苏教版数学高二必修五导学案2.2 等差数列前n项和(第1课时)12

第二章 数列

2．2 等差数列的前n 项和（第1课时）12 **学习目标**

1．掌握等差数列前n 项和公式及其推导思路；

2．会用等差数列前n 项和公式解决一些简单的与前n 项和有关的问题；

3．通过公式的推导和运用，体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律． **要点精讲**

1．高斯是伟大的数学家，天文学家．高斯十岁时，有一次老师出了一道题目： 123100?+++⋅⋅⋅+= 高斯求和法：

因为1100101,299101,,5051101+=+=⋅⋅⋅+=， 所以123100101505050+++⋅⋅⋅+=⨯=．

2．在等差数列{}n a 中，有性质：121321n n n n a a a a a a a a --+=+=+=⋅⋅⋅=+， 对于1232112321

n n n n

n n n n S a a a a a a S a a a a a a ----=+++⋅⋅⋅+++⎧⎨

=+++⋅⋅⋅+++⎩，两式相加，得12()n n S n a a =+，

所以前n 项和1()

2

n n n a a S +=

． 3．设等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则通项公式1(1)n a a n d =+-．则前n 项和公式用首项1a 、公差d 表示为1(1)

2

n n n S na d -=+． **范例分析**

例1．在等差数列{}n a 中，

（1）已知31=a ，10150=a ，求50S ；

（2）已知31=a ，2

1

=

d ，求10S ； （3）已知21=d ，23=n a ，2

15

-=n S ，求1a 及n 。

例2．一个等差数列的前10项之和为100，前100项和为10，求它的前110项之和． （请用二种以上不同的方法解答）

例3．已知数列{}n a 的前n 项和()213n S tn t n t =++++，若{}n a 是等差数列，

求t 的值及数列{}n a 的通项公式．

例4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且462S =-，675S =-， （1）求n a 和n S ；

（2）求12314a a a a +++⋅⋅⋅+； （3）求123n a a a a +++⋅⋅⋅+．

*规律总结**

1．在等差数列的通项公式与前n 项和公式中，含有1a ，d ，n ，n a ，n S 五个量，只要已知其中的三个量，就可以求出余下的两个量．即“知三求二”。 2．将等差数列通项公式1(1)n a a n d =+-代入1()2n n n a a S +=中，得1(1)

2

n n n S na d -=+． 3．在等差数列{}n a 中，前n 项和设为n S ，则n S n ⎧⎫

⎨

⎬⎩⎭

也成等差数列． 4．等差数列{}n a 的通项公式1(1)n a a n d =+-是关于n 的一次函数n a pn q =+的形式；前

n 项和公式1(1)

2

n n n S na d -=+

是关于n 的二次函数2n S An Bn =+的形式．

对于前n 项和2n T An Bn C =++的数列{}n b ，当且仅当0C =，数列{}n b 为等差数列．

**基础训练** 一、选择题

1．在等差数列{}n a 中，公差202,60d S ==，则21S 等于（ ）

A 、62

B 、64

C 、84

D 、100

2．一堆摆放成V 形的铅笔的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比下面一层多放一支，最上面一层放120支，这个V 形架上共放着铅笔（ ）

A 、3630支

B 、7260支

C 、14520支

D 、1815支

3．等差数列{}n a 中，n S 是前n 项的和，若205=S ，则=++432a a a （ ）

A 、15

B 、18

C 、9

D 、12

4．把正偶数以下列方法分组：（2），（4，6），（8，10，12），…，其中每一组都比它的前一组多一个数，那么第11组的第2个数是（ ）

A 、114

B 、134

C 、132

D 、112

5．已知数列}{n a 、}{n b 都是公差为1的等差数列，其首项分别为1a 、1b ，且511=+b a ，

*11,N b a ∈．设n

n b c a =（*N n ∈），则数列{}n c 的前10项和等于（ ）

A ．55

B ．70

C ．85

D ．100 二、填空题

6．已知数列{}n a 的前n 项和2

91n S n n c =-+-，若{}n a 是等差数列，则c = ．

7．数列}{n a 的通项公式21n a n =+，则由12()n

n a a a b n N n

*++⋅⋅⋅+=∈所确定的数列{}n b

的前n 项和是______________．

8．凸n 边形的各内角的度数成等差数列，最小角为120，公差为5，那么n 等于 ．

三、解答题

9．（1）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足2

n S an bn =+，求证{}n a 是等差数列；

（2）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，求证数列n S n ⎧⎫

⎨⎬⎩⎭

也成等差数列．

10．在等差数列{}n a 中，已知6510,5a S ==，

（1）求8a 和8S ； （2）设n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．

**能力提高**

11．已知等差数列{}n a 满足：,p q S q S p ==，则p q S += 。（其中,p q 是不相等的正整数）。

12．设无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S ． （1）若首项13

2

a =

，公差1d =，求满足22()k k

S S =的正整数k ；

（2）求所有的无穷等差数列{}n a ，使得对于一切正整数k 都有22()k k S S =成立．