绝对值的化简问题

绝对值的化简问题

【知识梳理】

绝对值的几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离.数a 的绝对值记作a .

绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 注意：①取绝对值也是一种运算，运算符号是“”，求一个数的绝对值，就是根据性质去

掉绝对值符号.

②绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.

③绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0.

④任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：5-符号是负号，绝对值是5.

求字母a 的绝对值： ①(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩

②(0)(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩ ③(0)(0)a a a a a >⎧=⎨-≤⎩ 利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小.

绝对值非负性：如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0. 例如：若0a b c ++=，则0a =，0b =，0c =

绝对值的其它重要性质：

（1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即a a ≥，且a a ≥-；

（2）若a b =，则a b =或a b =-；

（3）ab a b =⋅；

a a

b b =(0)b ≠； （4）222||||a a a ==；

（5）a b a b a b -≤+≤+， 对于a b a b +≤+，等号当且仅当a 、b 同号或a 、b 中至少有一个0时，等号成立； 对于a b a b -≤+，等号当且仅当a 、b 异号或a 、b 中至少有一个0时，等号成立． 绝对值几何意义

当x a =时，0x a -=，此时a 是x a -的零点值．

零点分段讨论的一般步骤：

找零点、分区间、定符号、去绝对值符号．即先令各绝对值式子为零，求得若干个绝对值为零的点，在数轴上把这些点标出来，这些点把数轴分成若干部分，再在各部分内化简求值． a 的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离．

a b -的几何意义：在数轴上，表示数a 、b 对应数轴上两点间的距离．

【例1】 m n -的几何意义是数轴上表示m 的点与表示n 的点之间的距离．x 的几何意义

是数轴上表示 的点与 之间的距离；x

0-（>，=，<）；

【例2】 21-的几何意义是数轴上表示2的点与表示1的点之间的距离；则

21-= ；

【例3】 3x -的几何意义是数轴上表示 的点与表示 的点之间的距离，若

31x -=，则x = ．

【例4】 2x +的几何意义是数轴上表示 的点与表示 的点之间的距离，若

22x +=，则x = ．

【例5】 如果有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，求a b a c b c ++--+的值.

【例6】 如果有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，求11a b b a c c +------的值.

【例7】 已知00x z xy y z x <<>>>，

，，那么x z y z x y +++--=

【例8】 数a b ，在数轴上对应的点如右图所示，试化简a b b a b a a ++-+--

【例9】 实数a b c ，，在数轴上的对应点如图，化简a c b a b a c +--++-

【例10】 若a b <-且0a b >，化简a b a b ab -+++.

【例11】 若a b <，求15b a a b -+---的值.

【例12】 a 、b 、c 的大小关系如图所示，求a b b c c a ab ac a b b c c a ab ac

-----++----的值．