拉氏变换
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
解
dsin( t ) cos(t ) dt 1 d(sint ) cos(t ) dt
1 d L[cos t ] L (sin( t ) dt s 1 s 2 0 2 2 2 s s
返 回 上 页 下 页
1. 拉氏变换法
拉氏变换法是一种数学积分变换，其核心是 把时间函数f(t)与复变函数F(s)联系起来，把时域 问题通过数学变换为复频域问题，把时域的高阶 微分方程变换为频域的代数方程以便求解。应用 拉氏变换进行电路分析称为电路的复频域分析法， 又称运算法。
返 回
上 页
下 页
例 一些常用的变换
①对数变换
0
0
df (t ) st st e dt e df (t ) 0 dt
0
f (t )( se st )dt
0
f (0 ) sF ( s)
若足够大
返 回 上 页 下 页
例 利用导数性质求下列函数的象函数
(1) f (t ) cos( t )的象函数
A1F1 (s) A2 F2 (s)
返 回 上 页 下 页
结论 根据拉氏变换的线性性质，求函数与常数
相乘及几个函数相加减的象函数时，可以先求各 函数的象函数再进行相乘及加减计算。
例1 求 : f (t ) K (1 e at )的象函数
解
F (s) L[ K ] - LKe
f (t ) f1 (t ) f 2 (t ) f n (t )
部分分式 展开法
上 页 下 页
返 回
N ( s) a0 s a1s am F ( s) (n m) n n 1 D( s) b0 s b1s bn
F ( s) L[ (t )] (t ) e dt (t )e dt 0
st
0
st
e
s0
1
0
(3)指数函数的象函数
f (t ) e
at
F ( s) L e
at
1 ( s a ) t e e e dt 0 0 sa 1 sa
解
1 1 1 L t (t ) L[ 0 (t )dt ] 2 s s s t 2 L[t (t )] L[2 tdt ] 23 0 s
返 回
上 页
下 页
4.延迟性质 若： L[ f (t )] F (s)
则： L[ f (t t0 ) (t t0 )] e F (s)
补充
1 2 3 4 5
线性动态电路的复频域分析 （拉氏变换）
拉普拉斯变换的定义 拉普拉斯变换的基本性质 拉普拉斯反变换的部分分式展开 运算电路 用拉普拉斯变换法分析线性电路
重点 (1) 拉普拉斯变换的基本原理和性质 (2) 掌握用拉普拉斯变换分析线性电 路的方法和步骤
返 回
一 拉普拉斯变换的定义
定义 [ 0 , ∞)区间函数 f(t)的拉普拉斯变换式：
简写 F (s) L f (t ) ， f (t ) L F (s)
-1
F ( s ) f (t )e st dt 0 1 c j st F ( s ) e d s f (t ) c j 2πj
5.拉普拉斯的卷积定理
1 L[ f (t )] F1 ( s) sT 1 e
若： L[ f1 (t )] F1 (s) L[ f 2 (t )] F2 (s)
返 回 上 页 下 页
则： L[ f1 (t ) f 2 (t )] L f1 (t ) f 2 ( )d
(2) f (t ) δ ( t )的象函数
1 L[ (t )] s d (t ) 1 L (t ) L[ ] s 0 1 dt s 2 d f ( t ) ' 推广：L[ ] s[sF (s) f (0 )] f (0 ) 2 dt 2 ' s F (s) sf (0 ) f (0 )
0
f ( )e d
s
e
st0
F ( s)
st0
延迟因子
返 回 上 页 下 页
例1 求矩形脉冲的象函数
解
f (t ) (t ) (t T )
1 o
f(t)
1 1 根据延迟性质 F (s) e sT s s
例2 求三角波的象函数
解
T f( t)
t
T
用拉氏变换求解线性电路的时域响应时，需要把 求得的响应的拉氏变换式反变换为时间函数。 由象函数求原函数的方法：
1 c j st (1)利用公式 f (t ) F (s)e ds c j 2πj
(2)对简单形式的F(s)可以查拉氏变换表得原函数 (3)把F(s)分解为简单项的组合
F (s) F1 (s) F2 (s) Fn (s)
st
L[ f 2 (t )] F2 (s)
证 L A1 f1 (t ) A2 f 2 (t ) A1 f1 (t ) A2 f 2 (t ) e st dt
A1 f1 (t )e dt A2 f 2 (t )e dt
st 0 0
0
返 回
上 页
下 页
2. 微分性质
若： L f (t ) F (s)
利用
udv uv vdu
df (t ) 则： L s F ( s ) f ( 0 ) d t
证
df (t ) L dt
e f (t )
st
st
(1)单位阶跃函数的象函数
f (t ) (t )
F ( s) L[ (t )] 0 (t )e dt 0 e dt
st
st
1 st 1 e 0 s s
返 回
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
上 页
下 页
(2)单位冲激函数的象函数
f (t ) (t )
1 f ( )d ] F (s) s
应用微分性质
F ( s) s ( s) f (t )dt
0
d t L[ f (t )] L f (t )dt dt 0 0
t t 0
F (s) (s) s
返 回 上 页 下 页
例 求 : f (t ) t ( t )和f (t ) t 2 (t )的象函数
A
乘法运算变换 B AB 为加法运算
lg A lg B lg AB
②相量法
正弦量 i1 i2 i 相量 1 I 2 I I
对应
时域的正弦运算 变换为复数运算
拉氏变换
f(t)(时域原函数)
F(s)(频域象函数)
返 回 上 页 下 页
2. 拉氏变换的定义
at st
返 回 上 页 下 页
二 拉普拉斯变换的基本性质
1.线性性质 若 L[ f1 (t )] F1 (s) ,
则 L A1 f1 (t ) A2 f 2 (t ) A1L f1 (t ) A2 L f 2 (t )
A1F1 (s) A2 F2 (s)
0
t
F1 ( s) F2 ( s)
t dt 证 L[ f1 (t ) f 2 (t )] e f ( t ) f ( ) d 1 2 0 0 st e f1 (t ) (t ) f 2 ( ) d dt 0 0 st
m
m 1
讨论
象函数的一般形式
(1) 若D(s) 0有n个单根分别为p1 pn
利用部分分式可将F(s)分解为：
待定常数
Kn K1 K2 F ( s) s p1 s p2 s pn
令 x t 0
0
0
f1 ( x) ( x) f 2 ( )e e
sx 0
s sx
d dx d
上 页 下 页
f1 ( x) ( x)e dx f 2 ( )e
s
F1 (s) F2 (s)
返 回
三 拉普拉斯反变换的部分分式展开
解
d (t ) (t ) dt
d n f (t ) n n 1 n 1 s F ( s ) s f ( 0 ) f (0 ) L[ ] n dt
返 回
上 页
下 页
3.积分性质
若：L[ f (t )] F (s)
t 0
则： L[
t
0
证 令 L[ f (t )dt ] (s)
正变换 反变换
s
复频率
s j
返 回 上 页 下 页
注意
① 积分域 0 积分下限从0 开始，称为0 拉氏变换 。
0 积分下限从0 + 开始，称为0 + 拉氏变换 。 0
今后讨论的均为0 拉氏变换。
F (s) 0 f (t )e dt 0 f (t )e dt 0 f (t )e dt
1 o
f( t) ... T/2 T
L[ f1 (t )] F1 (s)
f1 (t 2T ) (t 2T )
t
f (t ) f1 (t ) f1 (t T ) (t T )
L[ f (t )] F1 (s) e F1 (s) e
F1 (s)[e
o T
f (t ) t[ (t ) (t T )]
1 1 sT T sT F (s) 2 2 e e s s s
f (t ) t (t ) (t T ) (t T ) T (t T )
返 回
上 页
下 页
例3 求周期函数的拉氏变换
解 设f1(t)为一个周期的函数
st st st
0
②象函数F(s) 存在的条件：
0
f (t )e
st
dt
[0 ,0＋]区间 f(t) =(t)时此项 0
返 回
上 页
下 页
如果存在有限常数M和 c 使函数 f(t) 满足：
f (t ) Mect t [0, )
0
f (t ) e dt 0 Me
sT
sT
2 sT
F1 (s)
e
2 sT
e
3 sT
1 F (s) ] sT 1 1 e
返 回
上 页
下 页
T 对于本题脉冲序列 f1 (t ) (t ) (t ) 2 1 1 sT / 2 F1 (s) ( e ) s s 1 1 1 sT / 2 1 1 ) ( e ) ( L[ f (t )] sT / 2 sT s 1 e 1 e s s
at
例2
解
求 : f (t ) sin( t )的象函数
F (s) Lsin (ωt )
1 1 1 2 2 j s j s j s 2
K K Ka s s a s( s a)
1 j t j t L (e e ) 2j
st
( s c ) t
M dt sc
则f(t)的拉氏变换式F(s)总存在，因为总可 以找到一个合适的s 值使上式积分为有限值。 ③象函数F(s) 用大写字母表示,如I(s)，U(s) 原函数f(t) 用小写字母表示，如 i(t), u(t)
返 回
上 页
下 页
3.典型函数的拉氏变换
F ( s) 0 f (t )e dt
st0
证 L f (t t0 ) (t t0 ) f (t t0 ) (t t0 )e st dt
f (t t0 )e st dt
t0
令 t t0
d e
e
st0
0
f ( )e
0
s ( t0 )
dsin( t ) cos(t ) dt 1 d(sint ) cos(t ) dt
1 d L[cos t ] L (sin( t ) dt s 1 s 2 0 2 2 2 s s
返 回 上 页 下 页
1. 拉氏变换法
拉氏变换法是一种数学积分变换，其核心是 把时间函数f(t)与复变函数F(s)联系起来，把时域 问题通过数学变换为复频域问题，把时域的高阶 微分方程变换为频域的代数方程以便求解。应用 拉氏变换进行电路分析称为电路的复频域分析法， 又称运算法。
返 回
上 页
下 页
例 一些常用的变换
①对数变换
0
0
df (t ) st st e dt e df (t ) 0 dt
0
f (t )( se st )dt
0
f (0 ) sF ( s)
若足够大
返 回 上 页 下 页
例 利用导数性质求下列函数的象函数
(1) f (t ) cos( t )的象函数
A1F1 (s) A2 F2 (s)
返 回 上 页 下 页
结论 根据拉氏变换的线性性质，求函数与常数
相乘及几个函数相加减的象函数时，可以先求各 函数的象函数再进行相乘及加减计算。
例1 求 : f (t ) K (1 e at )的象函数
解
F (s) L[ K ] - LKe
f (t ) f1 (t ) f 2 (t ) f n (t )
部分分式 展开法
上 页 下 页
返 回
N ( s) a0 s a1s am F ( s) (n m) n n 1 D( s) b0 s b1s bn
F ( s) L[ (t )] (t ) e dt (t )e dt 0
st
0
st
e
s0
1
0
(3)指数函数的象函数
f (t ) e
at
F ( s) L e
at
1 ( s a ) t e e e dt 0 0 sa 1 sa
解
1 1 1 L t (t ) L[ 0 (t )dt ] 2 s s s t 2 L[t (t )] L[2 tdt ] 23 0 s
返 回
上 页
下 页
4.延迟性质 若： L[ f (t )] F (s)
则： L[ f (t t0 ) (t t0 )] e F (s)
补充
1 2 3 4 5
线性动态电路的复频域分析 （拉氏变换）
拉普拉斯变换的定义 拉普拉斯变换的基本性质 拉普拉斯反变换的部分分式展开 运算电路 用拉普拉斯变换法分析线性电路
重点 (1) 拉普拉斯变换的基本原理和性质 (2) 掌握用拉普拉斯变换分析线性电 路的方法和步骤
返 回
一 拉普拉斯变换的定义
定义 [ 0 , ∞)区间函数 f(t)的拉普拉斯变换式：
简写 F (s) L f (t ) ， f (t ) L F (s)
-1
F ( s ) f (t )e st dt 0 1 c j st F ( s ) e d s f (t ) c j 2πj
5.拉普拉斯的卷积定理
1 L[ f (t )] F1 ( s) sT 1 e
若： L[ f1 (t )] F1 (s) L[ f 2 (t )] F2 (s)
返 回 上 页 下 页
则： L[ f1 (t ) f 2 (t )] L f1 (t ) f 2 ( )d
(2) f (t ) δ ( t )的象函数
1 L[ (t )] s d (t ) 1 L (t ) L[ ] s 0 1 dt s 2 d f ( t ) ' 推广：L[ ] s[sF (s) f (0 )] f (0 ) 2 dt 2 ' s F (s) sf (0 ) f (0 )
0
f ( )e d
s
e
st0
F ( s)
st0
延迟因子
返 回 上 页 下 页
例1 求矩形脉冲的象函数
解
f (t ) (t ) (t T )
1 o
f(t)
1 1 根据延迟性质 F (s) e sT s s
例2 求三角波的象函数
解
T f( t)
t
T
用拉氏变换求解线性电路的时域响应时，需要把 求得的响应的拉氏变换式反变换为时间函数。 由象函数求原函数的方法：
1 c j st (1)利用公式 f (t ) F (s)e ds c j 2πj
(2)对简单形式的F(s)可以查拉氏变换表得原函数 (3)把F(s)分解为简单项的组合
F (s) F1 (s) F2 (s) Fn (s)
st
L[ f 2 (t )] F2 (s)
证 L A1 f1 (t ) A2 f 2 (t ) A1 f1 (t ) A2 f 2 (t ) e st dt
A1 f1 (t )e dt A2 f 2 (t )e dt
st 0 0
0
返 回
上 页
下 页
2. 微分性质
若： L f (t ) F (s)
利用
udv uv vdu
df (t ) 则： L s F ( s ) f ( 0 ) d t
证
df (t ) L dt
e f (t )
st
st
(1)单位阶跃函数的象函数
f (t ) (t )
F ( s) L[ (t )] 0 (t )e dt 0 e dt
st
st
1 st 1 e 0 s s
返 回
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
上 页
下 页
(2)单位冲激函数的象函数
f (t ) (t )
1 f ( )d ] F (s) s
应用微分性质
F ( s) s ( s) f (t )dt
0
d t L[ f (t )] L f (t )dt dt 0 0
t t 0
F (s) (s) s
返 回 上 页 下 页
例 求 : f (t ) t ( t )和f (t ) t 2 (t )的象函数
A
乘法运算变换 B AB 为加法运算
lg A lg B lg AB
②相量法
正弦量 i1 i2 i 相量 1 I 2 I I
对应
时域的正弦运算 变换为复数运算
拉氏变换
f(t)(时域原函数)
F(s)(频域象函数)
返 回 上 页 下 页
2. 拉氏变换的定义
at st
返 回 上 页 下 页
二 拉普拉斯变换的基本性质
1.线性性质 若 L[ f1 (t )] F1 (s) ,
则 L A1 f1 (t ) A2 f 2 (t ) A1L f1 (t ) A2 L f 2 (t )
A1F1 (s) A2 F2 (s)
0
t
F1 ( s) F2 ( s)
t dt 证 L[ f1 (t ) f 2 (t )] e f ( t ) f ( ) d 1 2 0 0 st e f1 (t ) (t ) f 2 ( ) d dt 0 0 st
m
m 1
讨论
象函数的一般形式
(1) 若D(s) 0有n个单根分别为p1 pn
利用部分分式可将F(s)分解为：
待定常数
Kn K1 K2 F ( s) s p1 s p2 s pn
令 x t 0
0
0
f1 ( x) ( x) f 2 ( )e e
sx 0
s sx
d dx d
上 页 下 页
f1 ( x) ( x)e dx f 2 ( )e
s
F1 (s) F2 (s)
返 回
三 拉普拉斯反变换的部分分式展开
解
d (t ) (t ) dt
d n f (t ) n n 1 n 1 s F ( s ) s f ( 0 ) f (0 ) L[ ] n dt
返 回
上 页
下 页
3.积分性质
若：L[ f (t )] F (s)
t 0
则： L[
t
0
证 令 L[ f (t )dt ] (s)
正变换 反变换
s
复频率
s j
返 回 上 页 下 页
注意
① 积分域 0 积分下限从0 开始，称为0 拉氏变换 。
0 积分下限从0 + 开始，称为0 + 拉氏变换 。 0
今后讨论的均为0 拉氏变换。
F (s) 0 f (t )e dt 0 f (t )e dt 0 f (t )e dt
1 o
f( t) ... T/2 T
L[ f1 (t )] F1 (s)
f1 (t 2T ) (t 2T )
t
f (t ) f1 (t ) f1 (t T ) (t T )
L[ f (t )] F1 (s) e F1 (s) e
F1 (s)[e
o T
f (t ) t[ (t ) (t T )]
1 1 sT T sT F (s) 2 2 e e s s s
f (t ) t (t ) (t T ) (t T ) T (t T )
返 回
上 页
下 页
例3 求周期函数的拉氏变换
解 设f1(t)为一个周期的函数
st st st
0
②象函数F(s) 存在的条件：
0
f (t )e
st
dt
[0 ,0＋]区间 f(t) =(t)时此项 0
返 回
上 页
下 页
如果存在有限常数M和 c 使函数 f(t) 满足：
f (t ) Mect t [0, )
0
f (t ) e dt 0 Me
sT
sT
2 sT
F1 (s)
e
2 sT
e
3 sT
1 F (s) ] sT 1 1 e
返 回
上 页
下 页
T 对于本题脉冲序列 f1 (t ) (t ) (t ) 2 1 1 sT / 2 F1 (s) ( e ) s s 1 1 1 sT / 2 1 1 ) ( e ) ( L[ f (t )] sT / 2 sT s 1 e 1 e s s
at
例2
解
求 : f (t ) sin( t )的象函数
F (s) Lsin (ωt )
1 1 1 2 2 j s j s j s 2
K K Ka s s a s( s a)
1 j t j t L (e e ) 2j
st
( s c ) t
M dt sc
则f(t)的拉氏变换式F(s)总存在，因为总可 以找到一个合适的s 值使上式积分为有限值。 ③象函数F(s) 用大写字母表示,如I(s)，U(s) 原函数f(t) 用小写字母表示，如 i(t), u(t)
返 回
上 页
下 页
3.典型函数的拉氏变换
F ( s) 0 f (t )e dt
st0
证 L f (t t0 ) (t t0 ) f (t t0 ) (t t0 )e st dt
f (t t0 )e st dt
t0
令 t t0
d e
e
st0
0
f ( )e
0
s ( t0 )