多元函数微分学的几何应用ppt课件

9.6 多元函数微分学的几何应用
4、一元向量值函数的导数：
设向量值r 函f(数 t)在 点 t0的某邻域内有定义
lim rlim f(t0t)f(t0)
t t 0
t 0
t
存在，则称 为 该 函 极 f(t数 )在 限 t0处向 的量 导数.
记作：
f
(
t
0
)或
dr dt
.
t t0
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称为曲线Γ 的向量方程。
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2、一元向量值函数的极限：
r 设向量值函数f(t)在点t0的某一去心邻域内有定义，
若存在一个常向量rr0对于任意正数，总存在正数， 使得当t满足0tt0 时，不等式fr(t)rr0 总成立，
则称rr0为fr(t)当t t0时的极限，记作
lim
设 空 间 是曲 向线 量r 值 f(t)函 t,D 的 数终 端
z
r
OM f (t0 ) ON f (t0 t)
•M
f (t0 )
•N
取割线MN的方向向量为
f (t0 t)
r
M N
f (t0 t) f (t0)
x
o
y
t t
t
令 N M ,即 t 0, 得切线的方向向量：
dr
T dt
df1(t),df2(t),df3(t)
dt dt dt
t t0
t t0
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结论：
z
•M r •N
导 向 量f (t0)是 向 量 值 函 数
r f (t)的终端曲 线在点M x
o
y
处的一个 切向.量
注意：该切向量指向与t 的增长方向一致！
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（5）向量值函数导向量的物理意义：
引言：
在一元函数微分学中，我们可以利用导数 确定曲线上某点处的切线斜率，并求出其切线 和法线方程。
在多元函数部分，我们可以利用偏导数来 确定空间曲线的切线和空间曲面的切平面。
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一、一元向量值函数及其导数
设空间曲线Γ的参数方程为
x (t)
y
(t)
t [, ]
若记
（3）向量值函数的图像
设向量 r 的起点在坐标原点，则终
点M随t的改变而移动，点M的轨迹 Γ
z
•M
rf
(t)
称为向量值函数 r=f(t) 的终端曲
o
y
x
线，也称为该函数的图像，记作Γ
反过来，向量值函数
rr r f ( t ) ( f 1 ( t ) ,f 2 ( t ) ,f 3 ( t ) )
r f
rr z xir(ytrj)zkr
rr
r
( t ) (t)i(t)j(t)k
则Γ 方程成为：
rr
r f (t)
((t) ,(t) ,(t))
t[,]
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1、一元向量值函数的定义：
设数 D 集 R，则映 f： D射 Rn为一元
向量值函数 rr ， fr(t) 记 t作 D
质点的运动速度向量
:
dr v(t)
r(t)
dt
速度方向总是与向 运一 动致 方
质点的加速度向量
:
a(t)
d
v
r(t)
dt
小结
求向量值函数的极限：各分量取极限 求向量值函数的导数：各分量求导数
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例 设 f(t)(ct)o i s (st)ijn tk，li求 m f(t).
t
4
解： lim f ( t )
t 4
lt i4m cots ilt i4m sitn jlt i4m t k
2 i
2 j
k
2 24
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例 设 空间曲线Г的向量方程为
rf(t) (t2 1 )4 t, 3 ,2 t2 6 t)t ,R
求曲线Г在与t0=2相应点处的单位切向量.
解： f(t)(2t,4,4t6)t,R
f(2)(4,4,2), f(2) 424222 6.
所求单位切向量一个是： (4,4,2) 2,2,1 6 3 3 3
另一个是： 2, 2, 1
其指向与t的增长方向一致
3 3 3 其指向与t的增长方向相反
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二、空间曲线的切线与法平面
tt0
r f (t)
rr0
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说明 设 f (t ) (f1(t),f2(t),f3(t))
r0 (m,n, p),
则limf (t) r0
tt0
lltt iim m tt00 ff13((tt))m p,lt im t0[ 等f2价(t条)件n],
lt it0m f(t)(lt it0m f1(t)lt, it0m f2(t)lt, it0m f3(t))
[ 计算方法 ]
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3、一元向量值函数的连续性：
设 向 量 值f函 (t)在 数点 t0的 某 邻 域 内 有 定 义
l i mf
tt0
(t)
f
(t0)
则 称 函 f(t)在 数 t0连 .续
说明：（1）向量值函数连续等价于它的分量函数 都连续；
（2）若在某个区域内每一点都连续，则称 该函数是该区域上的连续函数
说明 （1）向量值函数可导等价于它的分量函数
都可导，且
f(t0)f1 (t0)if2 (t0)jf3 (t0)k
（2）若在某个区域内每一点都可导，则称
该函数是该区域上的可导函数；
（3）向量值函数的导数与数量值函数的导 数运算法则形式相同（教材P92）.
（4）向量值函数导向量的几何意义：
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1. 空间曲线的方程为参数方程
x x(t)
设空间曲线的方程 y y(t) (t )(1)
z z(t)
(1)式中的三个函数均可导.
z
•M
设 M (x0,y0,z0)对 , 应 t于 t0;
其中D叫函数的定义域，t为自变量，r 叫因变量。
说明：（1）向量值函数是数量值函数的推广 （2）在R3中，若向量值函数的三个分量依次为
f1(t)、 f2(t)、 f3(t)
r
rrr
则可表示为 f ( t ) f1 (t)i f2 (t)j f3 (t)k
(f1(t)f,2(t)f,3(t))
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9.6 多元函数微分学的几何应用
第9章 多元函数微分法 及其应用
z
z来自百度文库(x,y)
•M
y
O
y
x
P
D
x
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9.6 多元函数微分学的 几何应用
一元向量值函数及其导数 空间曲线的切线与法平面 曲面的切平面与法线 全微分的几何意义 小结 思考题
第9章 多元函数微分法及其应用
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