



0, 0



(
)



2


2
,
,
0 0
f (t) u(t)
1
F()

2
2



1 2

0
t
0
w
可见：
单位阶跃函数u(t)的频谱在w=0点存在一个冲激函数，
即：u(t)含有直流分量。
此外：由于u(t)不是纯直流信号，它在t=0点有跳变， 因此在频谱中还存在其他频率分量。
思考题
• 1. 冲激函数的傅立叶变换及其反变换的公 式？
• 2. 阶跃函数的傅立叶变换公式？