柯特斯公式复化梯形公式积分法2牛顿

1-1 代数精度的概念
定义 称某求积公式具有m次代数精度,如果它满
足如下两个条件: (1)对所有次数≤ m次的多项式 Pm ( x) ,有
R( Pm ) I ( Pm ) I n ( Pm ) 0
(2)存在m+1次多项式 Pm1 ( x) ,使
R( Pm1 ) I ( Pm1 ) I n ( Pm1 ) 0

作为
b
a
f ( x)dx (b a) i f ( xi )
i 0
b a
n

f ( x)dx A k f ( xk )
k 0
n
数值积分公式
b
求积系数
n k 0
求积节点
R( f ) I ( f ) I n ( f ) f ( x)dx Ak f ( xk ), 称为求积公式余项 (3) a
由 f(x)=xn+1 得 f(n+1)(x)=(n+1)! 误差为
R( f ) h
n2
(t j)dt
n 0 j 0
n
引进变换t=u+n/2,因为n为偶数,故n/2为整数,
于是有
R( f ) h
n n2 2 n 2

n (u j )du 2 j 0
n
R(f)=0
定理 形如
A
k 0
f ( xk )
的求积公式至少有 n 次代数精度 的
充分必要条件是 该公式为插值型
即
Ak lk ( x )dx
a
b
2-1 柯特斯系数
ba , i 0, 1, ... , n 取等距节点 xi a i h, h n 构造的插值型求积公式称为Newton-Cotes公式,
n
b a
l k ( x )dx
Ak
误差
R[ f ] f ( x)dx Ak f ( xk ) [ f ( x) Ln ( x)]dx
b b a k 0 a
n

n
b a
f ( n 1) ( x ) n ( x xk ) dx (n 1)! k 0
k
R[ f ]
(a , b) , h
ba 2
2-Hale Waihona Puke Baidu 复化求积法及其收敛性 复化梯形公式 h
ba , xi a i h (i 0, ... , n) n
插值型求积公式 在[a,b] 上取n+1个节点xi，i=0,1,2,…,n,作f(x)的n次插值多项式
Ln ( x) l j ( x) f ( x j )
n
则有
j 0
f ( x) Ln ( x) Rn ( x)
f ( n1) ( ) R( x) wn1 ( x) (n 1)!
若要求波纹瓦长4英尺,每个波纹的高度(从中心线)为1 英寸,且每个波纹以近似2π英寸为一个周期. 求制做一 块波纹瓦所需铝板的长度L.
解 f(x)=sin x从x=0到x=48英寸间的弧长即为L
L
48 0
1 ( f ( x)) dx
' 2
48
0
1 (cos x) 2 dx
该积分称为第二类椭圆积分,不能用普通方法来计算
注：Cotes 系数仅取决于 n 和 k， 与 f (x) 及区间[a, b]均无关。
( n) Ck
Cotes系数
2-2 偶阶求积公式的代数精度 定理 n为偶数时, Newton-Cotes公式至少具有n+1次代数精度 证明 只需验证当n为偶数时,Newton-Cotes公式对
f(x)=xn+1 的余项为零.
( 1) 0
( 2) n = 2: C 0
1 2 1 ( 2) ( 2) , C1 , C2 6 3 6 辛甫生公式 b ba a b f ( x ) dx [ f ( a ) 4 f ( ) f (b )] 2 a 6 代数精度= 3
1 5 (4) h f ( ) , 90
1-1 数值积分的基本思想
积分值 I ( f ) f ( x)dx 的几何意义
a b
y f ( x)
积分中值定理
I ( f ) f ( x)dx (b a) f ( )
a b
ξ是[a,b]内一点 提供一种平均高度 f(ξ) 算法,相应 获得一种数值求积方法 梯形公式 中矩形公式
求积系数为
(x xj ) Ai dx x0 ( xi x j ) j i
xn
令 x ath

n
0
(t j ) h (b a )(1)ni h dt ( i j ) h n i !(n i )! i j
(t j )dt
n 0 i j
a
b
I(f)≈(b-a)[f(a)+f(b)]/2， f(ξ) =[f(a)+f(b)]/2 I(f)≈(b-a)f[(a+b)/2]， f(ξ) = f[(a+b)/2]
机械求积方法 取区间[a,b]内n+1个点 {xi},(i=0,1,2,…n)处的高度{f(xi)}
(i=0,1,…,n)的加权平均作为平均高度 f(ξ）
本章主要问题
I ( f ) f ( x)dx 的数值解法
a
b a
b
Newton-Leibniz公式 I ( f ) f ( x)dx F (b) F (a)
f(x)应满足
有解析表达式；
f(x)的原函数F(x)为初等函数．
数值积分是否必要？
例 建筑上用的一种铝制波纹瓦是用一种机器将一块平 整的铝板压制而成的.
插值余项为 于是

b
a
f ( x)dx Ln ( x)dx Rn ( x)dx
a a b b l j ( x)dx f ( x j ) R( x)dx a a j 0 n
b
b
插值型

b a
f ( x )dx
f ( x )
k k 0
2-3 几种低阶求积公式的余项
b ba 1 1 ( 1) f ( x ) dx [ f (a ) f (b )] n = 1: C , C1 a 2 2 2 b f ( ) x R[ f ] ( x a )( x b) dx 梯形公式 a 2! 1 3 b a 代数精度= 1 h f ( ) , [a, b] , h 12 1