微积分.ppt

(2)时间长
每次授课两节，共110分钟.
(3)进度快
高等数学的内容极为丰富，而学时又相对较少 (同中学数学相比)，平均每次课要讲授教材内容一至 两节(甚至更多). 另外，大学与中学的教学要求有很 大的不同，教师讲课主要讲重点、难点、疑点，讲分 析问题的方法，讲解题的思路，而例题要比中学少得 多，不象中学上数学课那样，对一个重要的定理，教 师要仔细讲、反复讲，讲完之后又举大量典型的例子.
映射与函数
3. 区间(interval) 区间是指介于某两个实数之间的全体实数.
这两个实数叫做区间的端点.
设a和b都是实数, 且a b. { x a x b}称为开区间, 记作 (a,b)
Oa
b
x
{ x a x b} 称为 闭区间,记作[a,b]
Oa
b
x
两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.
(5)做作业
要把高等数学学到手，及时、认真地完成作 业是一个必不可少的学习环节. 每次的作业最好 在当天完成，但是应该在复习完当天的内容之后 进行. 做作业不仅是检验学习效果的手段，同时 也是培养、提高综合分析问题的能力、笔头表达 能力以及计算能力的重要手段.
特别强调，认真完成作业是培养同学们严谨 治学的一个环节.因此，要求作业“字迹工整、绘 图准确、条理清楚、论据充分”. 切忌抄袭，尽 量不先看书后的答案.
(4) 复习
学习包括“学”与“习”两个方面. “学”是为 了获取知识，“习”是为了消化、掌握、巩固知识. 每次课后的当天都应结合课堂笔记和教材及时复习课 上所讲的内容. 但是，在翻开教材与笔记之前，应先 回顾一下课上所讲的主要内容. 另外，应该经常地、 反复地复习前面所讲过的内容， 这样一方面是为了避 免边学边忘，另一方面可以加深对以前所学内容的理 解，使知识水平上升到更高的层次.
在听课时常会遇到某些问题没听懂的情况，这时 千万不要在这些问题上持续徘徊而影响继续听课，应 承认它并在教材上或笔记上相应处作上记号，继续跟 上教师的讲授. 遗留的问题、疑点待课后复习时再思 考、钻研，或找同学讨论，或找教师答疑，或查看参 考书加以解决.
(3) 记笔记
记好课堂笔记是学好高等数学的一个重要的学 习环节. 但要注意的是，课堂学习的中心任务是听、 看、想，记笔记的目的是便于课后复习，便于消化 课上所讲的内容. 因此，记笔记不应占用过多的课 堂时间. 笔记不必工整，不必全面，不必连贯，但 应预留一定的空白以便课后补充、写心得、记疑问.
成立. 在数学中要证明一个定理，必须是从条件和 已有的数学公式出发，用严谨的逻辑推理方法导出 结论.
(3)广泛的应用性
高等数学具有广泛的应用性. 例如，掌握了导数 概念及其运算法则，就可以用它来刻画和计算曲线的 切线斜率、曲线的曲率等等几何量；就可以用它来刻 画和计算速度、加速度、密度等等物理量；就可以用 它来刻画和计算产品产量的增长率、成本的下降率等 等经济量；……
集合相等 若A B且B A,
则称 集合A与B相等,记作 A B.
真子集 若A B且A B, 则称 A是B的
真子集, 记作 A B.
Biblioteka Baidu射与函数
2. 集合(set)的关系及集合的运算 (2) 集合的运算
集合的基本运算有三种: 并集, 交集, 差集.
差集 由所有属于A 而不属于B的元素 组成的集 称为A与B的差集,记作 A B, 即


O a
a
a x
映射与函数
U(a, )有时简记为 U (a).
点a的 去心(空心) 的邻域,记作U(a, ), 即
U(a，） {x 0 x a }.
xa
开区间 (a ,a) 称为a的左 邻域,

开区间
(a,
a


)称为a的右
邻域 .
两个闭区间的直积表示xOy平面上的矩形
以小写字母 a,b,m, 等表示集合的元素.
若a是A的元素, 则说a属于A,记作 a A; 否则记 a A 或 aA
映射与函数
2. 集合(set)的关系及集合的运算 (1) 集合的关系 子集 若x A,则必x B, 则称 A是B的子集,记作
A B (读作A包含于B) 或 B A
掌握了定积分概念及其运算法则，就可以用它 来刻画和计算曲线的弧长、不规则图形的面积、不 规则立体的体积等等几何量；就可以用它来刻画和 计算变速运动的物体的行程、变力所做的功、物体 的重心等等物理量；就可以用它来刻画和计算总产 量、总成本等等经济量…….
高等数学既为其它学科提供了便利的计算工 具和数学方法，也是学习近代数学所必备的数学 基础 .
映射与函数
{xa {xa

x x
b} b}
记作 [a,b) 记作 (a,b]

称为 半开半闭区间.
有限区间
[a,) {x a x}
Oa
x
(,b) {x x b}
无限区间
O
b
x
全体实数的集合R 也可记作 (, ), 是无限区间.
映射与函数
邻域(neighbourhood)
区域. 如, [a,b][c,d] ( x, y) x [a,b], y [c,d ]
即为xOy平面上的矩形区域, 这个区域在x轴与y 轴上的投影分别为闭区间 [a,b]和闭区间 [c,d ].
映射与函数
常用的逻辑符号
在逻辑推理过程中最常用的两个逻辑记号
、. AEnxyi(s每t(存一在个))的或A字ll头(所E有的的倒)写的字头A的倒写
同学们要注意抓好学习的六个环节
高等数学这门课是同学们进入大学后的一门最 重要的基础课. 由于在教学方法上、在对学生能力 的培养目标上与中学时有很大的不同，因此，同学 们在一开始可能会感到有些不适应. 为了尽快适应 新的学习环境，要注意抓好以下六个学习环节.
(1)预习 为了提高听课效果，每次上课前应对教师要讲
(6) 答疑 答疑是高等数学学习的一个重要的环节. 遇到
疑问时应该及时地与同学讨论，与教师交流，切不 可将问题放置一旁不理.
除了要重视上述学习环节之外，还有一点应该大 力提倡，那就是互助合作、共同研讨、共同提高. 团 队精神对于学好高等数学同样重要.
四 几点说明
第一章 函数与极限
(function and limit)
注 (1) 构成一个映射必须具备以下 三个要素:
① 集合X, 即定义域 Df X; ② 集合Y, 即值域的范围: Rf Y;
③ 对应法则f , 使对 x X ,有唯一确定的
y f ( x)与之对应.
(2) 对 x X ,元素 x 的像y是唯一的; 而对 y Rf , 元素 y 的原像不一定是唯一的; 映射 f 的值域 Rf 是Y 的一个子集, 即Rf Y , 不一定 Rf Y .
计划方面，甚至在人类思维方面，都可以看到强大 的数学化的进程…. .
高等数学主要学习内容 通过《高等数学》这门课程的学习,要使学生获得： (1)函数、极限、连续; (2)一元函数微积分学； (3)向量代数和空间解析几何； (4)多元函数微积分学； (5)无穷级数； (6)常微分方程. 等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学 习后继课程奠定必要的数学基础.
高等数学有四个显著特点：
(1)高度的抽象性
数学的抽象性在简单的计算中就已经表现出 来. 我们运用抽象的数字，却不是每次都把它们同 具体的对象联系起来. 在数学的抽象中只留下量的 关系和空间形式，而舍弃了其他一切. 它的抽象程 度大大超过了自然科学中任何一门学科.
(2)严谨的逻辑性
数学中的每一个定理，不论验证了多少实例， 只有当它在逻辑上被严格证明时，才能在数学中
设a与是两个实数 , 且 0.
数集{x | x a | }称为点a的 邻域,记作 U (a, ). 它是以点a中心 , 为半径的开区间. 即 U(a, ) { x a x a }.
U (a, )表示 :与点a距离小于的一切点x的全体.
几何表示
定义 设 X、Y 是两个非空集合,如果存在
一个法则f ,使得对 x X ,通过f , 在Y中有唯一
确定的元素 y 与之对应,则称f 为从 X 到 Y 的映
射(或算子), 记作 f : X Y,
并称y为x(在映射f下)的 像, 并记作 f ( x), 即
y f ( x), x称为y的 原像.
映射与函数
X中所有元素的像所组成的集合称为 值域, 或f 的 像集,记作 Rf 或f ( X ), 即
Rf f ( X ) f ( x) x X .
在中学数学中所接触的函数实际是: 实数集(或其子集) 到实数集的映射. 例如, 映射f : R R, y f ( x) sin x, 正弦函数
“ ” 表示 “任取 ”, 或“任意给定
“ ” ” 表.示 “存在 ”,“至少存在一个或“能够找到
”,
”.
符号 “ ” 表示 “蕴含 ”,或 “推
符号 “ ”出表”示. “等价 ”,或 “充分必
要”.
映射与函数
二、映射 (mapping)
1. 映射概念
定义域 记 Df ,即 Df X .
第一节 映射与函数
集 合 ( set ) 映 射 ( mapping ) 函 数 ( function ) 小结
第一章 函数与极限
映射与函数
一、集合
1. 集合(set)概念与记号 集合(集) 具有某种特定性质的事物的总体. 元素 (简称元) 组成这个集合的事物. 通常以大写字母 A, B, M,
(4)知识体系的连惯性
高等数学的教学特点
对于大学课程，特别是作为基础理论课的高 等数学，课堂教学是重要环节. 高等数学的课堂 教学与中学数学的课堂教学相比，有下述三个显 著的差别:
(1)课堂人数多
高等数学课堂是一百多人的大课堂，在这种大课 堂上不可能经常让同学们提问题. 同学们在学习的基 础上、水平上、理解接受能力上肯定存在差异，但是 教师授课的基点只能是照顾大多数，不可能给跟不上、 听不全懂的少数同学细讲、重复讲.
2. 几类重要映射 设映射 f : X Y . 若Rf Y , 即Y 中任一元素y 都是X中某
元素的像, 则称f 是满射. 若 x1, x2 X , x1 x2 , 必有 f ( x1 ) f ( x2 ),
则称f 是 单射.
若映射f 既是满射, 又是单射, 则称f 是
一 一 映射(或双射).
的内容进行预习. 预习的重点是阅读一下要讲的定 义、定理和主要公式. 预习的主要目的是：第一， 在听课时能做到心中有数，不至于被动地听课；第 二，知道哪些地方是重点和自己的难点，从而在听 课时能提高效率；第三，可以弥补由于基础、理解 力上的差异所造成的听课困难.
(2) 听课
听课是在大学中获取知识的主要环节. 因此，应 带着充沛的精力、带着获取新知识的浓厚兴趣、带着 预习中的疑点和难点，专心致志地听教师如何提出问 题、分析问题和解决问题，并且积极主动地思考.
A B { x x A 且x B }. A B
映射与函数
注 研究某个问题时所考虑的对象的全体 称为 全集或基本集,并用 I 表示, 并把差积 I A 特别称为A的 余集或补集.记作 AC .
例如,在实数集R中, 集合 A { x 0 x 1} 的余集
AC {x x 0或x 1}.
数学教研室 王学顺
绪论
高等数学是高等院校中理工类、经济类专业学 生必修的重要基础理论课.
随着科学技术的发展，人们越来越深刻地认识 到：没有数学，就难于创造出当代的科学成就. 科 学技术发展越快，对数学的需求就越多.
如今，伴随着计算机技术的迅速发展、自然科 学各学科数字化的趋势、社会科学各部门定量化的 要求，使许多学科都在直接或间接地，或先或后地 经历了一场数学化的进程——在基础科学和工程建 设研究方面，在人事管理和军事指挥方面，在经济
3. 逆映射与复合映射
设有单射 f : X Y , 则由定义, 对y Rf , 有唯一的 x X ,适合 f ( x) y.于是, 可定义一
个从 Rf 到X 的新映射g, 即 g : Rf X,
对y Rf ,规定 g( y) x, 这 x 满足f ( x) y. 这个映射g称为 f 的逆映射,记作 g f 1, 其定义域 D f 1 Rf , 值域 R f 1 X .